数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MTH 3022

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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MTH 3022

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Frobenius’ Theorem

In this section we prove Frobenius’ theorem about vector distributions.
Definition 2.33 Let $M$ be a smooth manifold. A vector distribution $D$ of rank $m$ on $M$ is a family of vector subspaces $D_{q} \subset T_{q} M$, where $\operatorname{dim} D_{q}=m$ for every $q$.

A vector distribution $D$ is said to be smooth if, for every point $q_{0} \in M$, there exists a neighborhood $O_{q_{0}}$ of $q_{0}$ and a family of smooth vector fields $X_{1}, \ldots, X_{m}$ such that
$$
D_{q}=\operatorname{span}\left{X_{1}(q), \ldots, X_{m}(q)\right}, \quad \forall q \in O_{q_{0}}
$$
Definition 2.34 A smooth vector distribution $D$ (or rank $m$ ) on $M$ is said to be involutive if there exists a local basis of vector fields $X_{1}, \ldots, X_{m}$ satisfying (2.38), and smooth functions $a_{i j}^{k}$ on $M$, such that
$$
\left[X_{i}, X_{k}\right]=\sum_{j=1}^{m} a_{i j}^{k} X_{j}, \quad \forall i, k=1, \ldots, m
$$
Exercise 2.35 Prove that a smooth vector distribution $D$ is involutive if and only if for every local basis of vector fields $X_{1}, \ldots, X_{m}$ satisfying (2.38) there exist smooth functions $a_{i j}^{k}$ such that (2.39) holds.

Definition 2.36 A smooth vector distribution $D$ on $M$ is said to be flat if for every point $q_{0} \in M$ there exists a local diffeomorphism $\phi: O_{q_{0}} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ such that $\phi_{*, q}\left(D_{q}\right)=\mathbb{R}^{m} \times{0}$ for all $q \in O_{q_{0}}$.

Theorem 2.37 (Frobenius Theorem) A smooth distribution is involutive if and only if it is flat.

Proof The statement is local, hence it is sufficient to prove the statement on a neighborhood of every point $q_{0} \in M$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|An Application of Frobenius’ Theorem

Let $M$ and $N$ be two smooth manifolds. Given vector fields $X \in \operatorname{Vec}(M)$ and $Y \in \operatorname{Vec}(N)$ we define the vector field $X \times Y \in \operatorname{Vec}(M \times N)$ as the derivation
$$
(X \times Y) a=X a_{y}^{1}+Y a_{x}^{2},
$$
where, given $a \in C^{\infty}(M \times N)$, we define $a_{y}^{1} \in C^{\infty}(M)$ and $a_{x}^{2} \in C^{\infty}(N)$ as follows:
$$
a_{y}^{1}(x):=a(x, y), \quad a_{x}^{2}(y):=a(x, y), \quad x \in M, y \in N .
$$
Notice that, if we denote by $p_{1}: M \times N \rightarrow M$ and $p_{2}: M \times N \rightarrow N$ the two projections, we have
$$
\left(p_{1}\right){}(X \times Y)=X, \quad\left(p{2}\right){}(X \times Y)=Y .
$$
Exercise 2.40 Let $X{1}, X_{2} \in \operatorname{Vec}(M)$ and $Y_{1}, Y_{2} \in \operatorname{Vec}(N)$. Prove that
$$
\left[X_{1} \times Y_{1}, X_{2} \times Y_{2}\right]=\left[X_{1}, X_{2}\right] \times\left[Y_{1}, Y_{2}\right]
$$
We can now prove the following result, which is important when dealing with Lie groups (see Chapter 7 and Section 17.5).

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Cotangent Space

In this section we introduce covectors, which are linear functionals on the tangent space. The space of all covectors at a point $q \in M$, called cotangent space, is in algebraic terms simply the dual space to the tangent space.

Definition 2.42 Let $M$ be an $n$-dimensional smooth manifold. The cotangent space at a point $q \in M$ is the set
$$
T_{q}^{} M:=\left(T_{q} M\right)^{}=\left{\lambda: T_{q} M \rightarrow \mathbb{R}, \lambda \text { linear }\right}
$$
For $\lambda \in T_{q}^{*} M$ and $v \in T_{q} M$, we will denote by $\langle\lambda, v\rangle:=\lambda(v)$ the evaluation of the covector $\lambda$ on the vector $v$.

As we have seen, the differential of a smooth map yields a linear map between tangent spaces. The dual of the differential gives a linear map between cotangent spaces.

Definition 2.43 Let $\varphi: M \rightarrow N$ be a smooth map and $q \in M$. The pullback of $\varphi$ at point $\varphi(q)$, where $q \in M$, is the map
$$
\varphi^{}: T_{\varphi(q)}^{} N \rightarrow T_{q}^{} M, \quad \lambda \mapsto \varphi^{} \lambda,
$$
defined by duality in the following way:
$$
\left\langle\varphi^{} \lambda, v\right\rangle:=\left\langle\lambda, \varphi_{} v\right\rangle, \quad \forall v \in T_{q} M, \forall \lambda \in T_{\varphi(q)}^{} N . $$ Example 2.44 Let $a: M \rightarrow \mathbb{R}$ be a smooth function and $q \in M$. The differential $d_{q} a$ of the function $a$ at the point $q \in M$, defined through the formula $$ \left\langle d_{q} a, v\right):=\left.\frac{d}{d t}\right|{t=0} a(\gamma(t)), \quad v \in T{q} M,
$$
where $\gamma$ is any smooth curve such that $\gamma(0)=q$ and $\gamma(0)=v$, is an element of $T_{q}^{} M$. Indeed, the right-hand side of $(2.43)$ is linear with respect to $v$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MTH 3022

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Frobenius’ Theorem

在本节中,我们证明了关于向量分布的 Frobenius 定理。
定义 2.33 让米是一个光滑的流形。向量分布D等级米上米是向量子空间族Dq⊂吨q米, 在哪里暗淡⁡Dq=米对于每个q.

向量分布D据说是光滑的,如果,对于每个点q0∈米, 存在一个邻域○q0的q0和一系列平滑向量场X1,…,X米这样

D_{q}=\operatorname{span}\left{X_{1}(q), \ldots, X_{m}(q)\right}, \quad \forall q \in O_{q_{0}}D_{q}=\operatorname{span}\left{X_{1}(q), \ldots, X_{m}(q)\right}, \quad \forall q \in O_{q_{0}}
定义 2.34 平滑向量分布D(或排名米) 上米如果存在向量场的局部基,则称它是对合的X1,…,X米满足 (2.38) 和平滑函数一个一世jķ上米, 这样

[X一世,Xķ]=∑j=1米一个一世jķXj,∀一世,ķ=1,…,米
练习 2.35 证明平滑向量分布D对合当且仅当对于向量场的每个局部基X1,…,X米满足 (2.38) 存在光滑函数一个一世jķ使得 (2.39) 成立。

定义 2.36 平滑向量分布D上米据说对于每一点都是平坦的q0∈米存在局部微分同胚φ:○q0→Rn这样φ∗,q(Dq)=R米×0对所有人q∈○q0.

定理 2.37 (Frobenius Theorem) 一个平滑分布是对合的当且仅当它是平坦的。

证明 该陈述是局部的,因此在每个点的邻域上证明该陈述就足够了q0∈米.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|An Application of Frobenius’ Theorem

让米和ñ是两个光滑的流形。给定向量场X∈一个东西⁡(米)和是∈一个东西⁡(ñ)我们定义向量场X×是∈一个东西⁡(米×ñ)作为推导

(X×是)一个=X一个是1+是一个X2,
哪里,给定一个∈C∞(米×ñ),我们定义一个是1∈C∞(米)和一个X2∈C∞(ñ)如下:

一个是1(X):=一个(X,是),一个X2(是):=一个(X,是),X∈米,是∈ñ.
请注意,如果我们表示p1:米×ñ→米和p2:米×ñ→ñ这两个预测,我们有

(p1)(X×是)=X,(p2)(X×是)=是.
练习 2.40 让X1,X2∈一个东西⁡(米)和是1,是2∈一个东西⁡(ñ). 证明

[X1×是1,X2×是2]=[X1,X2]×[是1,是2]
我们现在可以证明以下结果,这在处理李群时很重要(参见第 7 章和第 17.5 节)。

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Cotangent Space

在本节中,我们介绍协向量,它是切空间上的线性泛函。一点上所有协向量的空间q∈米,称为余切空间,用代数术语来说就是切空间的对偶空间。

定义 2.42 让米豆n维光滑流形。一点的余切空间q∈米是集合

T_{q}^{} M:=\left(T_{q} M\right)^{}=\left{\lambda: T_{q} M \rightarrow \mathbb{R}, \lambda \text { 线性}\正确的}T_{q}^{} M:=\left(T_{q} M\right)^{}=\left{\lambda: T_{q} M \rightarrow \mathbb{R}, \lambda \text { 线性}\正确的}
为了λ∈吨q∗米和在∈吨q米,我们将表示为⟨λ,在⟩:=λ(在)协向量的评估λ在向量上在.

正如我们所见,平滑映射的微分产生切空间之间的线性映射。微分的对偶给出了余切空间之间的线性映射。

定义 2.43 让披:米→ñ是一个光滑的地图和q∈米. 的回调披在点披(q), 在哪里q∈米, 是地图

披:吨披(q)ñ→吨q米,λ↦披λ,
由对偶性定义如下:

⟨披λ,在⟩:=⟨λ,披在⟩,∀在∈吨q米,∀λ∈吨披(q)ñ.例 2.44 让一个:米→R是一个平滑的函数并且q∈米. 差速器dq一个功能的一个在这一点上q∈米, 通过公式定义

⟨dq一个,在):=dd吨|吨=0一个(C(吨)),在∈吨q米,
在哪里C是任何平滑曲线,使得C(0)=q和C(0)=在, 是一个元素吨q米. 确实,右边(2.43)是线性的在.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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