物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS5125

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在理论物理学中,量子场论(QFT)是一个理论框架,它结合了经典场论、狭义相对论和量子力学。QFT在粒子物理学中被用来构建亚原子粒子的物理模型,在凝聚态物理学中被用来构建类粒子的模型。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|PHYS5125

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dimension

The numerical value of many physical quantities depends on the unit one chooses to measure them. My height is $1.8 \mathrm{~m}$, or $180 \mathrm{~cm}$, or $1.90 \times 10^{-16}$ light-years. The use of light-years here as a unit is weird, but not so much more than the use of centimeters to measure distances at the scale of a nucleon as many textbooks do. (A nucleon has a size of about $10^{-15} \mathrm{~m}=$ $10^{-13} \mathrm{~cm}$.) Tradition unfortunately has more weight than rationality in these matters.

The concept of “physical dimension” (which definitely differs from dimension in the mathematical sense) expresses how the numerical value of a physical quantity depends on the units you choose to measure it. A distance has dimension $[l]$ where $l$ stands of course for length. If you increase the unit of length by a factor 100 , the corresponding measure decreases by a factor $100: 100 \mathrm{~cm}=1 \mathrm{~m}$. Then a surface has dimension $\left[l^{2}\right]:(100)^{2} \mathrm{~cm}^{2}=$ $1 \mathrm{~m}^{2}$. A volume has dimension $\left[l^{3}\right]: 1 \mathrm{~km}^{3}=\left(10^{3}\right)^{3} \mathrm{~m}^{3}=10^{9} \mathrm{~m}^{3}$. The unit of time can be chosen independently from the unit of length. Time has dimension [t], so speed, which is a distance divided by a time, has dimension $\left[l t^{-1}\right]$. Thus $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=3,600 \mathrm{~m} / \mathrm{h}=3.6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Acceleration, which is a change of speed divided by a time, has dimension $\left[l t^{-2}\right]$. It is of course a convention to choose time and length as fundamental quantities. One could make other choices, such as choosing time and speed as fundamental quantities. This is indeed basically what is actually done. Since 1983 , in the international system the speed of light is defined to be exactly
$$
c=299,792,458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
and this serves as a definition of the meter given the unit of time. ${ }^{1}$
A formula in physics must give a correct result independently of the system of units used. This is a strong constraint. This is why it often makes sense to multiply or divide quantities of different dimensions, but it never makes sense to add them. As we learn in kindergarten,you do not add pears with bananas. Furthermore, when a quantity occurs in a formula as the argument of, say, an exponential, it must be dimensionless, i.e. its value must be independent of the unit system. To understand a formula in physics it always helps to check that it makes sense with respect to dimension, a task we will perform many times.

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Notation

Since to enjoy this topic one has to read the work of physicists, it is best to adopt their notation from the beginning. Complex numbers play a central role, and the conjugate of a complex number $a$ is denoted by $a^{*}$. Even some of the best authors let the reader decide

whether $i$ denotes a complex number with $i^{2}=-1$ or an integer index. Since this requires no extra work, the complex number will be denoted by $i$, so that $i^{*}=-i$.

When working with complex Hilbert spaces we adopt the convention that the inner product $(\cdot,$, is anti-linear in the first variable (while often mathematicians use the convention that it is anti-linear in the second variable). One says that the inner product is sesqui-linear. That is, as another example of our notation for complex conjugation, we write
$$
(a x, y)=a^{}(x, y) $$ for any vectors $x, y$ and any complex number $a$. Moreover $$ (y, x)=(x, y)^{} .
$$
The norm $|x|$ of a vector $x$ is given by $|x|^{2}=(x, x)$, and we recall the Cauchy-Schwarz inequality
$$
|(x, y)|^{2} \leq|x|^{2}|y|^{2}
$$
where $|a|$ denotes the modulus of the complex number $a$. A basic example of a complex Hilbert space ${ }^{5}$ is the space $\mathbb{C}^{n}$, where the inner product is defined by $(x, y)=\sum_{i \leq n} x_{i}^{} y_{i}$, with the obvious notation $x=\left(x_{i}\right){i \leq n}$. Another very important example is the space $L^{2}(\mathbb{R})$ of complex-valued functions $f$ on the real line for which $\int{\mathbb{R}}|f|^{2} \mathrm{~d} x=\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{2} \mathrm{~d} x<\infty$, where $|f(x)|$ denotes the modulus of $f(x)$. The inner product is then given by $(f, g)=$ $\int_{\mathbb{R}} f^{} g \mathrm{~d} x$. A physicist would actually write
$$
(f, g)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}^{1} x f(x)^{*} g(x),
$$
where the superscript 1 refers to the fact that one integrates for a one-dimensional measure. The reason for which the $\mathrm{d}^{1} x$ is put before the function to integrate is that this makes the formula easier to parse when there are multiple integrals. We will use this convention systematically. We will not however mention the dimension in which we integrate when this dimension is equal to one.

An operator $A$ on a finite-dimensional Hilbert space $\mathcal{H}$ is simply a linear map $\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$. Its adjoint $A^{\dagger}$ is defined by
$$
\left(A^{\dagger}(x), y\right)=(x, A(y))
$$
for all vectors $x, y$. (Mathematicians would use the notation $A^{*}$ rather than $A^{\dagger}$.)

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Distributions

Laurent Schwartz invented the theory of distributions to give a rigorous meaning to many formal calculations of physicists. The theory of distributions is a fully rigorous part of mathematical analysis. In the main text however we will use only the very basics of this theory at a purely informal level. In Appendix $L$ the reader may find an introduction to rigorous methods.

We will consider distributions on $\mathbb{R}^{n}$ but here we assume $n=1$. The central object is the space $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R})$ of rapidly decreasing functions, called also test functions or Schwartz functions. A complex-valued ${ }^{7}$ function $\zeta$ on $\mathbb{R}$ is a test function if it has derivatives of all orders and if for any integers $k, n \geq 0$ one has 8
$$
\sup _{x}\left|x^{n} \zeta^{(k)}(x)\right|<\infty .
$$
A distribution is simply a linear functional (which also satisfies certain regularity conditions which will not concern us before we reach Appendix L, as they will be satisfied in all the examples we will consider). That is, a distribution $\Phi$ is a complex linear map from $\mathcal{S}$ to $\mathbb{C}$, and for each test function $\zeta$ the number $\Phi(\zeta)$ makes sense. Such a distribution should actually be called a tempered distribution, but we will simply say “distribution” since we will

hardly consider any other type of distribution. Tempered distributions are also known under the name of generalized functions. This name has the advantage of explaining the point of the theory of distributions: it generalizes the theory of functions. Indeed, a sufficiently well-behaved function ${ }^{9} f$ defines a distribution (= generalized function) $\Phi_{f}$ by the formula
$$
\Phi_{f}(\zeta)=\int \mathrm{d} x \zeta(x) f(x)
$$

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量子场论代考

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Dimension

许多物理量的数值取决于人们选择测量它们的单位。我的身高是1.8 米, 或者180 C米, 或者1.90×10−16光年。这里使用光年作为一个单位很奇怪,但并不像许多教科书那样使用厘米来测量核子尺度的距离。(一个核子的大小约为10−15 米= 10−13 C米.) 不幸的是,在这些问题上,传统比理性更重要。

“物理维度”的概念(与数学意义上的维度绝对不同)表达了物理量的数值如何取决于您选择测量它的单位。距离有维度[l]在哪里l当然代表长度。如果将长度单位增加 100 倍,则相应的度量会减少一个倍数100:100 C米=1 米. 然后一个表面有尺寸[l2]:(100)2 C米2= 1 米2. 卷有维度[l3]:1 ķ米3=(103)3 米3=109 米3. 时间单位可以独立于长度单位来选择。时间有维度[t],所以速度,即距离除以时间,有维度[l吨−1]. 因此1 米/s=3,600 米/H=3.6 ķ米/H. 加速度是速度的变化除以时间,它有维度[l吨−2]. 选择时间和长度作为基本量当然是一种惯例。人们可以做出其他选择,例如选择时间和速度作为基本量。这确实基本上是实际所做的。自1983年以来,在国际体系中,光速被精确定义为

C=299,792,458 米/s
这可以作为给定时间单位的米的定义。1
物理学中的公式必须独立于所使用的单位系统给出正确的结果。这是一个强约束。这就是为什么乘以或除以不同维度的数量通常是有意义的,但将它们相加却毫无意义。正如我们在幼儿园学习的那样,您不要在香蕉中添加梨。此外,当一个量出现在公式中作为参数时,比如指数,它必须是无量纲的,即它的值必须与单位系统无关。要理解物理学中的公式,检查它在维度方面是否有意义总是有帮助的,这是我们将多次执行的任务。

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Notation

既然要享受这个话题,就必须阅读物理学家的工作,最好从一开始就采用他们的符号。复数起着核心作用,复数的共轭一个表示为一个∗. 甚至一些最优秀的作者也让读者自己决定

无论一世表示一个复数一世2=−1或整数索引。由于这不需要额外的工作,因此复数将表示为一世, 以便一世∗=−一世.

当处理复杂的希尔伯特空间时,我们采用内积的约定(⋅,, 在第一个变量中是反线性的(而数学家经常使用它在第二个变量中是反线性的约定)。有人说内积是倍半线性的。也就是说,作为复共轭符号的另一个例子,我们写

(一个X,是)=一个(X,是)对于任何向量X,是和任何复数一个. 而且

(是,X)=(X,是).
规范|X|向量的X是(谁)给的|X|2=(X,X), 我们回想起 Cauchy-Schwarz 不等式

|(X,是)|2≤|X|2|是|2
在哪里|一个|表示复数的模一个. 复希尔伯特空间的一个基本例子5是空间Cn,其中内积定义为(X,是)=∑一世≤nX一世是一世, 带有明显的符号X=(X一世)一世≤n. 另一个非常重要的例子是空间大号2(R)复值函数F在实际线上∫R|F|2 dX=∫R|F(X)|2 dX<∞, 在哪里|F(X)|表示模数F(X). 内积由下式给出(F,G)= ∫RFG dX. 物理学家实际上会写

(F,G)=∫−∞∞d1XF(X)∗G(X),
其中上标 1 指的是对一维度量进行积分这一事实。其原因d1X放在要积分的函数之前是为了在有多个积分时更容易解析公式。我们将系统地使用这个约定。然而,当这个维度等于一时,我们不会提及我们整合的维度。

运营商一个在有限维希尔伯特空间上H只是一个线性映射H→H. 它的伴随一个†定义为

(一个†(X),是)=(X,一个(是))
对于所有向量X,是. (数学家会使用符号一个∗而不是一个†.)

物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Distributions

Laurent Schwartz 发明了分布理论,为物理学家的许多形式计算赋予了严格的含义。分布理论是数学分析的一个完全严谨的部分。然而,在正文中,我们将仅在纯粹的非正式层面上使用该理论的基础知识。在附录中大号读者可能会找到有关严格方法的介绍。

我们将考虑分布在Rn但在这里我们假设n=1. 中心对象是空间小号=小号(R)快速递减函数,也称为测试函数或 Schwartz 函数。复值7功能G上R是一个测试函数,如果它具有所有阶的导数并且对于任何整数ķ,n≥0一个有 8 个

支持X|XnG(ķ)(X)|<∞.
分布只是一个线性泛函(它也满足某些在我们到达附录 L 之前不会关心的规律性条件,因为它们将在我们将考虑的所有示例中得到满足)。也就是说,一个分布披是一个复杂的线性映射小号至C,并且对于每个测试函数G号码披(G)说得通。这种分布实际上应该称为调和分布,但我们将简单地说“分布”,因为我们将

几乎不考虑任何其他类型的分布。调和分布也称为广义函数。这个名称的优点是解释了分布理论的要点:它概括了函数理论。确实,一个行为良好的函数9F定义分布(= 广义函数)披F由公式

披F(G)=∫dXG(X)F(X)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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