数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

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表示论是数学的一个分支,它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构,并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上,表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素,使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解,因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性,有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

We return to the setting of a simply connected nilpotent Lie group $G=\exp g$ and a closed connected subgroup $H=\exp \mathrm{h}$. Given an irreducible unitary representation $\pi$ of $G$, we present an explicit disintegration of the restriction $\pi_{\mid H}$ of $\pi$ to $H$, which is based on a precise description of the space of double cosets $H \backslash G / B$, where $B$ is any closed connected subgroup of $G$, and the well-known smooth disintegration of monomial representations of nilpotent Lie groups. The aim is still to write down a smooth intertwining operator for the decomposition of $\pi_{\mid H}$ into irreducibles. As an application we produce a concrete disintegration of tensor products of irreducible representations of $G$ and a criterium for the irreducibility of these representations.
One should first study the general problem of describing a concrete disintegration of the restriction of an irreducible unitary representation of $G$ to a closed connected subgroup $H=\exp$ b. Since by Kirillov’s theory every $\pi \in \hat{G}$ is of the form $\pi=\pi_{l, \mathfrak{b}}=$ ind $_{B}^{G} \chi_{l}$, where $l \in \mathrm{g}^{}$ and $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{g}$ is a polarization at $l$, it is known from Mackey [124] that the restriction of $\pi$ to $H$ disintegrates over the set of double cosets $H \backslash G / B$ and that the integrands are of the form ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{I(x)}$, where $B(x)=H \cap \psi(x) B \psi(x)^{-1}, x \in H \backslash G / B$ and $l(x)=\operatorname{Ad}^{}(\psi(x)) l_{\mid \mathfrak{h}}$, $x \in H \backslash G / B$ and $\psi: H \backslash G / B \rightarrow G$ is a section for the double cosets. The idea is to describe an open dense subset of $H \backslash G / B$ and a section $\psi$ which give us an explicit description of $\pi_{\mid H}$ in term of an integral over $H \backslash G / B$ of the representations ind ${ }{B(x)}^{H} \chi{l(x)}$ (see Proposition 3.5.27). The results concerning the explicit disintegration of monomial representations are used to obtain a concrete disintegration of the restriction. This is somehow needed to get an “abstract” disintegration of the restriction into irreducibles to connected closed subgroups of simply connected nilpotent Lie groups. ‘Abstract’ here means that the measure class in $\hat{G}$ for the disintegration of the restriction and the multiplicities of the irreducibles appearing in the disintegration are given. These constructions will be applied to the disintegration of the tensor product of two irreducible representations $\pi$ and $\pi^{\prime}$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

Let $\mathfrak{g}$ be a nilpotent Lie algebra, $\mathfrak{b}$ any subalgebra, $B \subset G$ their simply connected Lie groups. Recall that the exponential mapping exp : $\mathfrak{g} \rightarrow G$ is a diffeomorphism. Given a sequence of ideals
$$
\mathfrak{g}{n+1}:={0} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{i} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{g}{1}=\mathfrak{g}, \operatorname{dim}\left(\mathfrak{g}{i} / \mathfrak{g}_{i+1}\right)=1,
$$ denote for every $i=1, \ldots, n, G_{i}:=\exp \mathfrak{g}{i}$ and choose a vector $Z{i} \in \mathfrak{g}{i} \backslash \mathfrak{g}{i+1}$, so that $\mathfrak{g}{i}=\mathbb{R}$-span $\left(Z{i}, \ldots, Z_{n}\right)$. One obtains in this way a Jordan-Hölder basis $\mathscr{Z}:=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{n}\right)$ of $\mathfrak{g}$. To simplify the notations, let
$$
V_{1} \cdot V_{2} \cdots V_{k}:=\exp \left(V_{1}\right) \cdot \exp \left(V_{2}\right) \cdots \exp \left(V_{k}\right) \in G
$$
for given vectors $V_{1}, \ldots, V_{k} \in \mathfrak{g}$. Denote as before $d g$ the Haar measure on $G$. Using the basis $\mathscr{Z}$, one can express $d g$ in the following way.
$$
\int_{G} f(g) d g=\int_{\mathbb{R}^{n}} f\left(z_{1} Z_{1} \cdots z_{n} Z_{n}\right) d z,\left(f \in L^{1}(G)\right) .
$$
Since $G$ is nilpotent, the quotient space $G / B$ has a $G$-invariant measure which is unique up to a positive scalar multiple. This measure (denoted by $d \dot{g}$ ) is described in Chap. 1, Sect. 1.2.2. Let us recall such construction. Let
$$
\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\right}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} .
$$
One obtains the sequence of subalgebras
$$
\mathfrak{b}^{p+1}:=\mathfrak{b} \varsubsetneqq \ldots \varsubsetneqq \mathfrak{b}^{j}:=\mathbb{R} Z_{k_{j}} \oplus \mathfrak{b}^{j-1} \varsubsetneqq \ldots \ldots \mathfrak{b}^{1}=\mathfrak{g}
$$
and the Malcev basis $\mathscr{M}:=\left(Z_{k_{1}}, \ldots, Z_{k_{p}}\right)$ of $\mathfrak{g}$ relative to $\mathfrak{b}$. The invariant measure $d \dot{g}$ is then given for $\varphi \in \mathscr{C}{c}(G / B)$ by: $$ \mu{\mathcal{M}}(\varphi)=\mu_{\mathrm{g} / \mathrm{b}}(\varphi)=\int_{G / B} \varphi(\dot{g}) d \dot{g}:=\int_{\mathbb{R}^{p}} \varphi\left(w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B\right) d w
$$
where $\mathscr{C}{c}(G / B)$ denotes the space of complex-valued continuous functions with compact support on $G / B$. This is a consequence of the fact that the mapping $$ \begin{aligned} E{\mathscr{M}}^{}: \mathbb{R}^{p} & \longrightarrow \ w=\left(w_{1}, \ldots, w_{p}\right) & \longmapsto w_{1} Z_{k_{1}} \cdots w_{p} Z_{k_{p}} \cdot B=: E_{\mathscr{A}}^{}(w)
\end{aligned}
$$
is a diffeomorphism. If $\mathfrak{h}$ is another subalgebra of $\mathfrak{g}$, then denote by $\mathbb{I}^{\mathfrak{h}} \subset{1, \ldots, n}$ the index set
$$
\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \backslash \mathbb{I}^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
$$
One can then assume that the vectors $Z_{i}, i \in \mathbb{I}^{\mathfrak{h}}$, lie in $\mathfrak{h}$ so that $\mathfrak{h}=\mathbb{R}$-span $\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

For $g \in G$, denote by $\bar{g}$ its double coset $H \cdot g \cdot B={h g b,(h, b) \in H \times B}$. The aim is to find an open dense subset of $H \backslash G / B$ which will support the measure $d \gamma(\bar{g})$ and which is diffeomorphic to a Zariski open subset of $\mathbb{R}^{d}$ for some $d \in \mathbb{N}^{*}$. The following example illustrates this fact:

Example 3.5.1 Let $\mathfrak{g}$ be the 7-dimensional Lie algebra spanned by the JordanHölder basis $\mathscr{Z}=\left(Z_{1}, \ldots, Z_{7}\right)$, equipped with the brackets
$$
\left[Z_{1}, Z_{4}\right]=Z_{6}, \quad\left[Z_{1}, Z_{5}\right]=Z_{7}, \quad\left[Z_{2}, Z_{3}\right]=Z_{7}
$$
Consider its Abelian subalgebras $h=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{4}, Z_{5}, Z_{7}\right)$ and $\mathfrak{b}=\mathbb{R}-\operatorname{span}\left(Z_{3}, Z_{4}\right.$, $Z_{7}$. Since many products commute, the element $g=: z_{1} Z_{1} \cdots z_{7} Z_{7} \in G$, $\left(z_{1}, \ldots, z_{7}\right) \in \mathbb{R}^{7}$, can be described in the following way:
$$
\begin{aligned}
g &=\left(z_{1} Z_{1} \cdot z_{5} Z_{5}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
&=\left(z_{1} z_{5} Z_{7} \cdot z_{5} Z_{5} \cdot z_{1} Z_{1}\right) \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot\left(z_{3} Z_{3} \cdot z_{4} Z_{4} \cdot z_{7} Z_{7}\right) \
& \in H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B
\end{aligned}
$$
This implies that $\bar{g}=H \cdot g \cdot B=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B$. On the other hand if $z_{1} \neq 0$, the element $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6}$ can also be written as $z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2}$ conjugated by $\exp \left(-\frac{26}{z_{1}}\right) Z_{4}$, which is contained in $H \cap B$. Hence if $z 1 \neq 0$, then $\bar{g}=H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B$. As a conclusion,
$H \backslash G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2}, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}$
$=\quad \mathbf{p}\left(G \backslash G_{2}\right) \quad \dot{u} \quad \mathbf{p}\left(G_{2}\right)$
where $\mathbf{p}: g \longmapsto \tilde{g}$, is the canonical projection of $G$ on $H \backslash G / B$, and $\mathscr{V}:=$ $\mathbb{R}^{\star} \times \mathbb{R}$. Hence the space $H \backslash G / B$ is the disjoint union of two subsets, the first is the projection of a Zariski open subset of $G$ and the second of a Zariski closed subset. The measure $d \gamma(\bar{g})$ is shown to be supported on the first set.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATHS735

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Intertwining Operators of the Restriction

我们回到单连通幂零李群的设置G=经验⁡G和一个封闭的连通子群H=经验⁡H. 给定一个不可约的酉表示圆周率的G,我们提出了限制的明确解体圆周率∣H的圆周率至H,它基于对双陪集空间的精确描述H∖G/乙, 在哪里乙是任何闭合连通子群G,以及众所周知的幂等李群的单项式表示的平滑分解。目的仍然是写出一个平滑的交织算子来分解圆周率∣H变成不可约数。作为一个应用程序,我们产生了不可约表示的张量积的具体分解G以及这些表示的不可约性的标准。
应该首先研究描述一个不可约的单一表示的限制的具体解体的一般问题G到一个封闭的连通子群H=经验湾。由于基里洛夫的理论圆周率∈G^是形式圆周率=圆周率l,b=工业乙Gχl, 在哪里l∈G和b⊂G是极化在l,从 Mackey [124] 可知,限制圆周率至H在双陪集集上解体H∖G/乙并且被积函数的形式为 ind乙(X)Hχ我(X), 在哪里乙(X)=H∩ψ(X)乙ψ(X)−1,X∈H∖G/乙和l(X)=广告⁡(ψ(X))l∣H, X∈H∖G/乙和ψ:H∖G/乙→G是双陪衬的一个部分。这个想法是描述一个开放的密集子集H∖G/乙和一节ψ这给了我们一个明确的描述圆周率∣H就积分而言H∖G/乙的陈述 ind乙(X)Hχl(X)(见提案 3.5.27)。关于单项式表示的显式分解的结果用于获得约束的具体分解。不知何故,需要将限制“抽象”分解为不可约的单连通幂零李群的连通闭子群。这里的“抽象”是指度量类在G^给出了约束的解体以及解体中出现的不可约数的多重性。这些构造将应用于分解两个不可约表示的张量积圆周率和圆周率′.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Double-Coset Space

让G是一个幂零李代数,b任何子代数,乙⊂G他们的单连通李群。回想一下指数映射 exp :G→G是微分同胚。给定一系列理想

Gn+1:=0⫋…⫋G一世⫋…⫋G1=G,暗淡⁡(G一世/G一世+1)=1,表示每个一世=1,…,n,G一世:=经验⁡G一世并选择一个向量从一世∈G一世∖G一世+1, 以便G一世=R-跨度(从一世,…,从n). 以这种方式获得 Jordan-Hölder 基从:=(从1,…,从n)的G. 为了简化符号,让

在1⋅在2⋯在ķ:=经验⁡(在1)⋅经验⁡(在2)⋯经验⁡(在ķ)∈G
对于给定的向量在1,…,在ķ∈G. 像以前一样表示dG哈尔测量G. 使用基础从, 可以表达dG通过以下方式。

∫GF(G)dG=∫RnF(和1从1⋯和n从n)d和,(F∈大号1(G)).
自从G是幂零的,商空间G/乙有个G-在正标量倍数之前唯一的不变度量。该措施(表示为dG˙) 在第 1 章中进行了描述。1,第。1.2.2。让我们回顾一下这样的结构。让

\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。\mathscr{I}^{8 / b}=\left{k \in{1, \ldots, n}, Z_{k} \notin \mathfrak{b}+\mathfrak{g}{k+1}\右}=:\left{k{1}<\ldots<k_{p}\right} 。
一个获得子代数的序列

bp+1:=b⫋…⫋bj:=R从ķj⊕bj−1⫋……b1=G
和马尔切夫基础米:=(从ķ1,…,从ķp)的G关系到b. 不变的度量dG˙然后给出披∈CC(G/乙)经过:

μ米(披)=μG/b(披)=∫G/乙披(G˙)dG˙:=∫Rp披(在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙)d在
在哪里CC(G/乙)表示具有紧支持的复值连续函数空间G/乙. 这是由于映射

和米:Rp⟶ 在=(在1,…,在p)⟼在1从ķ1⋯在p从ķp⋅乙=:和一个(在)
是微分同胚。如果H是的另一个子代数G,然后表示为我H⊂1,…,n索引集

\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}\mathbb{I}^{\mathfrak{h}}:=\left{i \in{1, \ldots, n} ; \mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i+1}=\mathfrak{h}+\mathfrak{g}{i}\right}={1, \ldots, n} \反斜杠 \mathbb{I} ^{\mathfrak{g} / \mathfrak{h}}
然后可以假设向量从一世,一世∈我H, 位于H以便H=R-跨度\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}\left{Z_{i}, i \in\right.$ $\left.\mathbb{I}^{\mathrm{h}}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Set of Double Cosets

为了G∈G,表示为G¯它的双重陪衬H⋅G⋅乙=HGb,(H,b)∈H×乙. 目的是找到一个开放的密集子集H∖G/乙这将支持该措施dC(G¯)并且它与 Zariski 的开子集微分同胚Rd对于一些d∈ñ∗. 以下示例说明了这一事实:

示例 3.5.1 让G是由 JordanHölder 基跨越的 7 维李代数从=(从1,…,从7), 配备支架

[从1,从4]=从6,[从1,从5]=从7,[从2,从3]=从7
考虑它的阿贝尔子代数H=R−跨度⁡(从4,从5,从7)和b=R−跨度⁡(从3,从4, 从7. 由于许多产品通勤,元素G=:和1从1⋯和7从7∈G,(和1,…,和7)∈R7, 可以用以下方式描述:

G=(和1从1⋅和5从5)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) =(和1和5从7⋅和5从5⋅和1从1)⋅和2从2⋅和6从6⋅(和3从3⋅和4从4⋅和7从7) ∈H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙
这意味着G¯=H⋅G⋅乙=H⋅和1从1⋅和2从2⋅和6从6⋅乙. 另一方面,如果和1≠0, 元素和1从1⋅和2从2⋅和6从6也可以写成和1从1⋅和2从2共轭经验⁡(−26和1)从4,它包含在H∩乙. 因此,如果和1≠0, 然后G¯=H⋅和1从1⋅和2从2⋅乙. 作为结论,
H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}H \反斜杠 G / B=\left{H \cdot z_{1} Z_{1} \cdot z_{2} Z_{2} \cdot B,\left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathscr{V}\right} \dot{\cup}\left{H \cdot z_{2} Z_{2} \cdot z_{6} Z_{6} \cdot B,\left(z_{2 }, z_{6}\right) \in \mathbb{R}^{2}\right}
=p(G∖G2)在˙p(G2)
在哪里p:G⟼G~,是的规范投影G上H∖G/乙, 和在:= R⋆×R. 因此空间H∖G/乙是两个子集的不相交并集,第一个是 Zariski 开子集的投影G和 Zariski 封闭子集的第二个。的措施dC(G¯)显示在第一组上受支持。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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