数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 3018

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编码理论是研究编码的属性和它们各自对特定应用的适用性。编码被用于数据压缩、密码学、错误检测和纠正、数据传输和数据存储。各种科学学科,如信息论、电气工程、数学、语言学和计算机科学,都对编码进行了研究,目的是设计高效和可靠的数据传输方法。这通常涉及消除冗余和纠正或检测传输数据中的错误。

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数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 3018

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

The Sphere Packing Bound, also called the Hamming Bound, is based on packing $F_{q}^{n}$ with non-overlapping spheres.

Definition 1.9.3 The sphere of radius $r$ centered at $\mathbf{u} \in F_{q}^{n}$ is the set $S_{q, n, r}(\mathbf{u})=$ $\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq r\right}$ of all vectors in $\mathbb{F}_{q}^{n}$ whose distance from $\mathbf{u}$ is at most $r$.
We need the size of a sphere, which requires use of binomial coefficients.
Definition 1.9.4 For $a, b$ integers with $0 \leq b \leq a,\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)$ is the number of $b$-element subsets in an $a$-element set. $\left(\begin{array}{l}a \ b\end{array}\right)=\frac{a !}{b !(a-b) !}$ and is called a binomial coefficient.

The next result is the basis of the Sphere Packing Bound; part (a) is a direct count and part (b) follows from the triangle inequality of Theorem 1.6.2.
Theorem 1.9.5 The following hold.
(a) For $\mathbf{u} \in \mathbb{F}{q}^{n},\left|S{q, n, r}(\mathbf{u})\right|=\sum_{i=0}^{r}\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}$.
(b) If $\mathcal{C}$ is an $(n, M, d)_{q}$ code and $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint.

Theorem 1.9.6 (Sphere Packing (or Hamming) Bound) Let $d \geq 1 .$ If $t=\left\lfloor\frac{d-1}{2}\right\rfloor$, then
$$
B_{q}(n, d) \leq A_{q}(n, d) \leq \frac{q^{n}}{\sum_{i=0}^{t}\left(\begin{array}{c}
n \
i
\end{array}\right)(q-1)^{i}}
$$
Proof: Let $\mathcal{C}$ be an $(n, M, d){q}$ code. By Theorem $1.9 .5$, the spheres of radius $t$ centered at distinct codewords are disjoint, and each such sphere has $\alpha=\sum{i=0}^{t}\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}$ total vectors. Thus $M \alpha$ cannot exceed the number $q^{n}$ of vectors in $\mathbb{F}_{q}^{n}$. The result is now clear.

Remark 1.9.7 The Sphere Packing Bound is an upper bound on the size of a code given its length and minimum distance. Additionally the Sphere Packing Bound produces an upper bound on the minimum distance $d$ of an $(n, M){q}$ code in the following sense. Given $n, M$, and $q$, compute the smallest positive integer $s$ with $M>\frac{q^{n}}{\sum{i=0}^{s}\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right)(q-1)^{i}} ;$ for an $(n, M, d)_{q}$ code to exist, $d<2 s-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

The Singleton Bound was formulated in [1717]. As with the Sphere Packing Bound, the Singleton Bound is an upper bound on the size of a code.

Theorem 1.9.10 (Singleton Bound) For $d \leq n, A_{q}(n, d) \leq q^{n-d+1}$. Furthermore, if an $[n, k, d]{q}$ linear code exists, then $k \leq n-d+1$; i.e., $k{q}(n, d) \leq n-d+1$.

Remark 1.9.11 In addition to providing an upper bound on code size, the Singleton Bound yields the upper bound $d \leq n-\log {q}(M)+1$ on the minimum distance of an $(n, M, d){q}$ code.
Definition 1.9.12 A code for which equality holds in the Singleton Bound is called maximum distance separable (MDS). No code of length $n$ and minimum distance $d$ has more codewords than an MDS code with parameters $n$ and $d$; equivalently, no code of length $n$ with $M$ codewords has a larger minimum distance than an MDS code with parameters $n$ and $M$. MDS codes are discussed in Chapters $3,6,8,14$, and 33 .
The following theorem is proved using Theorem 1.6.11.
Theorem $1.9 .13 \mathcal{C}$ is an $[n, k, n-k+1]{q} M D S$ code if and only if $\mathcal{C}^{\perp}$ is an $[n, n-k, k+1]{q}$ MDS code.
Example 1.9.14 Let $\mathcal{H}{2,3}$ be the $[4,2]{3}$ ternary linear code with generator matrix
$$
G_{2,3}=\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & -1
\end{array}\right] .
$$
Examining inner products of the rows of $G_{2,3}$, we see that $\mathcal{H}{2,3}$ is self-orthogonal of dimension half its length; so it is self-dual. Using Theorem $1.6 .2(\mathrm{~h}), A{0}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=1, A{3}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=8$, and $A{i}\left(\mathcal{H}{2,3}\right)=0$ otherwise. In particular $\mathcal{H}{2,3}$ is a $[4,2,3]_{3}$ code and hence is MDS.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Griesmer Bound

The Griesmer Bound $[855]$ is a lower bound on the length of a linear code given its dimension and minimum weight.

Theorem 1.9.18 (Griesmer Bound) Let $\mathcal{C}$ be an $[n, k, d]{q}$ linear code with $k \geq 1$. Then $$ n \geq \sum{i=0}^{k-1}\left[\frac{d}{q^{i}}\right] .
$$
Remark 1.9.19 One can interpret the Griesmer Bound as an upper bound on the code size given its length and minimum weight. Specifically, $B_{q}(n, d) \leq q^{k}$ where $k$ is the largest positive integer such that $n \geq \sum_{i=0}^{k-1}\left\lceil\frac{d}{q^{2}}\right\rceil$. This bound can also be interpreted as a lower bound on the length of a linear code of given dimension and minimum weight; that is, $n_{q}(k, d) \geq \sum_{i=0}^{k-1}\left\lceil\frac{d}{q^{2}}\right\rceil$. Finally, the Griesmer Bound can be understood as an upper bound on the minimum weight given the code length and dimension; given $n$ and $k, d_{q}(n, k)$ is at most the largest $d$ for which the bound holds.

Example 1.9.20 Suppose we wish to find the smallest code length $n$ such that an $[n, 4,3]{2}$ code can exist. By the Griesmer Bound $n \geq\left\lceil\frac{3}{1}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{4}\right\rceil+\left\lceil\frac{3}{8}\right\rceil=3+2+1+1=7$. Note that equality in this bound is attained by the $[7,4,3]{2}$ code $\mathcal{H}_{3,2}$ of Examples 1.4.9 and 1.6.10.

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编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Sphere Packing Bound

Sphere Packing Bound,也称为 Hamming Bound,是基于 PackingFqn具有不重叠的球体。

定义 1.9.3 半径球体r以在∈Fqn是集合小号q,n,r(在)= \left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \ leq r\right}\left{\mathbf{v} \in \mathbb{F}{q}^{n} \mid \mathrm{d}{\mathbf{H}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \ leq r\right}中的所有向量Fqn谁的距离在最多是r.
我们需要球体的大小,这需要使用二项式系数。
定义 1.9.4 对于一个,b整数与0≤b≤一个,(一个 b)是数量b-元素子集一个-元素集。(一个 b)=一个!b!(一个−b)!称为二项式系数。

下一个结果是 Sphere Packing Bound 的基础;(a) 部分是直接计数,(b) 部分来自定理 1.6.2 的三角不等式。
定理 1.9.5 以下成立。
(a) 为在∈Fqn,|小号q,n,r(在)|=∑一世=0r(n 一世)(q−1)一世.
(b) 如果C是一个(n,米,d)q代码和吨=⌊d−12⌋, 然后是半径球吨以不同码字为中心是不相交的。

定理 1.9.6(球形包装(或汉明)约束)让d≥1.如果吨=⌊d−12⌋, 然后

乙q(n,d)≤一个q(n,d)≤qn∑一世=0吨(n 一世)(q−1)一世
证明:让C豆(n,米,d)q代码。按定理1.9.5, 半径球体吨以不同的码字为中心是不相交的,每个这样的球体都有一个=∑一世=0吨(n 一世)(q−1)一世总向量。因此米一个不能超过数量qn中的向量Fqn. 结果现在很清楚了。

备注 1.9.7 Sphere Packing Bound 是给定代码长度和最小距离的代码大小的上限。此外,Sphere Packing Bound 产生最小距离的上限d一个(n,米)q以下意义上的代码。给定n,米, 和q, 计算最小的正整数s和米>qn∑一世=0s(n 一世)(q−1)一世;为(n,米,d)q存在的代码,d<2s−1.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Singleton Bound

Singleton Bound 是在 [1717] 中制定的。与 Sphere Packing Bound 一样,Singleton Bound 是代码大小的上限。

定理 1.9.10(单例界)对于d≤n,一个q(n,d)≤qn−d+1. 此外,如果一个[n,ķ,d]q存在线性码,则ķ≤n−d+1; IE,ķq(n,d)≤n−d+1.

备注 1.9.11 除了提供代码大小的上限之外,Singleton Bound 还会产生上限d≤n−日志⁡q(米)+1在最小距离上(n,米,d)q代码。
定义 1.9.12 在 Singleton Bound 中相等的代码称为最大可分离距离 (MDS)。没有长度代码n和最小距离d比带参数的 MDS 代码有更多的代码字n和d; 等效地,没有长度代码n和米码字的最小距离大于带参数的 MDS 码n和米. MDS 代码在章节中讨论3,6,8,14, 和 33 .
使用定理 1.6.11 证明了以下定理。
定理1.9.13C是一个[n,ķ,n−ķ+1]q米D小号编码当且仅当C⊥是一个[n,n−ķ,ķ+1]qMDS 代码。
示例 1.9.14 让H2,3成为[4,2]3带生成矩阵的三元线性码

G2,3=[1011 011−1].
检查行的内积G2,3, 我们看到H2,3是其长度一半的自正交;所以它是自对偶的。使用定理1.6.2( H),一个0(H2,3)=1,一个3(H2,3)=8, 和一个一世(H2,3)=0否则。尤其是H2,3是一个[4,2,3]3代码,因此是 MDS。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|The Griesmer Bound

Griesmer 绑定[855]是给定其尺寸和最小权重的线性代码长度的下限。

定理 1.9.18 (Griesmer Bound) 让C豆[n,ķ,d]q线性码ķ≥1. 然后

n≥∑一世=0ķ−1[dq一世].
备注 1.9.19 可以将 Griesmer Bound 解释为给定长度和最小权重的代码大小的上限。具体来说,乙q(n,d)≤qķ在哪里ķ是最大的正整数,使得n≥∑一世=0ķ−1⌈dq2⌉. 该界限也可以解释为给定尺寸和最小重量的线性代码长度的下限;那是,nq(ķ,d)≥∑一世=0ķ−1⌈dq2⌉. 最后,Griesmer Bound 可以理解为给定代码长度和维度的最小权重的上限;给定n和ķ,dq(n,ķ)最多是最大的d界限成立。

示例 1.9.20 假设我们希望找到最小的代码长度n这样一个[n,4,3]2代码可以存在。由 Griesmer 绑定n≥⌈31⌉+⌈32⌉+⌈34⌉+⌈38⌉=3+2+1+1=7. 请注意,此范围内的平等是由[7,4,3]2代码H3,2示例 1.4.9 和 1.6.10。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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