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数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Möbius function

Definition 2.1. A real or complex-valued function defined on the set of positive integers is called an arithmetical function.

Arithmetical functions play an important role in the study of numbers. Let us now introduce one of the most important arithmetical functions, namely, the Möbius function $\mu(n)$.
Definition 2.2. Let $\mu(1)=1$. If $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$, then define
$$
\mu(n)= \begin{cases}(-1)^k & \text { if } \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=1, \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
The function $\mu(n)$ is known as the Möbius function.
We observe that by the above definition, the Möbius function $\mu(n)$ is identically zero if and only if $n$ has a square factor greater than 1.
Definition 2.3. We write
$$
\sum_{d \mid n} f(d)
$$
to denote the sum of the values of $f$ over divisors $d$ of $n$.
Remark 2.1. Suppose $d_1, d_2, \cdots, d_k$ are the divisors of $n$, then
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=f\left(d_1\right)+f\left(d_2\right)+\cdots+f\left(d_k\right) .
$$

Now, each $d_j$ can be written in the form $n / d_j^{\prime}$, where $d_j^{\prime}$ is the conjugate divisor of $d_j$. Hence,
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=f\left(\frac{n}{d_1^{\prime}}\right)+f\left(\frac{n}{d_2^{\prime}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{d_k^{\prime}}\right)=\sum_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}\right) .
$$
Therefore
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=\sum_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}\right)
$$

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euler totient function

Definition 2.5. The Euler totient $\varphi(n)$ is defined to be the number of positive integers not exceeding $n$ which are relatively prime (see Definition 1.5) to $n$.
It is sometimes convenient to write $\varphi(n)$ as
$$
\varphi(n)=\sum_{\substack{k=1 \(k, n)=1}}^n 1 .
$$
The first important result for $\varphi(n)$ is the following theorem:
Theorem 2.2. Let $n$ be any positive integer. Then
$$
\sum_{d \mid n} \varphi(d)=n .
$$
Proof. Let
$$
S={k \in \mathbf{Z} \mid 1 \leq k \leq n}
$$
and
$$
A(d)={k \in \mathbf{Z} \mid(k, n)=d, 1 \leq k \leq n} .
$$
Since every integer $k \leq n$ has a unique $(k, n)$, we conclude that $S$ is a disjoint union of $A(d)$ and we deduce that
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=n,
$$
where $f(d)$ be the number of elements in $A(d)$.
Let
$$
B(d)={1 \leq q \leq n / d \mid(q, n / d)=1} .
$$
We claim that there is a one to one correspondence between the elements in $A(d)$ and $B(d)$. If $1 \leq k \leq n$, then the element $k / d \in B(d)$ since
$$
(k / d, n / d)=1,
$$
by Theorem $1.10$ (c).

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Möbius function

定义 2.1。在正整数集上定义的实值或复值函数称为算术函数。
算术函数在数字研究中起着重要作用。现在让我们介绍一个最重要的算术函数，即莫比乌斯函数 $\mu(n)$. 定义 2.2。让 $\mu(1)=1$. 如果 $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ ，然后定义
$$
\mu(n)=\left{(-1)^k \quad \text { if } \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=1,0 \quad\right. \text { otherwise. }
$$
功能 $\mu(n)$ 被称为莫比乌斯函数。
我们观察到，根据上述定义，莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 当且仅当当且仅当 $n$ 平方因子大于 1 。 定义 2.3。我们写
$$
\sum_{d \mid n} f(d)
$$
表示值的总和 $f$ 超过除数 $d$ 的 $n$.
备注 2.1。认为 $d_1, d_2, \cdots, d_k$ 是除数 $n$ ，然后
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=f\left(d_1\right)+f\left(d_2\right)+\cdots+f\left(d_k\right)
$$
现在，每个 $d_j$ 可以写成形式 $n / d_j^{\prime}$ ，在哪里 $d_j^{\prime}$ 是共轭除数 $d_j$. 因此，
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=f\left(\frac{n}{d_1^{\prime}}\right)+f\left(\frac{n}{d_2^{\prime}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{d_k^{\prime}}\right)=\sum_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}\right)
$$
所以
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=\sum_{d \mid n} f\left(\frac{n}{d}\right)
$$

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euler totient function

定义 2.5。欧拉总论 $\varphi(n)$ 定义为不超过的正整数个数 $n$ 相对质数 (见定义 1.5) $n$. 有时候写起来很方便 $\varphi(n)$ 作为
$$
\varphi(n)=\sum_{k=1 \backslash(k, n)=1}^n 1
$$
第一个重要结果 $\varphi(n)$ 是以下定理:
定理2.2。让 $n$ 是任何正整数。然后
$$
\sum_{d \mid n} \varphi(d)=n .
$$
证明。让
$$
S=k \in \mathbf{Z} \mid 1 \leq k \leq n
$$
和
$$
A(d)=k \in \mathbf{Z} \mid(k, n)=d, 1 \leq k \leq n .
$$
由于每个整数 $k \leq n$ 有一个独特的 $(k, n)$ ，我们得出结论 $S$ 是一个不相交的联盟 $A(d)$ 我们推断
$$
\sum_{d \mid n} f(d)=n,
$$
在哪里 $f(d)$ 是元素的数量 $A(d)$. 让
$$
B(d)=1 \leq q \leq n / d \mid(q, n / d)=1
$$
我们声称在元素之间存在一对一的对应关系 $A(d)$ 和 $B(d)$. 如果 $1 \leq k \leq n$, 那么元素 $k / d \in B(d)$ 自从
$$
(k / d, n / d)=1
$$
通过定理 $1.10$ (C)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在数学中，解析数论是数论的一个分支，使用数学分析的方法来解决有关整数的问题。

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数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euclidean Algorithm

In this section, we prove a result that allows us to compute the greatest common divisor of two integers. First, we need a lemma.
Lemma 1.11. Let a, $b, q$, and $r$ be integers such that
$$
a=b q+r,
$$
then
$$
(a, b)=(b, r) .
$$
Proof. Let $d=(a, b)$ and $d^{\prime}=(b, r)$. Note that since $d \mid a$ and $d \mid b$, we find that $d \mid(a-b q)$ by Theorem $1.6$ (c). Hence, $d \mid r$ and $d$ is a common divisor of $b$ and $r$. By Definition $1.4$ (c), $d \mid d^{\prime}$ since $d^{\prime}=(b, r)$. Similarly, $d^{\prime} \mid b$ and $d^{\prime} \mid r$ implies that $d^{\prime} \mid(b q+r)$ by Theorem $1.6$ (c) and consequently, $d^{\prime} \mid a$. By Definition $1.4$ (c), $d^{\prime} \mid d$ since $d=(a, b)$. Therefore, by Theorem $1.6$ (i), $d=d^{\prime}$.

Theorem 1.12 (The Euclidean Algorithm). Given positive integers a and $b$, where $b \nmid a$. Let $r_0=a, r_1=b$, and apply the division algorithm repeatedly to obtain a set of remainders $r_2, r_3, \ldots, r_n, r_{n+1}$ defined successively by the relations
$$
\begin{array}{ccc}
r_0 & =r_1 q_1+r_2 & 0<r_2<r_1 \
r_1 & =r_2 q_2+r_3 & 0<r_3<r_2 \
\vdots & \
r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_n & 0<r_n<r_{n-1} \
r_{n-1}=r_n q_n+r_{n+1} & r_{n+1}=0 .
\end{array}
$$
Then $r_n$, the last nonzero remainder in this process is $(a, b)$, the greatest common divisor of $a$ and $b$.

Proof. There is a stage at which $r_{n+1}=0$ because the $r_i$ are decreasing and non-negative. Next, applying Lemma 1.11, we find that
$$
(a, b)=\left(r_0, r_1\right)=\left(r_1, r_2\right)=\cdots=\left(r_n, r_{n+1}\right)=\left(r_n, 0\right)=r_n .
$$
This completes the proof of Theorem 1.12.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Fundamental Theorem of Arithmetic

Theorem $1.17$ (Fundamental Theorem of Arithmetic). Every positive integer $n>1$ can be expressed as a product of primes; this representation is unique apart from the order in which the factors occur.

Proof. We first show that $n$ can be expressed as a prime or a product of primes. We use induction on $n$. The statement is clearly true for $n=2$ since 2 is a prime. Suppose $m$ is a prime or a product of primes for $2 \leq m \leq n-1$. If $n$ is a prime then we are done. Suppose $n$ is composite then $n=a b$, where $11$ is a prime or a product of primes.

To prove uniqueness, we use induction on $n$ again. If $n=2$ then the representation of $n$ as a product of primes is clearly unique. Assume, then that it is true for all integers greater than 1 and less than $n$. We shall prove that it is also true for $n$. If $n$ is prime, then there is nothing to prove. Assume, then, that $n$ is composite and that $n$ has two factorizations, say,
$$
n=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t .
$$
Since $p_1$ divides the product $q_1 q_2 \cdots q_t$, it must divide at least one factor by Corollary 1.16. Relabel $q_1, q_2, \ldots, q_t$ so that $p_1 \mid q_1$. Then $p_1=q_1$ since both $p_1$ and $q_1$ are primes. In (1.4), we may cancel $p_1$ on both sides to obtain
$$
n / p_1=p_2 \cdots p_s=q_2 \cdots q_t .
$$
Now the induction hypothesis implies that the two factorizations of $n / p_1$ must be the same, apart from the order of the factors. Therefore, $s=t$ and the factorizations in (1.4) are also identical, apart from order. This completes the proof.

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euclidean Algorithm

在本节中，我们将证明一个结果，使我们能够计算两个整数的最大公约数。首先，我们需要一个引理。 引理 1.11。让一个， $b, q$ ，和 $r$ 是这样的整数
$$
a=b q+r
$$
然后
$$
(a, b)=(b, r) .
$$
证明。让 $d=(a, b)$ 和 $d^{\prime}=(b, r)$. 请注意，因为 $d \mid a$ 和 $d \mid b$ ，我们发现 $d \mid(a-b q)$ 通过定理1.6
(C)。因此， $d \mid r$ 和 $d$ 是公约数 $b$ 和 $r$. 根据定义 $1.4$ (C) ， $d \mid d^{\prime}$ 自从 $d^{\prime}=(b, r)$. 相似地， $d^{\prime} \mid b$ 和 $d^{\prime} \mid r$ 暗示 $d^{\prime} \mid(b q+r)$ 通过定理1.6(c) 因此， $d^{\prime} \mid a$. 根据定义 $1.4$ (C)， $d^{\prime} \mid d$ 自从 $d=(a, b)$. 因 此，由定理 $1.6$ (一世)， $d=d^{\prime}$.
定理 $1.12$ (欧几里德算法) 。给定正整数 $\mathrm{a}$ 和 $b$ ，在哪里 $b \nmid a$. 让 $r_0=a, r_1=b$, 反复应用除法算法得 到一组余数 $r_2, r_3, \ldots, r_n, r_{n+1}$ 依次由关系定义
$$
r_0=r_1 q_1+r_2 \quad 0<r_2<r_1 r_1=r_2 q_2+r_3 \quad 0<r_3<r_2 \vdots \quad r_{n-2}=r_{n-1} q_{n-1}+r_n
$$
然后 $r_n$ ，这个过程中的最后一个非零余数是 $(a, b)$ ，的最大公约数 $a$ 和 $b$.
证明。有一个阶段 $r_{n+1}=0$ 因为 $r_i$ 递减且非负。接下来，应用引理 $1.11$ ，我们发现
$$
(a, b)=\left(r_0, r_1\right)=\left(r_1, r_2\right)=\cdots=\left(r_n, r_{n+1}\right)=\left(r_n, 0\right)=r_n .
$$
这就完成了定理 $1.12$ 的证明。

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Fundamental Theorem of Arithmetic

定理 $1.17$ (算术基本定理)。每个正整数 $n>1$ 可以表示为素数的乘积；除了因素发生的顺序之外，这 种表示是唯一的。
证明。我们首先表明 $n$ 可以表示为质数或质数的乘积。我们使用归纳法 $n$. 该陈述显然适用于 $n=2$ 因为 2 是素数。认为 $m$ 是素数或素数的乘积 $2 \leq m \leq n-1$. 如果 $n$ 是一个质数然后我们就完成了。认为 $n$ 那么 是复合的 $n=a b$ ，在哪里 11 是质数或质数的乘积。
为了证明唯一性，我们使用归纳法 $n$ 再次。如果 $n=2$ 然后表示 $n$ 作为素数的乘积显然是唯一的。假设所 有大于 1 且小于 1 的整数都成立 $n$. 我们将证明它也适用于 $n$. 如果 $n$ 是质数，则无须证明。那么，假设 $n$ 是复合的 $n$ 有两个因式分解，比如说
$$
n=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t
$$
自从 $p_1$ 分产品 $q_1 q_2 \cdots q_t$ ，它必须至少除以推论 $1.16$ 的一个因子。重新贴标签 $q_1, q_2, \ldots, q_t$ 以便 $p_1 \mid q_1$. 然后 $p_1=q_1$ 因为两者 $p_1$ 和 $q_1$ 是质数。在 (1.4) 中，我们可以取消 $p_1$ 双方获得
$$
n / p_1=p_2 \cdots p_s=q_2 \cdots q_t
$$
现在归纳假设意味葿两个因式分解 $n / p_1$ 必须相同，除了因素的顺序。所以， $s=t$ 并且 (1.4) 中的因式分 解也是相同的，除了顺序。这就完成了证明。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Least Integer Axiom and Mathematical Induction

Let
$$
\mathbf{Z}={0, \pm 1, \pm 2, \cdots}
$$
be the set of integers. The Least Integer Axiom (see [10]), also known as the Well Ordering Principle, states that there is a smallest integer in every nonempty subset of non-negative integers. It is useful in establishing the following result.

Theorem 1.1. Let $S(1), S(2), \cdots, S(n), \cdots$ be statements, one for each integer $n \geq 1$. If some of these statements are false, then there is a first false statement.
Proof. Set
$$
T=\left{k \in \mathbf{Z}^{+} \mid S(k) \text { is false }\right} .
$$
Since at least one statement is false, $T$ is nonempty. By the Least Integer Axiom, there exists a smallest integer $n$ in $T$. This implies that $S(n)$ is the first false statement.

From Theorem 1.1, we deduce the Principle of Mathematical Induction.
Theorem 1.2. Let $S(n)$ be statements, one for each $n \geq 1$. Suppose that the following conditions are satisfied by $S(n)$ :
(a) The statement $S(1)$ is true.
(b) If $S(n)$ is true, then $S(n+1)$ is true.
Then $S(n)$ is true for all integers $n \geq 1$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisors

Definition 1.3. A common divisor of integers $a$ and $b$ is an integer $c$ with $c \mid a$ and $c \mid b$.

Definition 1.4. A greatest common divisor of integers $a$ and $b$ is a number $d$ with the following properties:
(a) The integer $d$ is non-negative.
(b) The integer $d$ is a common divisor of $a$ and $b$.
(c) If $e$ is any common divisor of $a$ and $b$, then $e \mid d$.

Note that if $d$ and $d^{\prime}$ are both greatest common divisors of $a$ and $b$, then $d$ is a common divisor of $a$ and $b$ and $d^{\prime}$ is a greatest common divisor, we note that $d^{\prime} \mid d$ using Definition $1.4$ (c). Similarly, since $d^{\prime}$ is a common divisor and $d$ is a greatest common divisor, $d \mid d^{\prime}$. By Theorem $1.6$ (i), $|d|=\left|d^{\prime}\right|$ and by Definition $1.4$ (a), we deduce that $d=d^{\prime}$. This shows that the greatest common divisor of $a$ and $b$ is unique.
The notation for the greatest common divisor of $a$ and $b$ is
$$
(a, b) \text {. }
$$
Remark 1.2. When $a$ and $b$ are zeros, then $(0,0)=0$. If $a=0$ and $b$ is nonzero, then $(0, b)=b$.

We will next show that the greatest common divisor of two integers exists. By Remark 1.2, it suffices to consider the case when both $a$ and $b$ are nonzero.

Theorem 1.7. Let $a$ and $b$ be nonzero integers. Then the smallest positive integer in the set
$$
P:={s a+t b \mid s, t \in \mathbf{Z} \text { and } s a+t b>0}
$$
is $(a, b)$.
Proof. If $a$ is positive then $a \in P$ since
$$
a=1 \cdot a+0 \cdot b .
$$

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Least Integer Axiom and Mathematical Induction

让
$$
\mathbf{Z}=0, \pm 1, \pm 2, \cdots
$$
是整数集。最小整数公理（参见 [10]），也称为井序原则，指出在非负整数的每个非空子集中都有一个最 小整数。它有助于建立以下结果。
定理 1.1。让 $S(1), S(2), \cdots, S(n), \cdots$ be 语句，每个整数一个 $n \geq 1$. 如果其中一些陈述是错误的， 则存在第一个错误陈述。
证明。放
$\mathrm{T}=\backslash \mathrm{left}{\mathrm{k} \backslash$ in $\backslash m a t h b f{Z} \wedge{+} \backslash \mathrm{mid} \mathrm{S}(\mathrm{k}) \backslash \mathrm{text}{$ 为假 $} \backslash$ ight $}$ 。
因为至少有一个陈述是错误的， $T$ 是非空的。根据最小整数公理，存在最小整数 $n$ 在 $T$. 这意味着 $S(n)$ 是 第一个虚假陈述。
从定理1.1，我们推导出数学归纳法原理。
定理 1.2。让 $S(n)$ 是陈述，每个人一个 $n \geq 1$. 假设满足以下条件 $S(n)$ :
(a) 声明 $S(1)$ 是真的。
(b) 如果 $S(n)$ 是真的，那么 $S(n+1)$ 是真的。
然后 $S(n)$ 对所有整数都成立 $n \geq 1$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisors

定义 1.3。整数的公约数 $a$ 和 $b$ 是一个整数 $c$ 和 $c \mid a$ 和 $c \mid b$.
定义 1.4。整数的最大公约数 $a$ 和 $b$ 是一个数字 $d$ 具有以下属性:
(a) 整数 $d$ 是非负的。
(b) 整数 $d$ 是公约数 $a$ 和 $b$.
(c) 如果 $e$ 是任何公约数 $a$ 和 $b$ ，然后 $e \mid d$.
请注意，如果 $d$ 和 $d^{\prime}$ 都是最大公约数 $a$ 和 $b$ ，然后 $d$ 是公约数 $a$ 和 $b$ 和 $d^{\prime}$ 是最大公约数，我们注意到 $d^{\prime} \mid d$ 使 用定义 $1.4$ (C) 。同样，因为 $d^{\prime}$ 是公约数并且 $d$ 是最大公约数， $d \mid d^{\prime}$. 通过定理1.6（一世）， $|d|=\left|d^{\prime}\right|$ 并根据定义 $1.4(\mathrm{a})$ ，我们推断 $d=d^{\prime}$. 这表明最大公约数 $a$ 和 $b$ 是独特的。
的最大公约数的表示法 $a$ 和 $b$ 是
$$
(a, b) \text {. }
$$
备注 1.2。什么时候 $a$ 和 $b$ 是零，那么 $(0,0)=0$. 如果 $a=0$ 和 $b$ 是非零的，那么 $(0, b)=b$.
接下来我们将证明存在两个整数的最大公约数。根据备注 $1.2$ ，只要考虑两种情况 $a$ 和 $b$ 是非零的。
定理 1.7。让 $a$ 和 $b$ 是非零整数。然后是集合中最小的正整数
$$
P:=s a+t b \mid s, t \in \mathbf{Z} \text { and } s a+t b>0
$$
是 $(a, b)$.
证明。如果 $a$ 那么是积极的 $a \in P$ 自从
$$
a=1 \cdot a+0 \cdot b
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

如果你也在 怎样代写解析数论Analytic Number Theory这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

在数学中，解析数论是数论的一个分支，使用数学分析的方法来解决有关整数的问题。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写解析数论Analytic Number Theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写解析数论Analytic Number Theory代写方面经验极为丰富，各种代写解析数论Analytic Number Theory相关的作业也就用不着说。

我们提供的解析数论Analytic Number Theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euclidean algorithm

Iheorem $1.12$ provides a practical method for computing the $\operatorname{gcd}(a, b)$ when the prime-power factorizations of $a$ and $b$ are known. However, considerable calculation may be required to obtain these prime-power factorizations and it is desirable to have an alternative procedure that requires less computation. There is a useful process, known as Euclid’s algorithm, which does not require the factorizations of $a$ and $b$. This process is based on successive divisions and makes use of the following theorem.

Theorem 1.14 The division algorithm. Given integers $a$ and $b$ with $b>0$, there exists a unique pair of integers $q$ and $r$ such that
$$
a=b q+r, \text { with } 0 \leq r<b .
$$
Moreover, $r=0$ if, and only if, $b \mid a$.
Note. We say that $q$ is the quotient and $r$ the remainder obtained when $b$ is divided into $a$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|A product formula for n

The sum for $\varphi(n)$ in Theorem $2.3$ can also be expressed as a product extended over the distinct prime divisors of $n$.
Theorem $2.4$ For $n \geq 1$ we have
$$
\varphi(n)=n \prod_{p \mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right) .
$$
Proof. For $n=1$ the product is empty since there are no primes which divide 1 . In this case it is understood that the product is to be assigned the value $1 .$

Suppose, then, that $n>1$ and let $p_{1}, \ldots, p_{r}$ be the distinct prime divisors of $n$. The product can be written as
(4)
$$
\begin{aligned}
\prod_{p \mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right) &=\prod_{i=1}^{r}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right) \
&=1-\sum \frac{1}{p_{i}}+\sum \frac{1}{p_{i} p_{j}}-\sum \frac{1}{p_{i} p_{j} p_{k}}+\cdots+\frac{(-1)^{r}}{p_{1} p_{2} \cdots p_{r}} .
\end{aligned}
$$
On the right, in a term such as $\sum 1 / p_{i} p_{j} p_{k}$ it is understood that we consider all possible products $p_{i} p_{j} p_{k}$ of distinct prime factors of $n$ taken three at a time. Note that each term on the right of (4) is of the form $\pm 1 / d$ where $d$ is a divisor of $n$ which is either 1 or a product of distinct primes. The numerator $\pm 1$ is exactly $\mu(d)$. Since $\mu(d)=0$ if $d$ is divisible by the square of any $p_{i}$ we see that the sum in (4) is exactly the same as
$$
\sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} .
$$

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The Euclidean algorithm

伊赫尔 $1.12$ 提供了一种实用的计算方法 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 当素数功率因数分解 $a$ 和 $b$ 是已知的。然而，可能需要大量的计 算来获得这些主要功率因数分解，并且希望有一个需要较少计算的替代过程。有一个有用的过程，称为欧几里得 算法，它不需要分解 $a$ 和 $b$. 该过程基于连续划分并利用以下定理。
定理 $1.14$ 除法算法。给定整数 $a$ 和 $b$ 和 $b>0$ ，存在一个唯一的整数对 $q$ 和 $r$ 这样
$$
a=b q+r, \text { with } 0 \leq r<b .
$$
而且， $r=0$ 当且仅当， $b \mid a$.
笔记。我们说 $q$ 是商和 $r$ 当得到的余数 $b$ 分为 $a$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|A product formula for n

总和为 $\varphi(n)$ 定理 $2.3$ 也可以表示为扩展在不同的主要因数上的乘积 $n$.
定理 $2.4$ 为了 $n \geq 1$ 我们有
$$
\varphi(n)=n \prod_{p \mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)
$$
证明。为了 $n=1$ 该产品是空的，因为没有除以 1 的素数。在这种情况下，可以理解为产品将被赋值 1 .
那么，假设 $n>1$ 然后让 $p_{1}, \ldots, p_{r}$ 是的不同的主要因数 $n$. 积可写为
(4)
$$
\prod_{p \mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\prod_{i=1}^{r}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right) \quad=1-\sum \frac{1}{p_{i}}+\sum \frac{1}{p_{i} p_{j}}-\sum \frac{1}{p_{i} p_{j} p_{k}}+\cdots+\frac{(-1)^{r}}{p_{1} p_{2} \cdots p_{r}}
$$
在右边，在一个术语中，例如 $\sum 1 / p_{i} p_{j} p_{k}$ 据了解，我们考虑所有可能的产品 $p_{i} p_{j} p_{k}$ 的不同主要因素的 $n$ 一次服 用三个。注意 (4) 右边的每一项的形式是 $\pm 1 / d$ 在哪里 $d$ 是一个除数 $n$ 它要么是 1，要么是不同素数的乘积。分子 $\pm 1$ 正是 $\mu(d)$. 自从 $\mu(d)=0$ 如果 $d$ 能被任何的平方整除 $p_{i}$ 我们看到 (4) 中的和与
$$
\sum_{d \mid n} \frac{\mu(d)}{d} .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在数学中，解析数论是数论的一个分支，使用数学分析的方法来解决有关整数的问题。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The fundamental theorem of arithmetic

Theorem 1.10 Fundamental theorem of arithmetic. Every integer $n>1$ can be represented as a product of prime factors in only one way, apart from the order of the factors.

Proof. We use induction on $n$. The theorem is true for $n=2$. Assume, then, that it is true for all integers greater than 1 and less than $n$. We shall prove it is also true for $n$. If $n$ is prime there is nothing more to prove. Assume, then, that $n$ is composite and that $n$ has two factorizations, say
$$
n=p_{1} p_{2} \cdots p_{s}=q_{1} q_{2} \cdots q_{t} .
$$
We wish to show that $s=t$ and that each $p$ equals some $q$. Since $p_{1}$ divides the product $q_{1} q_{2} \cdots q_{t}$ it must divide at least one factor. Relabel $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{t}$ so that $p_{1} \mid q_{1}$. Then $p_{1}=q_{1}$ since both $p_{1}$ and $q_{1}$ are primes. In (2) we may cancel $p_{1}$ on both sides to obtain
$$
n / p_{1}=p_{2} \cdots p_{s}=q_{2} \cdots q_{t} .
$$
If $s>1$ or $t>1$ then $1<n / p_{1}<n$. The induction hypothesis tells us that the two factorizations of $n / p_{1}$ must be identical, apart from the order of the factors. Therefore $s=t$ and the factorizations in (2) are also identical, apart from order. This completes the proof.

Note. In the factorization of an integer $n$, a particular prime $p$ may occur more than once. If the distinct prime factors of $n$ are $p_{1}, \ldots, p_{r}$ and if $p_{i}$ occurs as a factor $a_{i}$ times, we can write
$$
n=p_{1}{ }^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}
$$ or, more briefly,
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{a_{i}} .
$$

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The series of reciprocals of the primes

Theorem 1.13 The infinite series $\sum_{n=1}^{\infty} 1 / p_{n}$ diverges.
Proof. The following short proof of this theorem is due to Clarkson [11]. We assume the series converges and obtain a contradiction. If the series converges there is an integer $k$ such that
$$
\sum_{m=k+1}^{\infty} \frac{1}{p_{m}}<\frac{1}{2} .
$$
Let $Q=p_{1} \cdots p_{k}$, and consider the numbers $1+n Q$ for $n=1,2, \ldots$ None of these is divisible by any of the primes $p_{1}, \ldots, p_{k}$. Therefore, all the prime factors of $1+n Q$ occur among the primes $p_{k+1}, p_{k+2} \ldots$ Therefore for each $r \geq 1$ we have
$$
\sum_{n=1}^{r} \frac{1}{1+n Q} \leq \sum_{t=1}^{x}\left(\sum_{m=k+1}^{x} \frac{1}{p_{m}}\right)^{t},
$$
since the sum on the right includes among its terms all the terms on the left. But the right-hand side of this inequality is dominated by the convergent geometric series
$$
\sum_{t=1}^{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{t} .
$$
Therefore the series $\sum_{n=1}^{x} 1 /(1+n Q)$ has bounded partial sums and hence converges. But this is a contradiction because the integral test or the limit comparison test shows that this series diverges.

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The fundamental theorem of arithmetic

定理 $1.10$ 算术基本定理。每个整数 $n>1$ 除了因子的顺序之外，只能以一种方式表示为素因子的乘积。
证明。我们使用归纳法 $n$. 该定理对 $n=2$. 那么，假设对于所有大于 1 且小于 $n$. 我们将证明它对于 $n$. 如果 $n$ 是素 数，没有什么可以证明的了。那么假设 $n$ 是复合的，并且 $n$ 有两个分解，比如说
$$
n=p_{1} p_{2} \cdots p_{s}=q_{1} q_{2} \cdots q_{t} .
$$
我们㹷望表明 $s=t$ 并且每个 $p$ 等于一些 $q$. 自从 $p_{1}$ 划分产品 $q_{1} q_{2} \cdots q_{t}$ 它必须至少划分一个因素。重新标记 $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{t}$ 以便 $p_{1} \mid q_{1}$. 然后 $p_{1}=q_{1}$ 因为两者 $p_{1}$ 和 $q_{1}$ 是素数。在 (2) 中，我们可以取消 $p_{1}$ 双方获得
$$
n / p_{1}=p_{2} \cdots p_{s}=q_{2} \cdots q_{t} .
$$
如果 $s>1$ 或者 $t>1$ 然后 $1<n / p_{1}<n$. 归纳假设告诉我们，两个因式分解 $n / p_{1}$ 必须是相同的，除了因素的 顺序。所以 $s=t$ 并且 (2) 中的分解也是相同的，除了顺序。这样就完成了证明。
笔记。在整数的因式分解中 $n_{t}$ 一个特定的素数 $p$ 可能发生不止一次。如果不同的质因数 $n$ 是 $p_{1}, \ldots, p_{r}$ 而如果 $p_{i}$ 作为一个因素发生 $a_{i}$ 次，我们可以写
$$
n=p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}
$$
或者，更简单地说，
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{a_{i}} .
$$

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|The series of reciprocals of the primes

定理 $1.13$ 无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 1 / p_{n}$ 分歧。
证明。该定理的以下简短证明归功于 Clarkson [11]。我们假设级数收敛并获得矛盾。如果级数收敛，则有一个整 数 $k$ 这样
$$
\sum_{m=k+1}^{\infty} \frac{1}{p_{m}}<\frac{1}{2}
$$
让 $Q=p_{1} \cdots p_{k}$ ，并考虑数字 $1+n Q$ 为了 $n=1,2, \ldots$ 这些都不能被任何素数整除 $p_{1}, \ldots, p_{k}$. 因此，所有 的主要因数 $1+n Q$ 发生在素数之间 $p_{k+1}, p_{k+2} \ldots$ 因此对于每个 $r \geq 1$ 我们有
$$
\sum_{n=1}^{r} \frac{1}{1+n Q} \leq \sum_{t=1}^{x}\left(\sum_{m=k+1}^{x} \frac{1}{p_{m}}\right)^{t}
$$
因为右边的总和包括左边的所有项。但是这个不等式的右手边是由收敛的几何级数支配的
$$
\sum_{t=1}^{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{t}
$$
因此系列 $\sum_{n=1}^{x} 1 /(1+n Q)$ 有界的部分和，因此收敛。但这是一个矛盾，因为积分检验或极限比较检验表明这 个系列是发散的。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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在数学中，解析数论是数论的一个分支，使用数学分析的方法来解决有关整数的问题。

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我们提供的解析数论Analytic Number Theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisor

If $d$ divides two integers $a$ and $b$, then $d$ is called a common divisor of $a$ and $b$. Thus, 1 is a common divisor of every pair of integers $a$ and $b$. We prove now that every pair of integers $a$ and $b$ has a common divisor which can be expressed as a linear combination of $a$ and $b$.

Theorem $1.2$ Given any two integers $a$ and $b$, there is a common divisor $d$ of $a$ and $b$ of the form
$$
d=a x+b y,
$$ where $x$ and $y$ are integers. Moreover, every common divisor of $a$ and $b$ divides this $d$.

Proof. First we assume that $a \geq 0$ and $b \geq 0$. We use induction on $n$, where $n=a+b$. If $n=0$ then $a=b=0$ and we can take $d=0$ with $x=y=0$. Assume, then, that the theorem has been proved for $0,1,2, \ldots$, $n-1$. By symmetry, we can assume $a \geq b$. If $b=0$ take $d=a, x=1$, $y=0$. If $b \geq 1$ apply the theorem to $a-b$ and $b$. Since $(a-b)+b=$ $a=n-b \leq n-1$, the induction assumption is applicable and there is a common divisor $d$ of $a-b$ and $b$ of the form $d=(a-b) x+b y$. This $d$ also divides $(a-b)+b=a$ so $d$ is a common divisor of $a$ and $b$ and we have $d=a x+(y-x) h$, a linear combination of $a$ and $b$. To complete the proof we need to show that every common divisor divides $d$. But a common divisor divides $a$ and $b$ and hence, by linearity, divides $d$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Prime numbers

Definition An integer $n$ is called prime if $n>1$ and if the only positive divisors of $n$ are 1 and $n$. If $n>1$ and if $n$ is not prime, then $n$ is called composite.

EXAMPLES The prime numbers less than 100 are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23, $29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89$, and 97 .
Notation Prime numbers are usually denoted by $p, p^{\prime}, p_{i}, q, q^{\prime}, q_{i}$.
Theorem 1.6 Every integer $n>1$ is either a prime number or a product of prime numbers.

Proof. We use induction on $n$. The theorem is clearly true for $n=2$. Assume it is true for every integer $1$ so each of $c, d$ is a product of prime numbers, hence so is $n$.
Theorem 1.7 Euclid. There are infinitely many prime numbers.

EUCLID’s Proof. Suppose there are only a finite number, say $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Let $N=1+p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$. Now $N>1$ so either $N$ is prime or $N$ is a product of primes. Of course $N$ is not prime since it exceeds each $p_{i}$. Moreover, no $p_{i}$ divides $N$ (if $p_{i} \mid N$ then $p_{i}$ divides the difference $N-p_{1} p_{2} \cdots p_{n}=1$ ). This contradicts Theorem 1.6.

解析数论代写

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisor

如果 $d$ 将两个整数相除 $a$ 和 $b$ ，然后 $d$ 被称为公约数 $a$ 和 $b$. 因此，1 是每对整数的公约数 $a$ 和 $b$. 我们现在证明每一对 整数 $a$ 和 $b$ 有一个公约数，可以表示为 $a$ 和 $b$.
定理 $1.2$ 给定任意两个整数 $a$ 和 $b$ ，有一个公约数 $d$ 的 $a$ 和 $b$ 形式的
$$
d=a x+b y,
$$
在哪里 $x$ 和 $y$ 是整数。此外，每个公约数 $a$ 和 $b$ 划分这个 $d$.
证明。首先我们假设 $a \geq 0$ 和 $b \geq 0$. 我们使用归纳法 $n$ ，在哪里 $n=a+b$. 如果 $n=0$ 然后 $a=b=0$ 我们可 以采取 $d=0$ 和 $x=y=0$. 那么假设该定理已被证明 $0,1,2, \ldots, n-1$. 通过对称性，我们可以假设 $a \geq b$. 如 果 $b=0$ 拿 $d=a, x=1, y=0$. 如果 $b \geq 1$ 将定理应用于 $a-b$ 和 $b$. 自从 $(a-b)+b=$
$a=n-b \leq n-1$, 归纳假设适用且存在公约数 $d$ 的 $a-b$ 和 $b$ 形式的 $d=(a-b) x+b y$. 这个 $d$ 也分
$(a-b)+b=a$ 所以 $d$ 是的公约数 $a$ 和 $b$ 我们有 $d=a x+(y-x) h$, 的线性组合 $a$ 和 $b$. 为了完成证明，我们需 要证明每个公约数都可以除 $d$. 但是一个公约数除以 $a$ 和 $b$ 因此，通过线性，除以 $d$.

数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Prime numbers

定义一个整数 $n$ 称为素数，如果 $n>1$ 如果唯一的正除数 $n$ 是 1 和 $n$. 如果 $n>1$ 而如果 $n$ 不是素数，那么称为 复合。
例子 小于 100 的素数是 $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89$ ，和 97 .
符号素数通常表示为 $p, p^{\prime}, p_{i}, q, q^{\prime}, q_{i}$.
定理 $1.6$ 每个整数 $n>1$ 要么是素数，要么是素数的乘积。
证明。我们使用归纳法 $n$. 该定理显然是正确的 $n=2$. 假设每个整数都为真 1 所以每个 $c, d$ 是素数的乘积，因此也 是 $n$.
定理 $1.7$ 欧几里得。素数有无穷多个。
EUCLID 的证明。假设只有一个有限的数字，比如说 $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. 让 $N=1+p_{1} p_{2} \cdots p_{n}$. 现在 $N>1$ 所 以要么 $N$ 是素数或 $N$ 是素数的乘积。当然 $N$ 不是素数，因为它超过了每个 $p_{i}$. 此外，没有 $p_{i}$ 划分 $N$ (如果 $p_{i} \mid N$ 然后 $p_{i}$ 划分差异 $N-p_{1} p_{2} \cdots p_{n}=1$ ）。这与定理 $1.6$ 相矛盾。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。