数学代写|数论作业代写number theory代考|On Trace Class Operators

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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|On Trace Class Operators

数学代写|数论作业代写number theory代考|On Trace Class Operators

A classical result in an elementary linear algebra course states that, for an arbitrary $n \times$ $n$ matrix $B=\left(B_{j, k}\right){1 \leq j, k \leq n}$ of complex numbers with eigenvalues $\left{\beta{k}\right}_{k=1}^{n}$ (counting algebraic multiplicities), one has
$$
\operatorname{tr}(B)=\sum_{j=1}^{n} B_{j, j}=\sum_{k=1}^{n} \beta_{k}
$$
This result generalizes to an important class of compact operators in an infinitedimensional, separable Hilbert space $(\mathcal{H},(\cdot, \cdot) \mathcal{H})$, the so-called trace class operators. Specifically, a bounded linear operator $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ is trace class if, for some (and hence for all) orthonormal basis $\left{e_{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}$ of $\mathcal{H}$, the sum
$$
\sum_{j \in \mathbb{N}}\left(e_{j},\left(T^{*} T\right)^{1 / 2} e_{j}\right)_{\mathcal{H}}
$$
is finite; see [56] [Sect. 3.6] for an in-depth discussion of this topic. In this case, the trace of $T$ is defined to be

$$
\operatorname{tr}(T)=\sum_{j \in \mathbb{N}}\left(e_{j}, T e_{j}\right){\mathcal{H}} $$ this finite-valued sum is absolutely convergent and independent of the choice of orthonormal basis $\left{e{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}$. In addition, if $\left{\tau_{k}\right}_{k \in J}$ (with $J \subseteq \mathbb{N}$ an appropriate index set) represent the eigenvalues of $T$, counting algebraic multiplicities, then by Lidskii’s theorem (see, e.g., [55] [Chap. 3], [56] [Sect. 3.12])
$$
\operatorname{tr}(T)=\sum_{j \in \mathbb{N}}\left(e_{j}, T e_{j}\right){\mathcal{H}}=\sum{k \in J} \tau_{k} .
$$
For the purpose of this note, we discuss a particular set of trace class integral operators. Let $[a, b] \subset \mathbb{R}$ be a compact interval and $K(\cdot, \cdot):[a, b] \times[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ be a continuous function. Define $T: L^{2}((a, b) ; d x) \rightarrow L^{2}((a, b) ; d x)$ by
$$
(T f)(x)=\int_{a}^{b} d y K(x, y) f(y), \quad f \in L^{2}((a, b) ; d x)
$$
and assume that $T \geq 0$ (implying $K(x, x) \geq 0, x \in[a, b]$ ). Then by Mercer’s Theorem (see, e.g.., [18] [Proposition 5.6.9], [56] [Theorem 3.11.9]), $T$ is trace class and
$$
\operatorname{tr}(T)=\int_{a}^{b} d x K(x, x) \in[0, \infty)
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Some Generalizations

In our final section we probe some (z-dependent) extensions of Theorem $1 .$
More precisely, for $x, y \in[0,1], n \in \mathbb{N}$, we will be considering
$$
\begin{array}{r}
\left(\left(-\Delta_{D}\right)^{n}-z I\right)^{-1}(x, y)=K_{n}(z ; x, y)=2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{2 n}-z\right]} \
z \in \mathbb{C} \backslash\left{(k \pi)^{2 n}\right}_{k \in \mathbb{N}}
\end{array}
$$
and
$$
\begin{aligned}
\left(-\Delta_{D}-z I\right)^{-n}(x, y) &=\widetilde{K}{n}(z ; x, y)=2 \sum{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{2}-z\right]^{n}} \
&=\frac{1}{(n-1) !} \frac{d^{n-1}}{d z^{n-1}} K_{1}(z ; x, y), \quad z \in \mathbb{C} \backslash\left{(k \pi)^{2}\right}_{k \in \mathbb{N}}
\end{aligned}
$$
noting that,
$$
\begin{aligned}
&\left(-\Delta_{D}\right)^{-n}(x, y)=K_{n}(x, y)=\left.K_{n}(z ; x, y)\right|{z=0}=\left.\tilde{K}{n}(z ; x, y)\right|{z=0} \ &K{1}(z ; x, y)-\widetilde{K}{1}(z ; x, y), \quad z \in \mathbb{C} \backslash\left{(k \pi)^{2}\right}{k \in \mathbb{N}^{*}}
\end{aligned}
$$

We start with the case of $\widetilde{K}{n}(z ; \cdot, \cdot), n \in \mathbb{N}$, and recall the trace formula, $$ \begin{aligned} &\sum{k \in \mathbb{N}}\left[(k \pi)^{2}-z\right]^{-\mu} \
&=\frac{\pi^{1 / 2}}{\left(2 z^{1 / 2}\right)^{\mu-(1 / 2)} \Gamma(\mu)} \int_{0}^{\infty} d x\left[e^{\pi x}-1\right]^{-1} x^{\mu-(1 / 2)} I_{\mu-(1 / 2)}\left(z^{1 / 2} x\right) . \
&\Re(\mu)>1 / 2,\left|\Re\left(z^{1 / 2}\right)\right|<\pi,
\end{aligned}
$$
ohtained as an elementary consequence of [27] [No. 6.6247] or [68] [Fq. (9) on p. 386] (originally due to Kapteyn [37]), where (cf. [46] [No. 10.27.6])
$$
I_{v}(\zeta)=e^{\mp i(\pi / 2) v} J_{v}(\pm i \zeta), \quad \Re(v) \geq 0,-\pi \leq \pm \operatorname{Arg}(\zeta) \leq \pi / 2
$$
where $\operatorname{Arg}(\cdot)$ represents the single-valued principal value of the argument function on $\mathbb{C} \backslash(-\infty, 0]$. Here $J_{v}(\cdot)$ (resp., $\left.I_{v}(\cdot)\right)$ denotes the Bessel function (resp., modified Bessel function) of order $v$ (cf., e.g.., [1] [Chap. 9], [46] [Chap. 10]).

数学代写|数论作业代写number theory代考|Notation

Let $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}$ be a piecewise smooth bounded open domain (we will actually only work with convex polygonal domains), with boundary $\partial \Omega=\overline{\Gamma_{1} \sqcup \Gamma_{2}}$, where $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ are two disjoint open subsets of $\partial \Omega$. We consider the eigenvalue problem

where $v$ is the outer unit normal along $\partial \Omega$ (defined almost everywhere).
Let $\left{\mu_{i}(\Omega, \mathfrak{d} \mathfrak{n}), i \geq 1\right}$ (resp. $\operatorname{sp}(\Omega, \mathfrak{d} \mathfrak{n})$ ) denote the eigenvalues (resp. the spectrum) of problem (1.1). We always list the eigenvalues in non-decreasing order, with multiplicities, starting with the index 1 . We simply write $\mu_{i}$, and skip mentioning the domain $\Omega$, or the boundary condition $\mathrm{on}$, whenever the context is clear. Examples of eigenvalue problems with mixed boundary conditions appear in Sects. 2 and $3 .$
Let $\mathcal{E}(\mu)$ denote the eigenspace associated with the eigenvalue $\mu$.
Define the min-index $\kappa(\mu)$ of the eigenvalue $\mu$ as
$$
\kappa(\mu)-\min \left{m \mid \mu-\mu_{m}\right}
$$

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数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|On Trace Class Operators

初等线性代数课程中的经典结果表明,对于任意n× n矩阵乙=(乙j,ķ)1≤j,ķ≤n具有特征值的复数\left{\beta{k}\right}_{k=1}^{n}\left{\beta{k}\right}_{k=1}^{n}(计算代数重数),一个有

tr⁡(乙)=∑j=1n乙j,j=∑ķ=1nbķ
这个结果推广到无限维可分希尔伯特空间中的一类重要紧致算子(H,(⋅,⋅)H),即所谓的跟踪类运算符。具体来说,有界线性算子吨:H→H是迹类,如果,对于某些(因此对于所有)正交基\left{e_{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}\left{e_{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}的H, 总和

∑j∈ñ(和j,(吨∗吨)1/2和j)H
是有限的;见 [56] [Sect. 3.6] 来深入讨论这个话题。在这种情况下,痕迹吨被定义为

tr⁡(吨)=∑j∈ñ(和j,吨和j)H这个有限值和是绝对收敛的,并且与正交基的选择无关\left{e{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}\left{e{j}\right}_{j \in \mathbb{N}}. 此外,如果\left{\tau_{k}\right}_{k \in J}\left{\tau_{k}\right}_{k \in J}(和Ĵ⊆ñ一个适当的索引集)表示的特征值吨,计算代数重数,然后通过 Lidskii 定理(参见例如 [55] [Chap. 3]、[56] [Sect. 3.12])

tr⁡(吨)=∑j∈ñ(和j,吨和j)H=∑ķ∈Ĵτķ.
出于本说明的目的,我们讨论了一组特定的跟踪类积分运算符。让[一个,b]⊂R是一个紧区间并且ķ(⋅,⋅):[一个,b]×[一个,b]→C是一个连续函数。定义吨:大号2((一个,b);dX)→大号2((一个,b);dX)经过

(吨F)(X)=∫一个bd是ķ(X,是)F(是),F∈大号2((一个,b);dX)
并假设吨≥0(暗示ķ(X,X)≥0,X∈[一个,b])。然后由默瑟定理(参见,例如,[18] [命题 5.6.9]、[56] [定理 3.11.9]),吨是跟踪类和

tr⁡(吨)=∫一个bdXķ(X,X)∈[0,∞)

数学代写|数论作业代写number theory代考|Some Generalizations

在最后一节中,我们探讨了定理的一些(z 相关)扩展1.
更准确地说,对于X,是∈[0,1],n∈ñ,我们将考虑

\begin{array}{r} \left(\left(-\Delta_{D}\right)^{n}-z I\right)^{-1}(x, y)=K_{n}(z ; x, y)=2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{ 2 n}-z\right]} \ z \in \mathbb{C} \反斜杠\left{(k \pi)^{2 n}\right}_{k \in \mathbb{N}} \end{大批}\begin{array}{r} \left(\left(-\Delta_{D}\right)^{n}-z I\right)^{-1}(x, y)=K_{n}(z ; x, y)=2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{ 2 n}-z\right]} \ z \in \mathbb{C} \反斜杠\left{(k \pi)^{2 n}\right}_{k \in \mathbb{N}} \end{大批}

\begin{对齐} \left(-\Delta_{D}-z I\right)^{-n}(x, y) &=\widetilde{K}{n}(z ; x, y)=2 \ sum{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{2}-z\right]^ {n}} \ &=\frac{1}{(n-1) !} \frac{d^{n-1}}{d z^{n-1}} K_{1}(z ; x, y ), \quad z \in \mathbb{C} \backslash\left{(k \pi)^{2}\right}_{k \in \mathbb{N}} \end{对齐}\begin{对齐} \left(-\Delta_{D}-z I\right)^{-n}(x, y) &=\widetilde{K}{n}(z ; x, y)=2 \ sum{k \in \mathbb{N}} \frac{\sin (k \pi x) \sin (k \pi y)}{\left[(k \pi)^{2}-z\right]^ {n}} \ &=\frac{1}{(n-1) !} \frac{d^{n-1}}{d z^{n-1}} K_{1}(z ; x, y ), \quad z \in \mathbb{C} \backslash\left{(k \pi)^{2}\right}_{k \in \mathbb{N}} \end{对齐}
注意到,

\begin{aligned} &\left(-\Delta_{D}\right)^{-n}(x, y)=K_{n}(x, y)=\left.K_{n}(z ; x , y)\right|{z=0}=\left.\tilde{K}{n}(z ; x, y)\right|{z=0} \ &K{1}(z ; x, y) -\widetilde{K}{1}(z ; x, y), \quad z \in \mathbb{C} \反斜杠\left{(k \pi)^{2}\right}{k \in \mathbb {N}^{*}} \end{对齐}\begin{aligned} &\left(-\Delta_{D}\right)^{-n}(x, y)=K_{n}(x, y)=\left.K_{n}(z ; x , y)\right|{z=0}=\left.\tilde{K}{n}(z ; x, y)\right|{z=0} \ &K{1}(z ; x, y) -\widetilde{K}{1}(z ; x, y), \quad z \in \mathbb{C} \反斜杠\left{(k \pi)^{2}\right}{k \in \mathbb {N}^{*}} \end{对齐}

我们从以下案例开始ķ~n(和;⋅,⋅),n∈ñ,并回想迹公式,

∑ķ∈ñ[(ķ圆周率)2−和]−μ =圆周率1/2(2和1/2)μ−(1/2)Γ(μ)∫0∞dX[和圆周率X−1]−1Xμ−(1/2)一世μ−(1/2)(和1/2X). ℜ(μ)>1/2,|ℜ(和1/2)|<圆周率,
作为 [27] [No. 6.6247] 或 [68] [Fq. (9) 页。386](最初由于 Kapteyn [37]),其中(参见 [46] [No. 10.27.6])

一世在(G)=和∓一世(圆周率/2)在Ĵ在(±一世G),ℜ(在)≥0,−圆周率≤±精氨酸⁡(G)≤圆周率/2
在哪里精氨酸⁡(⋅)表示参数函数的单值主值C∖(−∞,0]. 这里Ĵ在(⋅)(分别,一世在(⋅))表示阶的贝塞尔函数(分别是修正贝塞尔函数)在(参见,例如,[1] [第 9 章]、[46] [第 10 章])。

数学代写|数论作业代写number theory代考|Notation

让Ω⊂R2是一个分段光滑的有界开放域(我们实际上只使用凸多边形域),有边界∂Ω=Γ1⊔Γ2¯, 在哪里Γ1,Γ2是两个不相交的开子集∂Ω. 我们考虑特征值问题

在哪里在是外部单位法线沿∂Ω(几乎在所有地方都有定义)。
让\left{\mu_{i}(\Omega,\mathfrak{d}\mathfrak{n}),i\geq 1\right}\left{\mu_{i}(\Omega,\mathfrak{d}\mathfrak{n}),i\geq 1\right}(分别。sp⁡(Ω,dn)) 表示问题 (1.1) 的特征值(分别是频谱)。我们总是以非递减的顺序列出特征值,具有多重性,从索引 1 开始。我们简单地写μ一世,并跳过提及域Ω, 或边界条件○n,只要上下文清楚。具有混合边界条件的特征值问题的示例出现在 Sects 中。2和3.
让和(μ)表示与特征值相关的特征空间μ.
定义最小索引ķ(μ)特征值的μ作为

\kappa(\mu)-\min \left{m \mid \mu-\mu_{m}\right}

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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