数学代写|数论代写Number theory代考|MTH2106

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数学代写|数论代写Number theory代考|MTH2106

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONAL SURDS

The following result is well known, and was, essentially, proved by Pythagoras or one of his followers.
Theorem 1.1. $\sqrt{2}$ is irrational.
Proof by contradiction. Suppose that $\sqrt{2}=p / q$, where $p$ and $q$ are integers with no common factor, and with $q \neq 0$. Squaring both sides and multiplying by $q^{2}$, we have $p^{2}=2 q^{2}$. Thus $p^{2}$ is even and so $p$ is even, say $p=2 r$. Substituting for $p$ gives $q^{2}=2 r^{2}$ and so $q$ is even. Thus $p$ and $q$ have a common factor of 2 , and this contradicts our initial assumption. Therefore, $\sqrt{2}$ is irrational.

Plato records that his teacher Theodorus proved the irrationality of $\sqrt{n}$ for $n$ up to 17 . Historians of mathematics have wondered why he stopped just here; the question is made harder by the fact that we don’t know exactly how Theodorus’ proof ran. The following proof of the irrationality of $\sqrt{n}$ for certain values of $n$ suggests a possible reason for stopping just before $n=17$.
First, if $n=4 k$, then the irrationality of $\sqrt{n}$ is equivalent to that of $\sqrt{k}$; and if $n=4 k+2$, then the method used above for $n=2$ can be employed with only minor changes. So we concentrate on odd values of $n$. If $n$ is odd

and $\sqrt{n}=p / q$, then $n q^{2}=p^{2}$ and $p$ and $q$ must both be odd; substituting $p=2 r+1$ and $q=2 s+1$ and rearranging yields
$$
4 n\left(s^{2}+s\right)-4\left(r^{2}+r\right)+n-1=0 .
$$
Consider the case $n=4 k+3$. Cancelling 2 from the above equation gives
$$
2 n\left(s^{2}+s\right)-2\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
which is clearly impossible as the left-hand side is odd. This method does not work directly for $n=4 k+1$, so we consider as a subsidiary case $n=8 k+5$. Substituting as above and cancelling 4 we obtain
$$
n\left(s^{2}+s\right)-\left(r^{2}+r\right)+2 k+1=0
$$
but as $r^{2}+r$ and $s^{2}+s$ are both even, this is again impossible.
The remaining possibility is that $n=8 k+1$; but it appears that this case has to be split up into still further subcases, and the proof becomes much more complicated (try it!), so we shall stop here. Therefore, we have proved the following.

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

The following well-known result characterises rational numbers in terms of their decimals. Note that the eventually periodic decimal expansions include the finite expansions, for instance, $0.123=0.123000 \cdots=0.122999 \cdots$.

Theorem 1.7. Rationality of decimals. A real number $\alpha$ is rational if and only if it has an eventually periodic decimal expansion.

Proof. Firstly, suppose that $\alpha$ has an eventually periodic expansion. Without loss of generality we may assume that $0<\alpha<1$, say
$$
\alpha=0 . a_{1} a_{2} \cdots a_{s} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots
$$
Let $a$ and $b$ be the non-negative integers with digits $a_{1} a_{2} \cdots a_{s}$ and $b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$ respectively; then
$$
\alpha=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}}+\frac{b}{10^{s+2 t}}+\cdots=\frac{a}{10^{s}}+\frac{b}{10^{s+t}} \frac{1}{1-10^{-t}},
$$
which is rational. Conversely, suppose that $\alpha=p / q$ is rational, and initially assume that neither 2 nor 5 is a factor of $q$. Choose $t=\phi(q)$, where $\phi$ is Euler’s function: see definition $1.6$ in the appendix to this chapter. By Euler’s Theorem we have
$$
10^{t} \equiv 1(\bmod q)
$$
and so $q$ is a factor of $10^{t}-1$, say $10^{t}-1=q r$. Hence we can write
$$
\alpha=\frac{p r}{10^{t}-1}=a+\frac{b}{10^{t}-1}
$$
here we have used the division algorithm to guarantee that $0 \leq b<10^{t}-1$. We can thus write $b$ as a number of $t$ digits, say $b=b_{1} b_{2} \cdots b_{t}$; it is possible that $b_{1}$ is zero. Similarly, write $a=a_{1} a_{2} \cdots a_{s}$. Then
$$
\alpha=a+\frac{b}{10^{t}}+\frac{b}{10^{2 t}}+\cdots=a_{1} a_{2} \cdots a_{s} \cdot b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots b_{t} b_{1} b_{2} \cdots
$$

and we see that $\alpha$ has an eventually periodic decimal expansion. To complete the proof we must also consider the case when $q$ has 2 or 5 as a factor. Let $q=2^{m} 5^{n} q^{\prime}$, where neither 2 nor 5 is a factor of $q^{\prime}$; then
$$
10^{m+n} \alpha=\frac{2^{n} 5^{m} p}{q^{\prime}}=\frac{p^{\prime}}{q^{\prime}}
$$
say; by the previous argument, the decimal expansion of $10^{m+n} \alpha$ is eventually periodic. The expansion of $\alpha$ contains exactly the same digits (with the decimal point shifted $m+n$ places), so it too is eventually periodic.

Alternative proof (sketch). To show that every rational number $\alpha=p / q$ has an eventually periodic decimal expansion, suppose without loss of generality that $0 \leq \alpha<1$, and consider how to compute the expansion
$$
\alpha=0 . a_{1} a_{2} a_{3} \cdots
$$
by division. We divide $10 p$ by $q$; the quotient is $a_{1}$ and the remainder, say, $p_{1}$. Dividing $10 p_{1}$ by $q$ gives quotient $a_{2}$ and remainder $p_{2}$, and so on. Since division by $q$ gives only a finite number of possible remainders, the remainder $p_{k}$ must at some stage be the same as a previous remainder $p_{j}$. From this point on the whole procedure repeats and we have $a_{k}=a_{j}, p_{k+1}=p_{j+1}$, $a_{k+1}=a_{j+1}$ and so on. Exercise. Write out this proof in more detail.

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

Once we get beyond radical expressions and decimals, irrationality proofs, for the most part, become significantly harder. A notable exception is the irrationality of the exponential constant $e$. Apart from the intrinsic interest of the result, its proof provides our first glimpse of an idea which will recur again and again in irrationality arguments, and which we shall employ extensively in Chapters 2 and $5 .$

Proof. Assume that $e=p / q$ is rational. That is,
$$
\frac{p}{q}=1+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots
$$
and for any positive integer $n$, we have
$$
\frac{p n !}{q}=n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1+R
$$
where $R$ (which depends on $n$ ) is given by
$$
R=\frac{n !}{(n+1) !}+\frac{n !}{(n+2) !}+\cdots
$$
We can estimate $R$ in terms of a geometric series:
$$
R=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots=\frac{1}{n} .
$$
In particular, choose $n=q$. Then
$$
R=\frac{p n !}{q}-\left(n !+\frac{n !}{1 !}+\frac{n !}{2 !}+\cdots+1\right)
$$
is clearly an integer; but using (1.1), we have $0<R<1$. This is impossible, and so $e$ is irrational.

Observe that this proof relies essentially on an infinite series for $e$, and therefore has to involve concepts of calculus. In some sense this may be surprising, as number theory is usually thought of as studying discrete systems while calculus is the science of the continuous; in another sense there should be no surprise, as it is not even possible to define the number $e$ without recourse to calculus techniques. Whether it is in fact a surprise or not, we shall find that many of our future proofs will be expressed in terms of calculus.

数学代写|数论代写Number theory代考|MTH2106

数论代考

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONAL SURDS

以下结果是众所周知的,并且基本上由毕达哥拉斯或其追随者之一证明。
定理 1.1。2是不合理的。
反证法。假设2=p/q, 在哪里p和q是没有公因数的整数,并且有q≠0. 两边平方并乘以q2, 我们有p2=2q2. 因此p2是什等p甚至,说p=2r. 代替p给q2=2r2所以q甚至。因此p和q有一个公因数 2 ,这与我们最初的假设相矛盾。所以,2是不合理的。

柏拉图记载他的老师西奥多罗斯证明了n为了n最多 17 个。数学史家想知道他为什么就停在这里。由于我们不确切知道 Theodorus 的证明是如何运行的,这个问题变得更加困难。下列不合理性的证明n对于某些值n建议之前停止的可能原因n=17.
首先,如果n=4ķ,那么不合理n相当于ķ; 而如果n=4ķ+2,那么上面使用的方法n=2只需稍作改动即可使用。所以我们专注于奇数值n. 如果n很奇怪

和n=p/q, 然后nq2=p2和p和q都必须是奇数;替代p=2r+1和q=2s+1并重新安排产量

4n(s2+s)−4(r2+r)+n−1=0.
考虑案例n=4ķ+3. 从上面的等式中取消 2 给出

2n(s2+s)−2(r2+r)+2ķ+1=0
这显然是不可能的,因为左边是奇怪的。此方法不适用于直接n=4ķ+1, 所以我们考虑作为一个从属情况n=8ķ+5. 如上所述代入并取消4我们得到

n(s2+s)−(r2+r)+2ķ+1=0
但作为r2+r和s2+s两者都是偶数,这又是不可能的。
剩下的可能性是n=8ķ+1; 但似乎这个案例必须分成更多的子案例,证明变得更加复杂(试试看!),所以我们将在这里停止。因此,我们证明了以下几点。

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONAL DECIMALS

以下众所周知的结果用小数来描述有理数。请注意,最终周期性十进制扩展包括有限扩展,例如,0.123=0.123000⋯=0.122999⋯.

定理 1.7。小数的合理性。一个实数一个当且仅当它具有最终的周期性十进制展开时是有理的。

证明。首先,假设一个有一个最终的周期性扩展。不失一般性,我们可以假设0<一个<1, 说

一个=0.一个1一个2⋯一个sb1b2⋯b吨b1b2⋯b吨b1b2⋯
让一个和b是带数字的非负整数一个1一个2⋯一个s和b1b2⋯b吨分别; 然后

一个=一个10s+b10s+吨+b10s+2吨+⋯=一个10s+b10s+吨11−10−吨,
这是合理的。相反,假设一个=p/q是理性的,并且最初假设 2 和 5 都不是q. 选择吨=φ(q), 在哪里φ是欧拉函数:见定义1.6在本章的附录中。根据欧拉定理,我们有

10吨≡1(反对q)
所以q是一个因素10吨−1, 说10吨−1=qr. 因此我们可以写

一个=pr10吨−1=一个+b10吨−1
这里我们使用了除法算法来保证0≤b<10吨−1. 我们可以这样写b作为一些吨数字,说b=b1b2⋯b吨; 它可能是b1为零。同样,写一个=一个1一个2⋯一个s. 然后

一个=一个+b10吨+b102吨+⋯=一个1一个2⋯一个s⋅b1b2⋯b吨b1b2⋯b吨b1b2⋯

我们看到了一个有一个最终周期性的十进制展开。为了完成证明,我们还必须考虑以下情况q有 2 或 5 作为一个因素。让q=2米5nq′,其中 2 和 5 都不是q′; 然后

10米+n一个=2n5米pq′=p′q′
说; 由前面的论点,十进制展开10米+n一个最终是周期性的。的扩展一个包含完全相同的数字(小数点移位米+n地方),所以它最终也是周期性的。

替代证明(草图)。证明每一个有理数一个=p/q有一个最终周期性的十进制展开式,假设不失一般性0≤一个<1,并考虑如何计算展开

一个=0.一个1一个2一个3⋯
按划分。我们分10p经过q; 商是一个1剩下的,比如说,p1. 划分10p1经过q给出商一个2和剩余的p2, 等等。由于除以q只给出有限数量的可能余数,余数pķ必须在某个阶段与之前的剩余部分相同pj. 从这一点开始,整个过程重复,我们有一个ķ=一个j,pķ+1=pj+1, 一个ķ+1=一个j+1等等。锻炼。更详细地写出这个证明。

数学代写|数论代写Number theory代考|IRRATIONALITY OF THE EXPONENTIAL CONSTANT

一旦我们超越了激进的表达式和小数,在大多数情况下,非理性证明就会变得更加困难。一个值得注意的例外是指数常数的非理性和. 除了结果的内在兴趣之外,它的证明让我们第一次看到了一个想法,这个想法将在非理性论证中一次又一次地出现,我们将在第 2 章和第 2 章中广泛使用。5.

证明。假使,假设和=p/q是理性的。那是,

pq=1+11!+12!+13!+⋯
对于任何正整数n, 我们有

pn!q=n!+n!1!+n!2!+⋯+1+R
在哪里R(这取决于n) 是(谁)给的

R=n!(n+1)!+n!(n+2)!+⋯
我们可以估计R就几何级数而言:

R=1n+1+1(n+1)(n+2)+⋯<1n+1+1(n+1)2+⋯=1n.
特别是选择n=q. 然后

R=pn!q−(n!+n!1!+n!2!+⋯+1)
显然是一个整数;但是使用(1.1),我们有0<R<1. 这是不可能的,所以和是不合理的。

观察到这个证明本质上依赖于一个无限级数和,因此必须涉及微积分的概念。从某种意义上说,这可能令人惊讶,因为数论通常被认为是研究离散系统,而微积分是连续的科学。在另一种意义上,这应该不足为奇,因为甚至无法定义数字和不求助于微积分技术。不管这实际上是否令人惊讶,我们会发现我们未来的许多证明将用微积分来表达。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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