### 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|MAST90136

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## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Least Integer Axiom and Mathematical Induction

Let
$$\mathbf{Z}={0, \pm 1, \pm 2, \cdots}$$
be the set of integers. The Least Integer Axiom (see [10]), also known as the Well Ordering Principle, states that there is a smallest integer in every nonempty subset of non-negative integers. It is useful in establishing the following result.

Theorem 1.1. Let $S(1), S(2), \cdots, S(n), \cdots$ be statements, one for each integer $n \geq 1$. If some of these statements are false, then there is a first false statement.
Proof. Set
$$T=\left{k \in \mathbf{Z}^{+} \mid S(k) \text { is false }\right} .$$
Since at least one statement is false, $T$ is nonempty. By the Least Integer Axiom, there exists a smallest integer $n$ in $T$. This implies that $S(n)$ is the first false statement.

From Theorem 1.1, we deduce the Principle of Mathematical Induction.
Theorem 1.2. Let $S(n)$ be statements, one for each $n \geq 1$. Suppose that the following conditions are satisfied by $S(n)$ :
(a) The statement $S(1)$ is true.
(b) If $S(n)$ is true, then $S(n+1)$ is true.
Then $S(n)$ is true for all integers $n \geq 1$.

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisors

Definition 1.3. A common divisor of integers $a$ and $b$ is an integer $c$ with $c \mid a$ and $c \mid b$.

Definition 1.4. A greatest common divisor of integers $a$ and $b$ is a number $d$ with the following properties:
(a) The integer $d$ is non-negative.
(b) The integer $d$ is a common divisor of $a$ and $b$.
(c) If $e$ is any common divisor of $a$ and $b$, then $e \mid d$.

Note that if $d$ and $d^{\prime}$ are both greatest common divisors of $a$ and $b$, then $d$ is a common divisor of $a$ and $b$ and $d^{\prime}$ is a greatest common divisor, we note that $d^{\prime} \mid d$ using Definition $1.4$ (c). Similarly, since $d^{\prime}$ is a common divisor and $d$ is a greatest common divisor, $d \mid d^{\prime}$. By Theorem $1.6$ (i), $|d|=\left|d^{\prime}\right|$ and by Definition $1.4$ (a), we deduce that $d=d^{\prime}$. This shows that the greatest common divisor of $a$ and $b$ is unique.
The notation for the greatest common divisor of $a$ and $b$ is
$$(a, b) \text {. }$$
Remark 1.2. When $a$ and $b$ are zeros, then $(0,0)=0$. If $a=0$ and $b$ is nonzero, then $(0, b)=b$.

We will next show that the greatest common divisor of two integers exists. By Remark 1.2, it suffices to consider the case when both $a$ and $b$ are nonzero.

Theorem 1.7. Let $a$ and $b$ be nonzero integers. Then the smallest positive integer in the set
$$P:={s a+t b \mid s, t \in \mathbf{Z} \text { and } s a+t b>0}$$
is $(a, b)$.
Proof. If $a$ is positive then $a \in P$ since
$$a=1 \cdot a+0 \cdot b .$$

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Least Integer Axiom and Mathematical Induction

$$\mathbf{Z}=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$$

$\mathrm{T}=\backslash \mathrm{left}{\mathrm{k} \backslash$ in $\backslash m a t h b f{Z} \wedge{+} \backslash \mathrm{mid} \mathrm{S}(\mathrm{k}) \backslash \mathrm{text}{$ 为假 $} \backslash$ ight $}$ 。

(a) 声明 $S(1)$ 是真的。
(b) 如果 $S(n)$ 是真的，那么 $S(n+1)$ 是真的。

## 数学代写|解析数论作业代写Analytic Number Theory代考|Greatest common divisors

(a) 整数 $d$ 是非负的。
(b) 整数 $d$ 是公约数 $a$ 和 $b$.
(c) 如果 $e$ 是任何公约数 $a$ 和 $b$ ，然后 $e \mid d$.

$$(a, b) \text {. }$$

$$P:=s a+t b \mid s, t \in \mathbf{Z} \text { and } s a+t b>0$$

$$a=1 \cdot a+0 \cdot b$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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