数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|CPD131

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凸优化是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|CPD131

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Using least-squares

The least-squares problem is the basis for regression analysis, optimal control, and many parameter estimation and data fitting methods. It has a number of statistical interpretations, e.g., as maximum likelihood estimation of a vector $x$, given linear measurements corrupted by Gaussian measurement errors.

Recognizing an optimization problem as a least-squares problem is straightforward; we only need to verify that the objective is a quadratic function (and then test whether the associated quadratic form is positive semidefinite). While the basic least-squares problem has a simple fixed form, several standard techniques are used to increase its flexibility in applications.
In weighted least-squares, the weighted least-squares cost
$$
\sum_{i=1}^k w_i\left(a_i^T x-b_i\right)^2,
$$
where $w_1, \ldots, w_k$ are positive, is minimized. (This problem is readily cast and solved as a standard least-squares problem.) Here the weights $w_i$ are chosen to reflect differing levels of concern about the sizes of the terms $a_i^T x-b_i$, or simply to influence the solution. In a statistical setting, weighted least-squares arises in estimation of a vector $x$, given linear measurements corrupted by errors with unequal variances.

Another technique in least-squares is regularization, in which extra terms are added to the cost function. In the simplest case, a positive multiple of the sum of squares of the variables is added to the cost function:
$$
\sum_{i=1}^k\left(a_i^T x-b_i\right)^2+\rho \sum_{i=1}^n x_i^2,
$$
where $\rho>0$. (This problem too can be formulated as a standard least-squares problem.) The extra terms penalize large values of $x$, and result in a sensible solution in cases when minimizing the first sum only does not. The parameter $\rho$ is chosen by the user to give the right trade-off between making the original objective function $\sum_{i=1}^k\left(a_i^T x-b_i\right)^2$ small, while keeping $\sum_{i=1}^n x_i^2$ not too big. Regularization comes up in statistical estimation when the vector $x$ to be estimated is given a prior distribution.

Weighted least-squares and regularization are covered in chapter 6; their statistical interpretations are given in chapter 7.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Solving linear programs

There is no simple analytical formula for the solution of a linear program (as there is for a least-squares problem), but there are a variety of very effective methods for solving them, including Dantzig’s simplex method, and the more recent interiorpoint methods described later in this book. While we cannot give the exact number of arithmetic operations required to solve a linear program (as we can for leastsquares), we can establish rigorous bounds on the number of operations required to solve a linear program, to a given accuracy, using an interior-point method. The complexity in practice is order $n^2 m$ (assuming $m \geq n$ ) but with a constant that is less well characterized than for least-squares. These algorithms are quite reliable, although perhaps not quite as reliable as methods for least-squares. We can easily solve problems with hundreds of variables and thousands of constraints on a small desktop computer, in a matter of seconds. If the problem is sparse, or has some other exploitable structure, we can often solve problems with tens or hundreds of thousands of variables and constraints.

As with least-squares problems, it is still a challenge to solve extremely large linear programs, or to solve linear programs with exacting real-time computing requirements. But, like least-squares, we can say that solving (most) linear programs is a mature technology. Linear programming solvers can be (and are) embedded in many tools and applications.

Some applications lead directly to linear programs in the form $(1.5)$, or one of several other standard forms. In many other cases the original optimization problem does not have a standard linear program form, but can be transformed to an equivalent linear program (and then, of course, solved) using techniques covered in detail in chapter 4.
As a simple example, consider the Chebyshev approximation problem:
$$
\text { minimize } \max _{i=1, \ldots, k}\left|a_i^T x-b_i\right| \text {. }
$$
Here $x \in \mathbf{R}^n$ is the variable, and $a_1, \ldots, a_k \in \mathbf{R}^n, b_1, \ldots, b_k \in \mathbf{R}$ are parameters that specify the problem instance. Note the resemblance to the least-squares problem (1.4). For both problems, the objective is a measure of the size of the terms $a_i^T x-b_i$. In least-squares, we use the sum of squares of the terms as objective, whereas in Chebyshev approximation, we use the maximum of the absolute values.

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凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Using least-squares

最小二乘问题是回归分析、最优控制以及许多参数估计和数据拟合方法的基础。它有许多统计解释,例 如,作为向量的最大似然估计 $x$ ,给定被高斯测量误差破坏的线性测量。
将优化问题识别为最小二乘问题很简单;我们只需要验证目标是一个二次函数(然后测试相关的二次形式 是否是半正定的)。虽然基本的最小二乘问题具有简单的固定形式,但使用了几种标准技术来增加其应用 的灵活性。
在加权最小二乘法中,加权最小二乘法成本
$$
\sum_{i=1}^k w_i\left(a_i^T x-b_i\right)^2
$$
在哪里 $w_1, \ldots, w_k$ 是积极的,被最小化。(这个问题很容易作为标准的最小二乘问题解决。)这里的权 重 $w_i$ 被选择以反映对术语大小的不同关注程度 $a_i^T x-b_i$ ,或者只是影响解决方案。在统计设置中,加权 最小二乘法出现在向量估计中 $x$ ,给定的线性测量值被方差不等的误差所破坏。
最小二乘法中的另一种技术是正则化,其中将额外项添加到成本函数中。在最简单的情况下,将变量平方 和的正倍数添加到成本函数中:
$$
\sum_{i=1}^k\left(a_i^T x-b_i\right)^2+\rho \sum_{i=1}^n x_i^2
$$
在哪里 $\rho>0$. (这个问题也可以表述为标准的最小二乘问题。) 额外的项征罚大的值 $x$ ,并在仅最小化 第一个总和没有最小化的情况下得出明智的解决方案。参数 $\rho$ 由用户选择以在制作原始目标函数之间做出 正确的权衡 $\sum_{i=1}^k\left(a_i^T x-b_i\right)^2$ 小,同时保持 $\sum_{i=1}^n x_i^2$ 不太大。当向量时,正则化出现在统计估计中 $x$ 要估计的是给定的先验分布。
第 6 章介绍了加权最小二乘法和正则化;第 7 章给出了它们的统计解释。

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Solving linear programs

线性规划的求解没有简单的解析公式 (就像最小二乘问题一样),但是有多种非常有效的方法来求解它 们,包括 Dantzig 的单纯形法,以及最近描述的内点法在这本书的后面。虽然我们不能给出求解线性规划 所需的算术运算的确切数量 (正如我们可以求解最小二乘法),但我们可以使用内部函数对求解线性规划 所需的运算数量建立严格的界限,以达到给定的精度。点法。实践中的复杂性在于秩序 $n^2 m$ (假设 $m \geq n)$ 但与最小二乘法相比,其特征较差的常数。这些算法非常可靠,尽管可能不如最小二乘法那么可 靠。我们可以在几秒钟内在小型台式计算机上轻松解决具有数百个变量和数干个约束的问题。如果问题是 稀疏的,或者有一些其他可利用的结构,我们通常可以解决具有数万或数十万个变量和约束的问题。
与最小二乘问题一样,求解超大型线性规划,或求解具有严格实时计算要求的线性规划仍然是一个挑战。 但是,就像最小二乘法一样,我们可以说求解 (大多数) 线性规划是一项成熟的技术。线性规划求解器可 以 (并且已经) 嵌入到许多工具和应用程序中。
一些应用直接导致形式为线性程序 (1.5),或其他几种标准形式之一。在许多其他情况下,原始优化问题 没有标准的线性规划形式,但可以使用第 4 章中详细介绍的技术将其转换为等效的线性规划(然后当然 可以求解)。
举一个简单的例子,考虑切比雪夫近似问题:
$$
\operatorname{minimize} \max _{i=1, \ldots, k}\left|a_i^T x-b_i\right| .
$$
这里 $x \in \mathbf{R}^n$ 是变量,并且 $a_1, \ldots, a_k \in \mathbf{R}^n, b_1, \ldots, b_k \in \mathbf{R}$ 是指定问题实例的参数。请注意与最小 二乘问题 (1.4) 的相似之处。对于这两个问题,目标是衡量项的大小 $a_i^T x-b_i$. 在最小二乘法中,我们使 用项的平方和作为目标,而在切比雪夫近似中,我们使用绝对值的最大值。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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