数学代写|matlab代写|Error-Correcting Codes

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数学代写|matlab代写|Error-Correcting Codes

数学代写|matlab代写|General Properties

In the next three chapters, we will present several types of error-correcting codes. A code is a set of messages, called codewords, which can be transmitted electronically between two parties. An error-correcting code is a code for which it is sometimes possible to detect and correct errors that occur during the transmission of codewords. Some applications of error-correcting codes include correction of errors that occur in information transmitted via the Internet, data stored in a computer, and music or video encoded on a compact disc or DVD. Error-correcting codes can also be used to correct errors that occur in information transmitted through space. For example, in Section 3.3, we will briefly discuss a specific error-correcting code that was used in the Mariner 9 space probe when it transmitted photographs back to Earth after entering into an orbit around Mars.

In this chapter, we will look at some types of codes in which the codewords are vectors of a fixed length over $\mathbb{Z}{2}$, with entries that we will call bits. We will denote the space of vectors of length $n$ over $\mathbb{Z}{2}$ as $\mathbb{Z}{2}^{n}$. Thus, the codes that we will consider in this chapter will be subsets of $\mathbb{Z}{2}^{n}$ for some $n$. A code in $\mathbb{Z}{2}^{n}$ is not required to be a subspace of $\mathbb{Z}{2}^{n}$. If a code is a subspace of $\mathbb{Z}_{2}^{n}$, then the code is called a linear code. We will present linear codes beginning in Section 3.6, and then continuing in Chapters 4 and $5 .$

The way that we will identify in general whether an error has occurred during the transmission of a codeword is to simply check whether the received vector is in the code. As a result, because our goal is to be able to detect and correct errors in received vectors, not all vectors in $\mathbb{Z}_{2}^{n}$ can be codewords in a particular code. If a received vector is in the code, then

we will assume that it was the codeword that was sent. If not, then obviously an error occurred in at least one of the bits during transmission, and provided the received vector is of the correct length (i.e., provided no bits were dropped during transmission), we will attempt to correct the received vector to the codeword that was actually sent.

In general, we will use the “nearest neighbor” policy to correct received vectors, meaning we will assume that the fewest possible number of bit errors occurred, and correct a received vector to the codeword from which it differs in the fewest positions. This method of error correction is limited, of course, for there is not always a unique codeword that differs from a received vector in the fewest positions. Also, even when there is a unique codeword that differs from a received vector in the fewest positions, this codeword might not be the vector that was actually sent. However, since the nearest neighbor policy is usually the best approach to take when correcting errors in actual practice, it is the basis from which we will perform our error correction.

数学代写|matlab代写|Hadamard Codes

For our first method for constructing codes, we will refer back to block designs, the subject of Chapter 2. The following theorem states that the rows in an incidence matrix for a symmetric block design form the codewords in an error-correcting code.

Theorem 3.2 Suppose $A$ is an incidence matrix for a $(v, v, r, r, \lambda)$ block design. Then the rows of $A$ form $a(v, 2(r-\lambda))$ code with $v$ codewords.
Proof. There are $v$ positions in each of the $v$ rows of $A$. Thus, the rows of $A$ form a code with $v$ codewords, each of length $v$ positions. It remains to be shown only that the minimum distance of this code is $2(r-\lambda)$. Consider any pair of rows $R_{1}$ and $R_{2}$ in $A$. Since every row of $A$ contains ones in $r$ positions, and each pair of rows of $A$ contains ones in common in $\lambda$ positions, there will be $r-\lambda$ positions in which $R_{1}$ contains a one and $R_{2}$ contains a zero, and $r-\lambda$ positions in which $R_{1}$ contains a zero and $R_{2}$ contains a one. This yields $2(r-\lambda)$ positions in which $R_{1}$ and $R_{2}$ differ.
Example 3.3 Theorem 3.2 states that the rows of the incidence matrix $A$ in Example $2.3$ form a $(7,4)$ code with 7 codewords.

In Theorem 2.5, we showed that a normalized Hadamard matrix of order $4 k \geq 8$ can be used to construct an incidence matrix for a

$(4 k-1,4 k-1,2 k-1,2 k-1, k-1)$ symmetric block design. Theorem $3.2$ states that the rows of such an incidence matrix $A$ form codewords of length $4 k-1$ positions in a code with minimum distance $2((2 k-1)-(k-1))=2 k$ and which contains $4 k-1$ codewords. Also, recall that each of the rows of $A$ will contain $2 k$ zeros and $2 k-1$ ones. Thus, there will be $2 k$ positions in which the vector $(11 \cdots 1)$ of length $4 k-1$ positions differs from each of the rows of $A$. So by including the vector ( $1,1 \cdots 1)$ of length $4 k-1$ positions with the rows of $A$, we obtain a $(4 k-1,2 k)$ code with $4 k$ codewords. In addition, as a result of Corollary $3.4$ to the following theorem, no additional vectors can be included in this code without decreasing the minimum distance of the code. Because these $(4 k-1,2 k)$ codes with $4 k$ codewords are constructed from Hadamard matrices, we will call them Hadamard codes.

We will close this section with the following theorem and corollary, which verify the fact that no vectors can be joined to the codewords in a Hadamard code without decreasing the minimum distance of the code.
Theorem 3.3 Suppose $r$ is the number of codewords in an $(n, d)$ code for some $n, d$ with $d>\frac{n}{2}$. Then $r \leq \frac{2 d}{2 d-n}$.

数学代写|matlab代写|Reed-Muller Codes

In Section 3.2, we showed that a normalized Hadamard matrix can be used to construct an error-correcting code called a Hadamard code. We also showed that the number of codewords in a Hadamard code is maximal in the sense that no additional vectors can be included without decreasing the minimum distance of the code. However, as a consequence of the following theorem, by increasing the length of the codewords in a Hadamard code by only a single position, we can double the number of codewords without decreasing the minimum distance of the code.

Theorem 3.5 Suppose $A$ is the incidence matrix that results from a normalized Hadamard matrix of order $4 k$, and suppose $B$ is the matrix obtained by interchanging all zeros and ones in $A$. Let $\mathcal{A}$ be the matrix obtained by placing a one in front of all of the rows of $A$, and let $\mathcal{B}$ be the matrix obtained by placing a zero in front of all of the rows of $B$. Then the rows of $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ taken together form a $(4 k, 2 k)$ code with $8 k-2$ codewords.
Proof. Exercise.
Just as we included the vector ( $11 \cdots 1$ ) with the rows of an incidence matrix when we formed Hadamard codes, we can do the same for the codes defined by Theorem 3.5. In fact, we can even do a little better. Note that each of the rows in the matrices $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ in Theorem $3.5$ will contain $2 k$ zeros and $2 k$ ones. Thus, there will be $2 k$ positions in which both of the vectors $\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ and $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ of length $4 k$ positions differ from each of the rows of $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$. So by including the vectors $(0 \quad 0 \cdots 0)$ and $(11 \cdots 1$ ) of length $4 k$ positions with the rows of $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$, we obtain a $(4 k, 2 k)$ code with $8 k$ codewords. It is also true that no additional vectors can be included in this code without decreasing the minimum distance of the code, although we will not prove this fact. These $(4 k, 2 k)$ codes with $8 k$ codewords are called Reed-Muller codes, and they have a storied history.
One notable use of a Reed-Muller code was in the Mariner 9 space probe, which transmitted photographs back to Earth after entering into an orbit around Mars in which it remains to this day. The specific code used in the probe was the $(32,16)$ Reed-Muller code with 64 codewords constructed using the normalized Hadamard matrix $H_{32}$. Before being transmitted from the Mariner probe, photographs were broken down into a collection of pixels. Each pixel was assigned one of 64 levels of grayness, and then encoded into one of the 64 codewords in the code. Mariner 9 used this code to transmit a total of 7,329 images of Mars, covering the entire planet. Since transmissions from the probe had to cover such a long distance and were fairly weak, there was a marked potential for bit errors, making the high error correction capability of the code necessary.

数学代写|matlab代写|Error-Correcting Codes

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数学代写|matlab代写|General Properties

在接下来的三章中,我们将介绍几种类型的纠错码。代码是一组消息,称为代码字,可以在两方之间以电子方式传输。纠错码是有时可以检测和纠正码字传输过程中出现的错误的码。纠错码的一些应用包括纠正在通过互联网传输的信息、存储在计算机中的数据以及在压缩盘或 DVD 上编码的音乐或视频中发生的错误。纠错码也可用于纠正在空间传输的信息中出现的错误。例如,在第 3.3 节中,

在本章中,我们将研究一些类型的代码,其中代码字是固定长度的向量从2,我们称之为位的条目。我们将表示长度向量的空间n超过从2作为从2n. 因此,我们将在本章中考虑的代码将是从2n对于一些n. 中的一个代码从2n不需要是的子空间从2n. 如果代码是从2n,则该代码称为线性代码。我们将从 3.6 节开始介绍线性码,然后在第 4 章和第 4 章继续介绍。5.

一般来说,我们识别码字传输过程中是否发生错误的方法是简单地检查接收到的向量是否在码中。结果,因为我们的目标是能够检测和纠正接收到的向量中的错误,而不是所有向量从2n可以是特定代码中的代码字。如果接收到的向量在代码中,则

我们将假设它是发送的代码字。如果不是,那么显然在传输过程中至少有一个比特发生了错误,并且如果接收到的向量具有正确的长度(即,如果在传输过程中没有丢失比特),我们将尝试将接收到的向量更正为实际发送的码字。

一般来说,我们将使用“最近邻”策略来纠正接收到的向量,这意味着我们将假设发生的比特错误数量最少,并将接收到的向量纠正到与它在最少位置不同的码字。当然,这种纠错方法是有限的,因为并不总是有一个唯一的码字在最少的位置上与接收到的向量不同。此外,即使存在与接收向量在最少位置上不同的唯一码字,该码字也可能不是实际发送的向量。但是,由于最近邻策略通常是在实际实践中纠正错误时采用的最佳方法,因此它是我们执行错误纠正的基础。

数学代写|matlab代写|Hadamard Codes

对于我们构造代码的第一种方法,我们将参考第 2 章的主题块设计。以下定理指出,对称块设计的关联矩阵中的行形成纠错码中的码字。

定理 3.2 假设一个是一个关联矩阵(在,在,r,r,λ)块设计。然后的行一个形式一个(在,2(r−λ))代码与在码字。
证明。有在在每个职位在行一个. 因此,行一个形成一个代码在码字,每个长度在职位。剩下的只是这个代码的最小距离是2(r−λ). 考虑任何一对行R1和R2在一个. 由于每一行一个包含在r位置,以及每对行一个包含共同点λ职位,会有r−λ其中的职位R1包含一个和R2包含一个零,并且r−λ其中的职位R1包含一个零和R2包含一个。这产生2(r−λ)其中的职位R1和R2不同。
例 3.3 定理 3.2 表明关联矩阵的行一个在示例中2.3形成一个(7,4)带有 7 个代码字的代码。

在定理 2.5 中,我们证明了一个归一化的 Hadamard 阶矩阵4ķ≥8可以用来构造一个关联矩阵

(4ķ−1,4ķ−1,2ķ−1,2ķ−1,ķ−1)对称块设计。定理3.2指出这样一个关联矩阵的行一个形成长度的码字4ķ−1距离最短的代码中的位置2((2ķ−1)−(ķ−1))=2ķ其中包含4ķ−1码字。另外,请记住,每一行一个将包含2ķ零和2ķ−1那些。这样,就会有2ķ向量的位置(11⋯1)长度4ķ−1位置不同于每一行一个. 所以通过包括向量 (1,1⋯1)长度4ķ−1位置与行一个,我们得到一个(4ķ−1,2ķ)代码与4ķ码字。此外,由于推论3.4根据以下定理,在不减小代码的最小距离的情况下,该代码中不能包含额外的向量。因为这些(4ķ−1,2ķ)代码与4ķ码字由 Hadamard 矩阵构成,我们称其为 Hadamard 码。

我们将用下面的定理和推论结束本节,它验证了在不减小代码的最小距离的情况下,没有向量可以连接到 Hadamard 码中的码字的事实。
定理 3.3 假设r是一个码字的数量(n,d)一些代码n,d和d>n2. 然后r≤2d2d−n.

数学代写|matlab代写|Reed-Muller Codes

在 3.2 节中,我们展示了一个归一化的 Hadamard 矩阵可以用来构造一个称为 Hadamard 码的纠错码。我们还表明,Hadamard 码中的码字数量是最大的,因为在不减小码的最小距离的情况下不能包含额外的向量。然而,作为以下定理的结果,通过仅将 Hadamard 码中的码字长度增加一个位置,我们可以在不减小码的最小距离的情况下使码字的数量增加一倍。

定理 3.5 假设一个是从阶的归一化 Hadamard 矩阵产生的关联矩阵4ķ, 并假设乙是通过交换所有 0 和 1 获得的矩阵一个. 让一个是通过在所有行前面放置一个 1 获得的矩阵一个, 然后让乙是通过在所有行前面放置一个零获得的矩阵乙. 然后的行一个和乙合起来形成一个(4ķ,2ķ)代码与8ķ−2码字。
证明。锻炼。
正如我们包含向量 (11⋯1) 当我们形成 Hadamard 码时,使用关联矩阵的行,我们可以对定理 3.5 定义的码做同样的事情。事实上,我们甚至可以做得更好一点。请注意,矩阵中的每一行一个和乙定理3.5将包含2ķ零和2ķ那些。这样,就会有2ķ两个向量的位置(00⋯0)和(11⋯1)长度4ķ位置与每一行不同一个和乙. 所以通过包括向量(00⋯0)和(11⋯1) 长度4ķ位置与行一个和乙,我们得到一个(4ķ,2ķ)代码与8ķ码字。同样真实的是,在不减小代码的最小距离的情况下,该代码中不能包含额外的向量,尽管我们不会证明这一事实。这些(4ķ,2ķ)代码与8ķ代码字被称为 Reed-Muller 代码,它们有着悠久的历史。
Reed-Muller 代码的一个显着用途是在水手 9 号太空探测器中,该探测器在进入火星周围的轨道后将照片传回地球,直到今天。探测中使用的特定代码是(32,16)使用归一化 Hadamard 矩阵构造的 64 个码字的 Reed-Muller 码H32. 在从 Mariner 探测器传输之前,照片被分解成一组像素。每个像素被分配 64 级灰度之一,然后编码为代码中的 64 个码字之一。水手 9 号使用此代码传输了总共 7,329 张火星图像,覆盖了整个星球。由于来自探头的传输必须覆盖如此长的距离并且相当微弱,因此存在明显的误码可能性,因此代码的高纠错能力是必要的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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