统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MAST90085

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|MAST90085

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Truncation Types

Given rotated PCA loadings, $Z$, we introduce the truncation operation of SPCArt, $T_{\lambda}\left(Z_{i}\right)$, where $T_{\lambda}$ is one of the following four types: T- $\ell_{1}$, soft thresholding $S_{\lambda} ; \mathrm{T}-\ell_{0}$, hard thresholding $H_{\lambda}$; T-sp, truncation by sparsity $P_{\lambda}$; and T-en, truncation by energy $E_{\lambda}$. T- $\ell_{1}$ was introduced in the previous section, we now introduce the remaining three types.

T- $\ell_{0}$ : hard thresholding. Set the entries below threshold $\lambda$ to zero: $X_{i}^{}=$ $H_{\lambda}\left(Z_{i}\right) /\left|H_{\lambda}\left(Z_{i}\right)\right|_{2} \cdot H_{\lambda}(\cdot)$ is defined in Table 2 . It is resulted from $\ell_{0}$ penalty: $$ \min {X, R}|V-X R|{F}^{2}+\lambda^{2} \sum_{i}\left|X_{i}\right|_{0}, \text { s.t. } R^{T} R=I .
$$
The optimization is similar to the $\ell_{1}$ case. Fixing $X, R^{}=\operatorname{Polar}\left(X^{T} V\right)$. Fixing $R$, the problem becomes $\min {X}\left|V R^{T}-X\right|{F}^{2}+\lambda^{2}|X|_{0}$. Let $Z=V R^{T}$, it can be decomposed to $p \times r$ entry-wise subproblems, and the solution is apparent: if $\left|Z_{j i}\right| \leq \lambda$, then $X_{j i}^{}=0$, otherwise $X_{j i}^{}=Z_{j i}$. Hence the solution can be expressed as $X_{i}^{*}=H_{\lambda}\left(Z_{i}\right)$.

There is no normalization for $X^{}$ compared with the $\ell_{1}$ case. This is because, if the unit length constraint, $\left|X_{i}\right|_{2}=1$, is added, there will be no closed-form solution. However, in practice, SPCArt still uses $X_{i}^{}=H_{\lambda}\left(Z_{i}\right) /\left|H_{\lambda}\left(Z_{i}\right)\right|_{2}$ for consistency, since empirically no significant difference is observed.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Performance Analysis

This section discusses the performance bounds for each truncation type. For $X_{i}=$ $T_{\lambda}\left(Z_{i}\right) /\left|T_{\lambda}\left(Z_{i}\right)\right|_{2}$, the following problems are studied:

  1. How much sparsity of $X_{i}$ is guaranteed?
  2. How much does $X_{i}$ deviate from $Z_{i}$ ?
  3. What is the orthogonality degree of $X$ ?
  4. How much variance is explained by $X$ ?
    The derived performance bounds are functions of $\lambda$. The sparsity, orthogonality, and explained variance can be directly or indirectly controlled via $\lambda .^{1}$ We first introduce some definitions.

Definition $2 \forall x \in \mathbb{R}^{p}$, the sparsity of $x$ is the proportion of zero entries: $s(x)=$ $1-|x|_{0} / p$

Definition $3 \forall z \in \mathbb{R}^{p}, z \neq 0, x=T_{\lambda}(z) /\left|T_{\lambda}(z)\right|_{2}$, the deviation of $x$ from $z$ is $\sin (\theta(x, z))$, where $\theta(x, z)$ is the included angle between $x$ and $z, 0 \leq \theta(x, z) \leq \pi / 2$. If $x=0, \theta(x, y)$ is defined to be $\pi / 2$

Definition $4 \forall x, y \in \mathbb{R}^{p}, x \neq 0, y \neq 0$, the nonorthogonality between $x$ and $y$ is $|\cos (\theta(x, y))|=\left|x^{T} y\right| /\left(|x|_{2} \cdot|y|_{2}\right)$, where $\theta(x, y)$ is the included angle between $x$ and $y$.

Definition 5 Given data matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times p}$ containing $n$ samples of dimension $p, \forall$ basis $X \in \mathbb{R}^{p \times r}, r \leq p$, the explained variance by $X$ is $E V(X)=\operatorname{tr}\left(X^{T} A^{T} A X\right)$. Let $U$ be any orthonormal basis in the subspace spanned by $X$, then the cumulative percentage of explained variance is $C P E V(X)=\operatorname{tr}\left(U^{T} A^{T} A U\right) / \operatorname{tr}\left(A^{T} A\right)[21]$.
Intuitively, larger $\lambda$ leads to higher sparsity and larger deviation. When two truncated vectors deviate from their originally orthogonal vectors, in the worst case, the nonorthogonality degenerates as the ‘sum’ of their deviations. On the other side, if the deviations of a sparse basis from the rotated loadings are small, we may expect the sparse basis still represents the data well, and the explained variance maintains a similar level to that of PCA. In a word, both the nonorthogonality and explained variance depend on the deviation, and the deviation and sparsity in turn are controlled by $\lambda$. We now go into details. For the proofs of the results, please refer to [9].

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Sparsity and Deviation

The following results only concern a single vector of the basis. We will denote $Z_{i}$ by $z$, and $X_{i}$ by $x$ for simplicity, and derive bounds of sparsity, $s(x)$, and deviation,

$\sin (\theta(x, z))$, for each $T$. They depend on a key value, $1 / \sqrt{p}$, which is the entry value of a uniform vector.
Proposition 7 For $T-\ell_{0}$, the sparsity bounds are
$$
\begin{cases}0 \leq s(x) \leq 1-\frac{1}{p} & , \lambda<\frac{1}{\sqrt{p}} \ 1-\frac{1}{p \lambda^{2}}<s(x) \leq 1, \lambda \geq \frac{1}{\sqrt{p}}\end{cases}
$$
The deviation is $\sin (\theta(x, z))=|\bar{z}|_{2}$, where $\bar{z}$ is the truncated part: $\bar{z}{i}=z{i}$ if $x_{i}=0$, and $\bar{z}_{i}=0$ otherwise. The absolute bounds of deviation are:
$$
0 \leq \sin (\theta(x, z)) \leq \begin{cases}\sqrt{p-1} \lambda & , \lambda<\frac{1}{\sqrt{p}} \ 1 & , \lambda \geq \frac{1}{\sqrt{p}}\end{cases}
$$
All the above bounds are achievable.
Since when $\lambda<1 / \sqrt{p}$, there is no sparsity guarantee, $\lambda$ is usually set to be $1 / \sqrt{p}$ in practice. It generally works well.

Proposition 8 For $T$ – $\ell_{1}$, the bounds of $s(x)$ and lower bound of $\sin (\theta(x, z))$ are the same as $T$ – $\ell_{0}$ ‘s. In addition, there are relative deviation bounds
$$
|\bar{z}|_{2} \leq \sin (\theta(x, z))<\sqrt{|\bar{z}|_{2}^{2}+\lambda^{2}|x|_{0}}
$$
It is still an open question whether $\mathrm{T}-\ell_{1}$ has the same upper bound of deviation as $\mathrm{T}-\ell_{0}$. By the relative lower bounds, we have

Corollary 9 The deviation of soft thresholding is always larger than that of hard thresholding, if the same $\lambda$ is applied.

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主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Truncation Types

给定旋转的 PCA 载荷,从,我们介绍SPCArt的截断操作,吨λ(从一世), 在哪里吨λ是以下四种类型之一:T-ℓ1, 软阈值小号λ;吨−ℓ0, 硬阈值Hλ; T-sp,稀疏截断磷λ; 和 T-en,能量截断和λ. T-ℓ1上一节介绍过,我们现在介绍剩下的三种。

T-ℓ0: 硬阈值。将条目设置为低于阈值λ归零:X一世= Hλ(从一世)/|Hλ(从一世)|2⋅Hλ(⋅)在表 2 中定义。它是由ℓ0惩罚:

分钟X,R|在−XR|F2+λ2∑一世|X一世|0, 英石 R吨R=我.
优化类似于ℓ1案子。定影X,R=极性⁡(X吨在). 定影R,问题就变成了分钟X|在R吨−X|F2+λ2|X|0. 让从=在R吨, 可以分解为p×r入口子问题,解决方案很明显:如果|从j一世|≤λ, 然后Xj一世=0, 否则Xj一世=从j一世. 因此解可以表示为X一世∗=Hλ(从一世).

没有标准化X与ℓ1案子。这是因为,如果单位长度约束,|X一世|2=1, 被添加,将没有封闭形式的解决方案。但是,在实践中,SPCArt 仍然使用X一世=Hλ(从一世)/|Hλ(从一世)|2为了一致性,因为在经验上没有观察到显着差异。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Performance Analysis

本节讨论每种截断类型的性能界限。为了X一世= 吨λ(从一世)/|吨λ(从一世)|2,研究以下问题:

  1. 多少稀疏X一世有保证吗?
  2. 多少钱X一世背离从一世 ?
  3. 什么是正交度X?
  4. 多少方差可以解释为X?
    派生的性能界限是λ. 稀疏性、正交性和解释方差可以通过以下方式直接或间接控制λ.1我们首先介绍一些定义。

定义2∀X∈Rp, 的稀疏性X是零条目的比例:s(X)= 1−|X|0/p

定义3∀和∈Rp,和≠0,X=吨λ(和)/|吨λ(和)|2, 的偏差X从和是罪⁡(θ(X,和)), 在哪里θ(X,和)是之间的夹角X和和,0≤θ(X,和)≤圆周率/2. 如果X=0,θ(X,是)被定义为圆周率/2

定义4∀X,是∈Rp,X≠0,是≠0, 之间的非正交性X和是是|因⁡(θ(X,是))|=|X吨是|/(|X|2⋅|是|2), 在哪里θ(X,是)是之间的夹角X和是.

定义 5 给定数据矩阵一个∈Rn×p包含n尺寸样本p,∀基础X∈Rp×r,r≤p,解释方差为X是和在(X)=tr⁡(X吨一个吨一个X). 让在是跨越的子空间中的任何标准正交基X,则解释方差的累积百分比为C磷和在(X)=tr⁡(在吨一个吨一个在)/tr⁡(一个吨一个)[21].
直观地说,更大λ导致更高的稀疏性和更大的偏差。当两个截断的向量偏离它们最初的正交向量时,在最坏的情况下,非正交性退化为它们偏差的“总和”。另一方面,如果稀疏基与旋转载荷的偏差很小,我们可以预期稀疏基仍然可以很好地代表数据,并且解释方差保持与 PCA 相似的水平。总之,非正交性和解释方差都取决于偏差,而偏差和稀疏性又受控于λ. 我们现在进入细节。结果证明见[9]。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Sparsity and Deviation

以下结果仅涉及基的单个向量。我们将表示从一世经过和, 和X一世经过X为简单起见,并导出稀疏边界,s(X), 和偏差,

罪⁡(θ(X,和)), 对于每个吨. 它们依赖于一个键值,1/p,这是一个统一向量的入口值。
提案 7 为吨−ℓ0,稀疏边界是

{0≤s(X)≤1−1p,λ<1p 1−1pλ2<s(X)≤1,λ≥1p
偏差是罪⁡(θ(X,和))=|和¯|2, 在哪里和¯是截断部分:$\bar{z} {i}=z {i}一世Fx_{i}=0,一个nd\bar{z}_{i}=0○吨H和r在一世s和.吨H和一个bs○l在吨和b○在nds○Fd和在一世一个吨一世○n一个r和:0≤罪⁡(θ(X,和))≤{p−1λ,λ<1p 1,λ≥1p一个ll吨H和一个b○在和b○在nds一个r和一个CH一世和在一个bl和.小号一世nC和在H和n\lambda<1 / \sqrt{p},吨H和r和一世sn○sp一个rs一世吨是G在一个r一个n吨和和,λ一世s在s在一个ll是s和吨吨○b和1 / \sqrt{p}$ 在实践中。它通常运作良好。

提案 8 为吨 – ℓ1, 的界限s(X)和下限罪⁡(θ(X,和))是一样的吨–ℓ0的。此外,还有相对偏差界限

|和¯|2≤罪⁡(θ(X,和))<|和¯|22+λ2|X|0
是否仍然是一个悬而未决的问题吨−ℓ1具有相同的偏差上限吨−ℓ0. 通过相对下界,我们有

推论 9 软阈值的偏差总是大于硬阈值的偏差,如果相同λ被申请;被应用。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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