数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

Let $G$ be an exponential solvable Lie group with Lie algebra $\mathfrak{g}$ and left-regular representation $\lambda_{G}=$ ind $_{{e}}^{G} 1$. Here $f=0$ and $\Gamma_{f}=\mathrm{g}^{\star}$. Take a good sequence of subalgebras of $\mathrm{g}$
$$
a_{0}={0} \subset a_{1} \subset a_{2} \subset \cdots \subset a_{n}=\mathfrak{g}
$$
from which we extract a Malcev basis $\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}$ of $\mathrm{g}, X_{i} \in \mathrm{a}{i} \backslash \mathfrak{a}{i-1}$. In this case and as in Sect. $3.3 .1, K^{{e}}$ is the set of all $j \in{1, \ldots, n}$ such that all $A_{j}$-orbits are saturated with respect to $a_{j-1}$, which implies $V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^{{e}}\right}$. Let $\phi \in V$ and set $\phi_{i}=\phi_{\mid a_{j}}$. Let
$$
\mathrm{b}(\phi)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(\phi_{i}\right)
$$
be the Vergne polarization at $\phi$ with respect to the Jordan-Hölder sequence (3.3.20) and $B(\phi)$ its associated Lie group. In addition, we have from the Pukanszky condition that
$$
\operatorname{Ad}^{\star}(B(\phi)) \phi=\phi+\mathfrak{b}(\phi)^{\perp}
$$

Let $\mu_{G}$ be the Haar measure on $G$. We have the following rational disintegration of $L^{2}(G)$
$$
\left(L^{2}(G), \mu_{G}\right) \simeq \int_{V}^{\oplus}\left(L^{2}(G / B(\phi)), \phi\right) d \lambda(\phi)
$$
The isometry is given by:
$$
U(\xi)(\phi)(g)=\int_{B(\phi)} \xi(g u) \chi_{\phi}(u) \Delta_{B(\phi), G}^{-\frac{1}{2}}(u) d_{B(\phi)}(u), g \in G
$$
where $\xi \in C_{c}^{\infty}(G)$ is the set of $C^{\infty}$ functions with compact support in $G$ and $\phi \in V$, $d_{B(\phi)}$ is the Haar measure on $B(\phi)$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

Definition 3.4.1 Let $G$ be a Lie group. A subgroup $H$ of $G$ is said to be a maximal subgroup if $H \neq G$ and for every subgroup $K$ such that $H \subset K \subset G$, then either $K=H$ or $K=G$.

Remark 3.4.2 If $G$ is a simply connected solvable Lie group and $H$ is a maximal subgroup of $G$, then $H$ has codimension one or two. In the latter case $H$ cannot be a normal subgroup of $G$.

The following result describes the structure of maximal subalgebras of exponential solvable algebras, a proof of which can be found in [106].

Theorem 3.4.3 Let $G=\exp g$ be an exponential solvable Lie group and $H=$ exph a non-normal maximal subgroup of $G$. Then

  1. if $\mathrm{h}$ is a hyperplane, there exist a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension- $t$ wo ideal in $\mathfrak{g}$, plus two elements $A \in \mathfrak{h} \backslash \mathfrak{g}{0}, X \in \mathfrak{g} \backslash \mathfrak{h}$ such that
    $$
    [A, X]=X \bmod \mathfrak{g}_{0}
    $$
  2. If $\mathrm{h}$ has codimension two, there exists a codimension-one subalgebra $\mathrm{g}{0}$ of $\mathrm{h}$ which is a codimension-three ideal in $\mathrm{g}$, plus three nonzero vectors $A, X, Y$ and a nonzero real number $\alpha$ such that $$ \begin{gathered} \mathfrak{g}=\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y, \quad \mathfrak{h}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} A \
    {[A, X]=X+\alpha Y \bmod \mathfrak{g}{0},[A, Y]=Y-\alpha X \bmod \mathfrak{g}{0},}
    \end{gathered}
    $$ and$$[X, Y]=0 \bmod \mathfrak{g}_{0} .$$We now prove the following disintegration formula, which basically stems from Theorem 3.4.3.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

In this section we construct an intertwining operator between the induced representation $\tau=\operatorname{ind}{H}^{G} \chi{f}$ and its decomposition into irreducibles explicitly. Let $s=\left(a_{j}\right){j=0}^{n}$ be a good sequence of subalgebras of $g$ passing through $g{0}$, where $\mathfrak{g}_{0}$ is defined as in Theorem 3.4.3. With the notations above, we can choose s as follows:

  1. If $h$ is an ideal of $g$ we have codim $h=1$, then $a_{n-1}=h=g_{0}$.
  2. If $h$ is not an ideal and $\operatorname{codim} h=1$, then $\mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0}$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$.
  3. If $\operatorname{codim} h=2$, then $\mathfrak{a}{n-3}=\mathfrak{g}{0}, \mathfrak{a}{n-2}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X$ and $\mathfrak{a}{n-1}=\mathfrak{g}{0} \oplus \mathbb{R} X \oplus \mathbb{R} Y$.
    In the sequel, we shall identify $\mathscr{O}(\tau)$ with the set $\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}$. For $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, let $\mathrm{b}[l]$ be the Vergne polarization of $l$ associated to $s$ and $B[l]=\exp \mathrm{b}[l]$. We prove first the following

Lemma 3.4.5 For any $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$, there exist a coexponential basis $\mathscr{y}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathfrak{h}$ in $\mathfrak{b}[l]$, a coexponential basis $\mathcal{Z}$ of $\mathfrak{b}[l] \cap \mathrm{h}$ in $\mathrm{h}$ and a coexponential basis $\mathscr{X}$ of $\mathrm{b}[l]$ in $\mathrm{g}$ which do not depend on $l$.

Proof As above, we distinguish two cases. We keep the same notations as in Proposition 3.4.4. If $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, then $\tau$ is irreducible and $\mathscr{O}(\tau)={\phi}$ where $\phi \in p^{-1}({f})$. Hence $\operatorname{dim} \mathfrak{b}[\phi]=\operatorname{dim} \mathfrak{b}$. We are going to prove that in this situation $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{b}$, which implies $$ \mathscr{y}=\mathscr{Z}=\emptyset $$ Suppose for starters that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. Then $\mathrm{g}=$ $\mathfrak{h} \oplus \mathbb{R} X$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then as $\mathfrak{g}(\phi) \subset \mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{h}$, we already get that $\mathfrak{b}[\phi]=$ h. Now we suppose that $H$ is a non-normal subgroup of $G$. It follows from the definition of the Vergne polarization $\mathfrak{b}[\phi]$ and for all $i=$ $0, \ldots, \operatorname{codim} h, \quad \mathfrak{a}{n-i}\left(\phi{\mid a_{n-i}}\right) \subset a_{n-i} \cap \mathfrak{g}{\theta} \subset h$, that $\mathfrak{b}[\phi] \subset h$, which implies $\mathfrak{b}[\phi]=\mathfrak{h}$. We conclude that if codim $\mathfrak{h}=1$, we have $$ \mathscr{C}={X} $$ and if $\operatorname{codim} h=2$, we have $$ \mathscr{Q}={X, Y} $$ We now look at the case where $\mathfrak{g}{\theta}=\mathfrak{g}$. We have $X \in \mathfrak{b}[l]$ and $\mathfrak{g}_{0} \subset \mathfrak{g}(l)$, for all $l$ in $\mathscr{O}(\tau)$. Suppose first that $H$ is a codimension-one subgroup of $G$. If $H$ is a normal subgroup of $G$, then $\mathfrak{g}(l)=\mathfrak{g}$ and then $\mathfrak{b}[l]=\mathfrak{g}$. Therefore,
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}=\mathscr{X}=\emptyset .
$$
Assume then that $H$ is a non-normal subgroup of $G$, so $\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{1}}\right)=\mathfrak{g}\left(\phi_{s_{2}}\right)=\mathfrak{g}{0}$ from Eq. (3.4.2) and hence $\mathfrak{b}\left[\phi{s_{1}}\right]=\mathfrak{b}\left[\phi_{s_{2}}\right]=\mathfrak{g}_{0} \oplus \mathbb{R} X$. This implies that
$$
\mathscr{Y}={X}, \mathscr{Z}={A} \text { and } \mathscr{X}={A}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Rational Disintegration of L2 for an Exponential

让G是具有李代数的指数可解李群G和左正则表示λG=工业和G1. 这里F=0和ΓF=G⋆. 取一个好的子代数序列G

一个0=0⊂一个1⊂一个2⊂⋯⊂一个n=G
我们从中提取 Malcev 基\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}\left{X_{1}, \ldots, X_{n}\right}的G,X一世∈一个一世∖一个一世−1. 在这种情况下,就像在 Sect 中一样。3.3.1,ķ和是所有的集合j∈1,…,n这样所有一个j-轨道相对于饱和一个j−1,这意味着V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}V=\left{\phi \in \mathfrak{g}^{*}:\left\langle\phi, X_{j}\right\rangle=0, j \in\right.$ $\left.K^ {{e}}\右}. 让φ∈在并设置φ一世=φ∣一个j. 让

b(φ)=∑一世=1n一个一世(φ一世)
是 Vergne 极化φ关于 Jordan-Hölder 序列 (3.3.20) 和乙(φ)其相关的李群。此外,我们从 Pukanszky 条件中得到

广告⋆⁡(乙(φ))φ=φ+b(φ)⊥

让μG成为 Haar 度量G. 我们有以下合理的解体大号2(G)

(大号2(G),μG)≃∫在⊕(大号2(G/乙(φ)),φ)dλ(φ)
等距由下式给出:

在(X)(φ)(G)=∫乙(φ)X(G在)χφ(在)Δ乙(φ),G−12(在)d乙(φ)(在),G∈G
在哪里X∈CC∞(G)是集合C∞具有紧凑支持的功能G和φ∈在, d乙(φ)是 Haar 度量乙(φ).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining of Representations Induced from Maximal

定义 3.4.1 让G成为一个李群。一个子群H的G被称为最大子群,如果H≠G并且对于每个子组ķ这样H⊂ķ⊂G,那么要么ķ=H或者ķ=G.

备注 3.4.2 如果G是一个简单连通的可解李群,并且H是一个最大子群G, 然后H有一个或两个维度。在后一种情况下H不能是的正规子群G.

以下结果描述了指数可解代数的最大子代数的结构,其证明可以在[106]中找到。

定理 3.4.3 让G=经验⁡G是一个指数可解的李群,并且H=exph 的非正规最大子群G. 然后

  1. 如果H是一个超平面,存在一个余维子代数G0的H这是一个codimension-吨我的理想在G, 加上两个元素一个∈H∖G0,X∈G∖H这样
    [一个,X]=X反对G0
  2. 如果H有余维二,存在余维一子代数G0的H这是一个余维三理想G,加上三个非零向量一个,X,是和一个非零实数一个这样G=H⊕RX⊕R是,H=G0⊕R一个 [一个,X]=X+一个是反对G0,[一个,是]=是−一个X反对G0,和[X,是]=0反对G0.我们现在证明下面的分解公式,它基本上源于定理 3.4.3。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Construction of an Intertwining Operator

在本节中,我们在诱导表示之间构建一个交织算子τ=工业⁡HGχF并将其显式分解为不可约数。让s=(一个j)j=0n是一个很好的子代数序列G路过G0, 在哪里G0定义如定理 3.4.3。有了上面的符号,我们可以选择 s 如下:

  1. 如果H是一个理想的G我们有codimH=1, 然后一个n−1=H=G0.
  2. 如果H不是一个理想和科迪姆⁡H=1, 然后一个n−2=G0和一个n−1=G0⊕RX.
  3. 如果科迪姆⁡H=2, 然后一个n−3=G0,一个n−2=G0⊕RX和一个n−1=G0⊕RX⊕R是.
    接下来,我们将确定○(τ)与套装\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}\left{\phi_{t} \in \Gamma_{f}: t \in \mathscr{O}(\tau)\right}. 为了l在○(τ), 让b[l]是 Vergne 极化l关联到s和乙[l]=经验⁡b[l]. 我们首先证明以下

引理 3.4.5 对于任何l在○(τ), 存在一个共指数基是的b[l]∩H在b[l], 一个共指数基从的b[l]∩H在H和一个共指数基础X的b[l]在G不依赖于l.

证明 如上所述,我们区分了两种情况。我们保留与命题 3.4.4 中相同的符号。如果Gθ=H, 然后τ是不可约的并且○(τ)=φ在哪里φ∈p−1(F). 因此暗淡⁡b[φ]=暗淡⁡b. 我们将证明在这种情况下b[φ]=b,这意味着

是=从=∅假设对于初学者来说H是一个余维子群G. 然后G= H⊕RX. 如果H是一个正规子群G,然后作为G(φ)⊂Gθ=H,我们已经知道了b[φ]=H。现在我们假设H是一个非正规子群G. 它遵循 Vergne 极化的定义b[φ]并为所有人一世= 0,…,科迪姆⁡H,一个n−一世(φ∣一个n−一世)⊂一个n−一世∩Gθ⊂H, 那b[φ]⊂H,这意味着b[φ]=H. 我们得出结论,如果 codimH=1, 我们有

C=X而如果科迪姆⁡H=2, 我们有

问=X,是我们现在看一下这种情况Gθ=G. 我们有X∈b[l]和G0⊂G(l), 对所有人l在○(τ). 首先假设H是一个余维子群G. 如果H是一个正规子群G, 然后G(l)=G接着b[l]=G. 所以,

是=X,从=X=∅.
那么假设H是一个非正规子群G, 所以G(φs1)=G(φs2)=G0从方程式。(3.4.2) 因此b[φs1]=b[φs2]=G0⊕RX. 这意味着

是=X,从=一个 和 X=一个

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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