分类: 主成分分析代写

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT6020

如果你也在 怎样代写主成分分析Principal Component Analysis这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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我们提供的主成分分析Principal Component Analysis及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT6020

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Lymphoma data sets

The lymphoma data set comes from a study of gene expression of three prevalent lymphoid malignancies: B-cell chronic lymphocytic leukemia (B-CLL), follicular lymphoma (FL) and diffuse large B-cell lymphoma (DLCL). Among 96 samples we took 62 samples 4026 genes in three classes: 11 cases of B-CLL, 9 cases of FL and 42 cases of DLCL. Gene expression levels were measured using 2-channel cDNA microarrays.

After preprocessing, all gene expression profiles were base 10 log-transformed and, in order to prevent single arrays from dominating the analysis, standardized to zero mean and unit variance. Finally, we complete the preprocessing of the gene expression data with gene centring.

In this example we perform the KPCA, as detailed in the previous section, we compute the kernel matrix with using the radial basis kernel with $c=0.01$, this value is set heuristically. The resulting plot is given in Figure 6. It shows the projection onto the two leading kernel principal components of microarrays. In this figure we can see that KPCA detect the group structure in reduced dimension. DLCL, FL and B-CLL are fully separated by KPCA.

To validate our procedure we select a list of genes differentially expressed proposed by (Reverter et al. (2010)) and a list of genes that are not differentially expressed. In particular, in Figures 7, 8,9 and 10 we show the results in the case of genes: $139009,1319066,1352822$ and 1338456 , respectively. The three first genes belong to the list of genes differentially expressed and the last gene is not differentially expressed.

Figure 7 (top) shows the tangent vectors associated with 139009 gene attached at each sample point. This vector field reveals upper expression towards DLCL cluster as is expected from references above mentioned. This gene is mainly represented by the first principal component. The length of the arrows indicate the influence strength of the gene on the sample position despite the dimension reduction. Figure 7 (bottom) shows the expression profile of 139009 gene. We can observe that 139009 gene is up regulated in DLCL cluster. This profile is agree with our procedure because the direction in which the expression of the 139009 gene increases points to the DLCL cluster.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Definitions of major «omics» in molecular biology and their goals

The nomicsm era, also called classically the post-genomic era, is described as the period of time which extends the first publication of the human genome sequence draft in 2001 (International Human Genome Sequencing Consortium, 2001; Venter et al., 2001). Ten years after that milestone, extensive use of high-throughput analytical technologies, high performance computing power and large advances in bioinformatics have been applied to solve fundamental molecular biology questions as well as to find clues concerning human diseases (cancers) and aging. Principal nomicsw, such as Gen-omics, Transcript-omics, Proteomics and Metabol-omics, are biology disciplines whose main and extremely ambitious objective is to describe as extensively as possible the complete class-specific molecular components of the cell. In the a omics sciences, the catalog of major cell molecular components, respectively, genes, messenger RNAs and small interfering and regulatory RNAs, proteins, and metabolites of living organisms, is recorded qualitatively as well as quantitatively in response to environmental changes or pathological situations. Various research communities, organized in institutions both at the academic and private levels and working in the nomicsm fields, have spent large amounts of effort and money to reach. standardization in the different experimental and data processing steps. Some of these “omics” specific steps basically include the following: the optimal experimental workflow design, the technology-dependent data acquisition and storage, the pre-processing methods and the post-processing strategies in order to extract some level of relevant biological knowledge from usually large data sets. Just like Perl (Practical Extraction and Report Language) has been recognized to have saved the Human Genome project initiative (Stein, 1996), by using accurate rules to parse genomic sequence data, other web-driven. programming languages and file formats such as XML have also facilitated nomics” data dissemination among scientists and helped rationalize and integrate molecular biology data.
Data resulting from different womicsw have several characteristics in common, which are summarized in Figure 1: (a) the number of measured variables $\mathrm{n}$ ( $\mathrm{SNP}$, gene expression, proteins, peptides, metabolites) is quite large in size (from 100 to 10000), (b) the number of samples or experiments $\mathrm{p}$ where these variables are measured associated with factors such as the pathological status, environmental conditions, drug exposure or kinetic points (temporal experiments) is rather large $(10$ to 1000$)$ and (c) the measured variables are organized in a matrix of $\mathrm{n} \times \mathrm{p}$ dimensions. The cell contents of such a matrix usually record a metric (or numerical code) related to the abundance of the measured variables. The observed data are acquired keeping the lowest amount of possible technical and analytical variability. Exploring these womicsw data requires fast computers and state-of-the-art data visualization and statistical multivariate tools to extract relevant knowledge, and among these tools PCA is a tool of choice in order to perform initial exploratory data analysis (EDA).

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主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Lymphoma data sets

淋巴瘤数据集来自对三种流行淋巴恶性肿瘤基因表达的研究:B 细胞慢性淋巴细胞白血病 (B-CLL)、滤泡性淋巴瘤 (FL) 和弥漫性大 B 细胞淋巴瘤 (DLCL)。在 96 个样本中,我们抽取了 62 个样本 4026 个基因,分为三类:11 例 B-CLL、9 例 FL 和 42 例 DLCL。使用 2 通道 cDNA 微阵列测量基因表达水平。

预处理后,所有基因表达谱都进行了 10 对数转换,并且为了防止单个阵列主导分析,标准化为零均值和单位方差。最后,我们完成了基因中心对基因表达数据的预处理。

在本例中,我们执行 KPCA,如上一节所述,我们使用径向基核计算核矩阵C=0.01,这个值是启发式设置的。结果图在图 6 中给出。它显示了在微阵列的两个主要内核主成分上的投影。在该图中,我们可以看到 KPCA 检测降维的组结构。DLCL、FL 和 B-CLL 由 KPCA 完全分离。

为了验证我们的程序,我们选择了 (Reverter et al. (2010)) 提出的差异表达基因列表和未差异表达的基因列表。特别是,在图 7、8、9 和 10 中,我们展示了基因情况下的结果:139009,1319066,1352822和 1338456 分别。前三个基因属于差异表达基因列表,最后一个基因没有差异表达。

图 7(顶部)显示了与每个样本点连接的 139009 基因相关的切线向量。正如上述参考文献所预期的那样,该向量场揭示了对 DLCL 簇的上层表达式。该基因主要由第一主成分代表。尽管尺寸减小,箭头的长度表示基因对样本位置的影响强度。图 7(下)显示了 139009 基因的表达谱。我们可以观察到 139009 基因在 DLCL 簇中上调。该图谱与我们的程序一致,因为 139009 基因表达增加的方向指向 DLCL 簇。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Definitions of major «omics» in molecular biology and their goals

组学时代,也称为经典的后基因组时代,被描述为延长 2001 年人类基因组序列草案首次出版的时期(国际人类基因组测序联盟,2001;Venter 等人,2001)。在那个里程碑十年之后,广泛使用高通量分析技术、高性能计算能力和生物信息学的巨大进步已被应用于解决基本分子生物学问题以及寻找有关人类疾病(癌症)和衰老的线索。主要的组学,如基因组学、转录组学、蛋白质组学和代谢组学,是生物学学科,其主要和极其雄心勃勃的目标是尽可能广泛地描述细胞的完整类特异性分子成分。在组学科学中,主要细胞分子成分的目录,分别是基因、信使 RNA 和小干扰和调节 RNA、蛋白质和生物体的代谢物,根据环境变化或病理情况进行定性和定量记录。各种研究团体,在学术和私人层面的机构中组织并在经济学领域工作,花费了大量的精力和金钱来接触。在不同的实验和数据处理步骤中进行标准化。其中一些“组学”具体步骤基本上包括以下内容:优化实验工作流程设计、依赖技术的数据采集和存储、预处理方法和后处理策略,以便从通常较大的数据集中提取一定程度的相关生物学知识。就像 Perl(实用提取和报告语言)被公认为拯救了人类基因组计划(Stein,1996)一样,通过使用准确的规则来解析基因组序列数据,其他网络驱动。XML 等编程语言和文件格式也促进了“经济学”数据在科学家之间的传播,并有助于合理化和整合分子生物学数据。
来自不同 womicsw 的数据有几个共同的特征,总结在图 1 中: (a) 测量变量的数量n ( 小号ñ磷, 基因表达, 蛋白质, 肽, 代谢物) 规模相当大 (从 100 到 10000), (b) 样本或实验的数量p这些变量的测量与病理状态、环境条件、药物暴露或动力学点(时间实验)等因素有关(10到 1000)(c) 测量变量被组织成一个矩阵n×p方面。这种矩阵的单元格内容通常记录与测量变量的丰度相关的度量(或数字代码)。采集的观测数据保持尽可能低的技术和分析可变性。探索这些 womicsw 数据需要快速计算机和最先进的数据可视化和统计多元工具来提取相关知识,在这些工具中,PCA 是执行初始探索性​​数据分析 (EDA) 的首选工具。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
PYTHON代写回归分析与线性模型代写
MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

如果你也在 怎样代写主成分分析Principal Component Analysis这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。

主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写主成分分析Principal Component Analysis方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写主成分分析Principal Component Analysis代写方面经验极为丰富,各种代写主成分分析Principal Component Analysis相关的作业也就用不着说。

我们提供的主成分分析Principal Component Analysis及其相关学科的代写,服务范围广, 其中包括但不限于:

  • Statistical Inference 统计推断
  • Statistical Computing 统计计算
  • Advanced Probability Theory 高等概率论
  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Validation

In this section we illustrate our procedure with data from the leukemia data set of Golub et al. (1999) and the lymphoma data set Alizadeh et al. (2000).

In these examples our aim is to validate our procedure for adding input variables information into KPCA representation. We follow the following steps. First, in each data set, we build a list of genes that are differentially expressed. This selection is based in accordance with previous studies such as (Golub et al. (1999), Pittelkow \& Wilson (2003), Reverter et al. (2010)). In addition we compute the expression profile of each gene selected, this profile confirm the evidence of differential expression.

Second, we compute the curves through each sample point associated with each gene in the list. These curves are given by the $\phi$-image of points of the form:
$$
\mathbf{y}(s)=\mathbf{x}{i}+s \mathbf{e}{k}
$$
where $x_{i}$ is the $1 \times n$ expression vector of the $i$-th sample, $i=1, \ldots, m, k$ denotes the index in the expression matrix of the gene selected to be represented, $\mathbf{e}{k}=(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$ is a $1 \times n$ vector with zeros except in the $k$-th. These curves describe locally the change of the sample $x{i}$ induced by the change of the gene expression.

Third, we project the tangent vector of each curve at $s=0$, that is, at the sample points $\mathbf{x}_{i}$, $i=1, \ldots, m$, onto the KPCA subspace spanned by the eigenvectors (9). This representation capture the direction of maximum variation induced in the samples when the expression of gene increases.

By simultaneously displaying both the samples and the gene information on the same plot it is possible both to visually detect genes which have similar profiles and to interpret this pattern by reference to the sample groups.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Leukemia data sets

The leukemia data set is composed of 3051 gene expressions in three classes of leukemia: 19 cases of B-cell acute lymphoblastic leukemia (ALL), 8 cases of T-cell ALL and 11 cases of acute myeloid leukemia (AML). Gene expression levels were measured using Affymetrix high-density oligonucleotide arrays.

The data were preprocessed according to the protocol described in Dudoit et al. (2002). In addition, we complete the preprocessing of the gene expression data with a microarray standardization and gene centring.

In this example we perform the KPCA, as detailed in the previous section, we compute the kernel matrix with using the radial basis kernel with $c=0.01$, this value is set heuristically. The resulting plot is given in Figure 1. It shows the projection onto the two leading kernel principal components of microarrays. In this figure we can see that KPCA detect the group structure in reduced dimension. AML, T-cell ALL and B-cell ALL are fully separated by KPCA.

To validate our procedure we select a list of genes differentially expressed proposed by (Golub et al. (1999), Pittelkow \& Wilson (2003), Reverter et al. (2010)) and a list of genes that are not differentially expressed. In particular, in Figures 2, 3,4 and 5 we show the results in the case of genes: X76223_s_at, X82240_rna1_at, Y00787_s_at and D50857_at, respectively. The three first genes belong to the list of genes differentially expressed and the last gene is not differentially expressed.

Figure 2 (top) shows the tangent vectors associated with $\mathrm{X} 76223_{\text {_s_at gene, attached at }}$ each sample point. This vector field reveals upper expression towards T-cell cluster as is expected from references above mentioned. This gene is well represented by the second principal component. The length of the arrows indicate the strength of the gene on the sample position despite the dimension reduction. Figure 2 (bottom) shows the expression profile of X76223_s_at gene. We can observe that X76223_s_at gene is up regulated in T-cell class. This profile is agree with our procedure because the direction in which the expression of the $\mathrm{x} 76223$ _s_at gene increases points to the T-cell cluster.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Validation

在本节中,我们使用来自 Golub 等人的白血病数据集的数据来说明我们的程序。(1999) 和淋巴瘤数据集 Alizadeh 等人。 $(2000$ 年 $)$ 。
在这些示例中,我们的目标是验证我们将输入变量信息添加到 KPCA 表示中的过程。我们遵循以下步骤。首 先,在每个数据集中,我们构建了一个差异表达的基因列表。该选择基于先前的研究,例如 (Golub et al. (1999), Pittelkow \& Wilson (2003), Reverter et al. (2010))。此外,我们计算每个所选基因的表达谱,该谱证 实了差异表达的证据。
其次,我们通过与列表中每个基因相关的每个样本点计算曲线。这些曲线由 $\phi$ – 形式点的图像:
$$
\mathbf{y}(s)=\mathbf{x} i+s \mathbf{e} k
$$
在哪里 $x_{i}$ 是个 $1 \times n$ 的表达载体 $i$-第一个样本, $i=1, \ldots, m, k$ 表示选择要表示的基因在表达矩阵中的索引, $\mathrm{e} k=(0, \ldots, 1, \ldots, 0)$ 是一个 $1 \times n$ 除了在 $k$-th。这些曲线局部地描述了样本的变化 $x i$ 基因表达的改变引起 的。
第三,我们将每条曲线的切向量投影在 $s=0$ ,即在样本点 $\mathbf{x}_{i}, i=1, \ldots, m$, 到由特征向量 (9) 跨越的 KPCA 子空间上。当基因表达增加时,这种表示捕获了样本中诱导的最大变异的方向。
通过在同一个图上同时显示样本和基因信息,既可以直观地检测具有相似特征的基因,也可以通过参考样本组 来解释这种模式。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Leukemia data sets

白血病数据集由三类白血病中的 3051 个基因表达组成:19 例 B 细胞急性淋巴细胞白血病 (ALL)、8 例 T 细胞 ALL 和 11 例急性髓性白血病 (AML)。使用 Affymetrix 高密度寡核苷酸阵列测量基因表达水平。

根据 Dudoit 等人描述的协议对数据进行了预处理。(2002 年)。此外,我们通过微阵列标准化和基因中心化完成了基因表达数据的预处理。

在本例中,我们执行 KPCA,如上一节所述,我们使用径向基核计算核矩阵C=0.01,这个值是启发式设置的。得到的图在图 1 中给出。它显示了对微阵列的两个主要内核主成分的投影。在该图中,我们可以看到 KPCA 检测降维的组结构。AML、T 细胞 ALL 和 B 细胞 ALL 由 KPCA 完全分离。

为了验证我们的程序,我们选择了由 (Golub 等人 (1999)、Pittelkow \& Wilson (2003)、Reverter 等人 (2010)) 提出的差异表达基因列表和未差异表达的基因列表。特别是,在图 2、3、4 和 5 中,我们分别展示了基因情况下的结果:X76223_s_at、X82240_rna1_at、Y00787_s_at 和 D50857_at。前三个基因属于差异表达基因列表,最后一个基因没有差异表达。

图 2(顶部)显示了与相关的切向量X76223_s_at 基因,附着在 每个采样点。正如上述参考文献所预期的那样,该向量场揭示了对 T 细胞簇的上层表达。该基因由第二个主要成分很好地代表。尽管尺寸减小,箭头的长度表示基因在样本位置上的强度。图 2(下)显示了 X76223_s_at 基因的表达谱。我们可以观察到 X76223_s_at 基因在 T 细胞类中上调。该配置文件与我们的程序一致,因为X76223_s_at 基因增加指向 T 细胞簇。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

R语言代写问卷设计与分析代写
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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
STATA代写机器学习/统计学习代写
SPSS代写计量经济学代写
EVIEWS代写时间序列分析代写
EXCEL代写深度学习代写
SQL代写各种数据建模与可视化代写

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT3888

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Kernel PCA methodology

KPCA is a nonlinear equivalent of classical PCA that uses methods inspired by statistical learning theory. We describe shortly the KPCA method from Scholkopf et al. (1998).

Given a set of observations $\mathbf{x}{i} \in \mathbb{R}^{n}, i=1, \ldots, m$. Let us consider a dot product space $F$ related to the input space by a map $\phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow F$ which is possibly nonlinear. The feature space $F$ could have an arbitrarily large, and possibly infinite, dimension. Hereafter upper case characters are used for elements of $F$, while lower case characters denote elements of $\mathbb{R}^{n}$. We assume that we are dealing with centered data $\sum{i=1}^{m} \phi\left(\mathbf{x}{i}\right)=0$. In $F$ the covariance matrix takes the form $$ \mathrm{C}=\frac{1}{m} \sum{j=1}^{m} \phi\left(\mathbf{x}{j}\right) \phi\left(\mathbf{x}{j}\right)^{\top} .
$$
We have to find eigenvalues $\lambda \geq 0$ and nonzero eigenvectors $V \in F \backslash{0}$ satisfying
$$
\mathbf{C V}=\lambda \mathrm{V} \text {. }
$$

As is well known all solutions $\mathbf{V}$ with $\lambda \neq 0$ lie in the span of $\left{\phi\left(\mathbf{x}{i}\right)\right}{i=1}^{m}$. This has two consequences: first we may instead consider the set of equations
$$
\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{k}\right), \mathbf{C V}\right\rangle=\lambda\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{k}\right), \mathbf{V}\right\rangle,
$$
for all $k=1, \ldots, m$, and second there exist coefficients $\alpha_{i}, i=1, \ldots, m$ such that
$$
\mathbf{V}=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \phi\left(\mathbf{x}{i}\right) $$ Combining (1) and (2) we get the dual representation of the eigenvalue problem $$ \frac{1}{m} \sum{i=1}^{m} \alpha_{i}\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{k}\right), \sum{j=1}^{m} \phi\left(\mathbf{x}{j}\right)\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{j}\right), \phi\left(\mathbf{x}{i}\right)\right\rangle\right\rangle=\lambda \sum{i=1}^{m} \alpha_{i}\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{k}\right), \phi\left(\mathbf{x}{i}\right)\right\rangle,
$$
for all $k=1, \ldots m$. Defining a $m \times m$ matrix $K$ by $K_{i j}:=\left\langle\phi\left(\mathbf{x}{i}\right), \phi\left(\mathbf{x}{j}\right)\right\rangle$, this reads
$$
K^{2} \alpha=m \lambda K \alpha,
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Adding input variable information into Kernel PCA

In order to get interpretability we add supplementary information into KPCA representation. We have developed a procedure to project any given input variable onto the subspace spanned by the eigenvectors (9).

We can consider that our observations are realizations of the random vector $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. Then to represent the prominence of the input variable $X_{k}$ in the $\mathrm{KPCA}$. We take a set of points of the form $\mathbf{y}=\mathbf{a}+s \mathbf{e}{k} \in \mathbb{R}^{n}$ where $\mathbf{e}{k}=(0, \ldots, 1, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}, s \in \mathbb{R}$, where $k$-th component is equal 1 and otherwise are 0 . Then, we can compute the projections of the image of these points $\phi(\mathbf{y})$ onto the subspace spanned by the eigenvectors (9).

Taking into account equation (11) the induced curve in the eigenspace expressed in matrix form is given by the row vector:
$$
\sigma(s){1 \times r}=\left(\mathbf{Z}{s}^{\top}-\frac{1}{m} 1_{m}^{\top} K\right)\left(\mathbf{I}{m}-\frac{1}{m} 1{m} \mathbf{1}{m f}^{\top}\right) \tilde{\mathbf{V}}{r}
$$
where $\mathbf{Z}{\mathrm{s}}$ is of the form (10). In addition we can represent directions of maximum variation of $\sigma(\mathrm{s})$ associated with the variable $X{k}$ by projecting the tangent vector at $s=0$. In matrix form, we have
$$
\left.\frac{d \sigma}{d s}\right|{s=0}=\left.\frac{d \mathbf{Z}{s}^{\top}}{d s}\right|{s=0}\left(\mathbf{I}{m}-\frac{1}{m} \mathbf{1}{m} \mathbf{1}{m}^{\top}\right) \tilde{\mathbf{V}}
$$
with
$$
\left.\frac{d \mathbf{Z}{s}^{\top}}{d s}\right|{s=0}=\left(\left.\frac{d \mathbf{Z}{s}^{1}}{d s}\right|{s=0} \ldots,\left.\frac{d \mathbf{Z}{s}^{m}}{d s}\right|{s=0}\right)^{\top}
$$ and, with
$$
\begin{aligned}
\left.\frac{d \mathbf{Z}{s}^{t}}{d s}\right|{s=0} &=\left.\frac{d K\left(\mathbf{y}{,} \mathbf{x}{i}\right)}{d s}\right|{s=0} \ &=\left.\left(\sum{t=1}^{m} \frac{\partial K\left(\mathbf{y}, \mathbf{x}{i}\right)}{\partial y{t}} \frac{d y_{t}}{d s}\right)\right|{s=0} \ &=\left.\sum{t=1}^{m} \frac{\partial K\left(\mathbf{y}, \mathbf{x}{i}\right)}{\partial y{t}}\right|{\mathbf{y}=\mathbf{a}} \delta{t}^{k}=\left.\frac{\partial K\left(\mathbf{y}{,} \mathbf{x}{i}\right)}{\partial y_{k}}\right|_{\mathbf{y}=\mathbf{a}}
\end{aligned}
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT3888

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Kernel PCA methodology

KPCA 是经典 PCA 的非线性等价物,它使用受统计学习理论启发的方法。我们简要描述了 Scholkopf 等人的 KPCA 方法。(1998 年)。
给定一组观察结果 $\mathbf{x} i \in \mathbb{R}^{n}, i=1, \ldots, m$. 让我们考虑一个点积空间 $F$ 通过映射与输入空间相关 $\phi: \mathbb{R}^{n} \rightarrow F$ 这可能是非线性的。特征空间 $F$ 可以有一个任意大的,并且可能是无限的维度。此后,大写字符 用于元素 $F$, 而小写字符表示元素 $\mathbb{R}^{n}$. 我们假设我们正在处理中心数据 $\sum i=1^{m} \phi(\mathbf{x} i)=0$. 在 $F$ 协方差矩阵 采用以下形式
$$
\mathrm{C}=\frac{1}{m} \sum j=1^{m} \phi(\mathbf{x} j) \phi(\mathbf{x} j)^{\top} .
$$
我们必须找到特征值 $\lambda \geq 0$ 和非零特征向量 $V \in F \backslash 0$ 令人满意的
$$
\mathbf{C V}=\lambda \mathrm{V} \text {. }
$$ 我们可以考虑方程组
$$
\langle\phi(\mathbf{x} k), \mathbf{C V}\rangle=\lambda\langle\phi(\mathbf{x} k), \mathbf{V}\rangle,
$$
对所有人 $k=1, \ldots, m$, 其次存在系数 $\alpha_{i}, i=1, \ldots, m$ 这样
$$
\mathbf{V}=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \phi(\mathbf{x} i)
$$
结合 (1) 和 (2) 我们得到特征值问题的对偶表示
$$
\frac{1}{m} \sum i=1^{m} \alpha_{i}\left\langle\phi(\mathbf{x} k), \sum j=1^{m} \phi(\mathbf{x} j)\langle\phi(\mathbf{x} j), \phi(\mathbf{x} i)\rangle\right\rangle=\lambda \sum i=1^{m} \alpha_{i}\langle\phi(\mathbf{x} k), \phi(\mathbf{x} i)\rangle
$$
对所有人 $k=1, \ldots m$. 定义一个 $m \times m$ 矩阵 $K$ 经过 $K_{i j}:=\langle\phi(\mathbf{x} i), \phi(\mathbf{x} j)\rangle$, 这读
$$
K^{2} \alpha=m \lambda K \alpha,
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Adding input variable information into Kernel PCA

为了获得可解释性,我们将补充信息添加到 KPCA 表示中。我们开发了一个程序,可以将任何给定的输入变量 投影到由特征向量 (9) 跨越的子空间上。
我们可以认为我们的观察是随机向量的实现 $X=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. 然后来表示输入变量的显着性 $X_{k}$ 在里面 $\mathrm{KPCA}$. 我们取一组点的形式 $\mathbf{y}=\mathbf{a}+s \mathbf{e} k \in \mathbb{R}^{n}$ 在哪里 $\mathrm{e} k=(0, \ldots, 1, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^{n}, s \in \mathbb{R}$ ,在哪里 $k$ -th 分量等于 1,否则为 0 。然后,我们可以计算这些点的图像的投影 $\phi(\mathbf{y})$ 到由特征向量 (9) 跨越的子空间。
考虑到方程 (11),以矩阵形式表示的特征空间中的诱导曲线由行向量给出:
$$
\sigma(s) 1 \times r=\left(\mathbf{Z} s^{\top}-\frac{1}{m} 1_{m}^{\top} K\right)\left(\mathbf{I} m-\frac{1}{m} 1 m \mathbf{1} m f^{\top}\right) \tilde{\mathbf{V}} r
$$
在哪里 $\mathrm{Z} \mathrm{s}$ 是 (10) 的形式。此外,我们可以表示最大变化的方向 $\sigma(\mathrm{s})$ 与变量相关联 $X k$ 通过将切向量投影在 $s=0$. 在矩阵形式中,我们有
$$
\frac{d \sigma}{d s}\left|s=0=\frac{d \mathbf{Z} s^{\top}}{d s}\right| s=0\left(\mathbf{I} m-\frac{1}{m} \mathbf{1} m \mathbf{1} m^{\top}\right) \tilde{\mathbf{V}}
$$

$$
\frac{d \mathbf{Z} s^{\top}}{d s} \mid s=0=\left(\frac{d \mathbf{Z} s^{1}}{d s}\left|s=0 \ldots, \frac{d \mathbf{Z} s^{m}}{d s}\right| s=0\right)^{\top}
$$

$$
\frac{d \mathbf{Z} s^{t}}{d s}\left|s=0=\frac{d K(\mathbf{y}, \mathbf{x} i)}{d s}\right| s=0 \quad=\left(\sum t=1^{m} \frac{\partial K(\mathbf{y}, \mathbf{x} i)}{\partial y t} \frac{d y_{t}}{d s}\right) \mid s=0=\sum t=1^{m} \partial K
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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  • Statistical Inference 统计推断
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  • Advanced Probability Theory 高等概率论
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  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Examples of Mixed Data Modeling

The problem of modeling mixed data is quite representative of many data sets that one often encounters in practical applications. To further motivate the importance of modeling mixed data, we give below a few real-world problems that arise in image processing and computer vision. Most of these problems will be revisited later in this book, and more detailed and principled solutions will be given.
Face Clustering under Varying Illumination
The first example arises in the context of image-based face clustering. Given a collection of unlabeled images $\left{I_{j}\right}_{j=1}^{N}$ of several different faces taken under varying illumination, we would like to cluster the images corresponding to the face of the same person. For a Lambertian object, ${ }^{10}$ it has been shown that the set of all images taken under all lighting conditions forms a cone in the image space, which can be well approximated by a low-dimensional subspace called the “illumination subspace” (Belhumeur and Kriegman 1998; Basri and Jacobs 2003).” For example, if $I_{j}$ is the $j$ th image of a face and $d$ is the dimension of the illumination subspace associated with that face, then there exists a mean face $\mu$ and $d$ eigenfaces $\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{d}$ such that $I{j} \approx \boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u}{1} y{1 j}+\boldsymbol{u}{2} y{2 j}+\cdots+\boldsymbol{u}{d j} y{d j}$. Now, since the images of different faces will live in different “illumination subspaces,” we can cluster the collection of images by estimating a basis for each one of those subspaces. As we will see later, this is a special case of the subspace clustering problem addressed in Part II of this book. In the example shown in Figure 1.3, we use a subset of the Yale Face Database B consisting of $n=64 \times 3$ frontal views of three faces (subjects 5,8 and 10 ) under 64 varying lighting conditions. For computational efficiency, we first down-sample each image to a size of $30 \times 40$ pixels. We then project the data onto their first three principal components using PCA, as shown in Figure $1.3$ (a). $.^{12}$ By modeling the projected data with a mixture model of linear subspaces in $\mathbb{R}^{3}$, we obtain three affine subspaces of dimension 2, 1, and 1, respectively. Despite the series of down-sampling and projection, the subspaces lead to a perfect clustering of the face images, as shown in Figure 1.3(b).

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Mathematical Representations of Mixture Models

The examples presented in the previous subsection argue forcefully for the development of modeling and estimation techniques for mixture models. Obviously, whether the model associated with a given data set is mixed depends on the class of primitive models considered. In this book, the primitives are normally chosen to be simple classes of geometric models or probabilistic distributions.

For instance, one may choose the primitive models to be linear subspaces. Then one can use an arrangement of linear subspaces $\left{S_{i}^{}_{i=1}^{n}} \subset \mathbb{R}^{D}\right.$,
$$
Z \doteq S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n},
$$
also called a piecewise linear model, to approximate many nonlinear manifolds or piecewise smooth topological spaces. This is the standard model considered in geometric approaches to generalized principal component analysis (GPCA), which will be studied in Part II of this book.

The statistical counterpart to the geometric model in (1.7) is to assume instead that the sample points are drawn independently from a mixture of (near singular) Gaussian distributions $\left{p_{\theta_{i}}(\boldsymbol{x}){i=1}^{n}\right.$, where $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{D}$ but each distribution has mass concentrated near a subspace. The overall probability density function can be expressed as a sum: $$ q{\theta}(x) \doteq \pi_{1} p_{\theta_{1}}(x)+\pi_{2} p_{\theta_{2}}(x)+\cdots+\pi_{n} p_{\theta_{n}}(x),
$$
where $\theta=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}, \pi_{1}, \ldots, \pi_{n}\right)$ are the model parameters and $\pi_{i}>0$ are mixing weights with $\pi_{1}+\pi_{2}+\cdots+\pi_{n}=1$. This is the typical model studied in mixtures of probabilistic principal component analysis (PPCA) (Tipping and Bishop $1999 \mathrm{a}$ ), where each component distribution $p_{\theta_{i}}(\boldsymbol{x})$ is a nearly degenerate Gaussian distribution. A classical way of estimating such a mixture model is the expectation maximization (EM) algorithm, where the membership of each sample is represented as a hidden random variable. Appendix B reviews the general EM method, and Chapter 6 shows how to apply it to the case of multiple subspaces.

In the special case that there is only one subspace or one component distribution (i.e., $n=1$ ), the model reduces to the classical (probabilistic) PCA, and we will see that the geometric and statistical formulations are equivalent in the sense that they both give very much the same solution (see Chapter 2). However, in the case of incomplete or corrupted data, or in the general case of a mixture of multiple components, the two formulations can be very different, and their optimal solutions need to be found by very different techniques. In this book, we will study and clarify the similarities and differences between these geometric models and statistical models in Chapters 5 and $6 .

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ICE 2022

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Examples of Mixed Data Modeling

混合数据建模问题非常具有代表性,在实际应用中经常遇到的许多数据集。为了进一步激发混合数据建模的重要 性,我们在下面给出了图像处理和计算机视觉中出现的一些实际问题。本书稍后将重新讨论这些问题中的大部 分,并给出更详细和更有原则的解决方案。
变化光照下的人脸聚类 拍摄的几张不同面孔中,我们希望将与同一个人的面孔相对应的图像聚类。对于朗伯物体, ${ }^{10}$ 已经表明,在所有 照明条件下拍摄的所有图像的集合在图像空间中形成一个圆雉体,可以很好地近似于称为“照明子空间”的低维子 空间 (Belhumeur 和 Kriegman 1998;Basri 和Jacobs 2003 )。”例如,如果 $I_{j}$ 是个 $j$ 一张脸的图像和 $d$ 是与该 人脸相关的照明子空间的维度,则存在平均人脸 $\mu$ 和 $d$ 特征脸 $\boldsymbol{u} 1, \boldsymbol{u} 2, \ldots, \boldsymbol{u} d$ 这样
$I j \approx \boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{u} 1 y 1 j+\boldsymbol{u} 2 y 2 j+\cdots+\boldsymbol{u} d j y d j$. 现在,由于不同面孔的图像将存在于不同的“照明子空间”中, 我们可以通过估计每个子空间的基础来对图像集合进行聚类。正如我们稍后将看到的,这是本书第二部分中讨论 的子空间聚类问题的一个特例。在图 $1.3$ 所示的示例中,我们使用了耶鲁人脸数据库 $B$ 的子集,包括 $n=64 \times 3$ 在 64 种不同的照明条件下,三张脸(对象 5,8 和 10) 的正面视图。为了计算效率,我们首先将每 个图像下采样到 $30 \times 40$ 像素。然后我们使用 PCA 将数据投影到它们的前三个主成分上,如图 $1.3$ (一个)。 12 通过使用线性子空间的混合模型对投影数据进行建模 $\mathbb{R}^{3}$ ,我们分别获得了三个维数为 2、1 和 1 的仿射子空间。 尽管进行了一系列的下采样和投影,子空间仍然可以完美地聚类人脸图像,如图 1.3(b) 所示。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Mathematical Representations of Mixture Models

上一小节中的例子有力地证明了混合模型的建模和估计技术的发展。显然,与给定数据集相关的模型是否混合取 决于所考虑的原始模型的类别。在本书中,基元通常被选择为简单的几何模型类或概率分布。
例如,可以选择原始模型作为线性子空间。然后可以使用线性子空间的排列
$$
Z \doteq S_{1} \cup S_{2} \cup \cdots \cup S_{n},
$$
也称为分段线性模型,用于逼近许多非线性流形或分段平滑拓扑空间。这是广义主成分分析 (GPCA) 几何方法 中考虑的标准模型,本书的第二部分将对此进行研究。 ${\mathrm{i}=1} \wedge{\mathrm{n}} \backslash \mathrm{又}$ 。, where $\backslash$ boldsymbol ${\mathrm{x}} \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${\mathrm{R}} \wedge{\mathrm{D}}$
buteachdistributionhasmassconcentratednearasubspace. Theoverallprobabilitydensity function $q \theta(x) \doteq \pi_{1} p_{\theta_{1}}(x)+\pi_{2} p_{\theta_{2}}(x)+\cdots+\pi_{n} p_{\theta_{n}}(x)$, where Itheta=《left(Itheta_{1}, Vldots, Itheta_{n},
\pi_{1}, Vdots, \pi_{n}\right)arethemodelparametersand $\backslash$ pi_{i} $>0$ aremixingweightswith
. Thisisthetypicalmodelstudiedinmixturesofprobabilisticprincipalcomponentanalysis $(P P C A)$ 1999 Imathrm{a}), whereeachcomponentdistribution $\mathrm{p}{-}{$(theta{i}}((1boldsymbol{x})\$ 是一个几乎退化
的高斯分布。估计这种混合模型的经典方法是期望最大化 (EM) 算法,其中每个样本的成员资格表示为隐藏的随 机变量。附录 $\mathrm{B}$ 回顾了一般的 EM 方法,第 6 章展示了如何将其应用于多个子空间的情况。
在只有一个子空间或一个分量分布的特殊情况下 (即, $n=1$ ),模型简化为经典(概率) PCA,我们将看到几何 和统计公式在某种意义上是等价的,因为它们都给出了非常相同的解 (见第 2 章) 。然而,在数据不完整或损坏 的情况下,或者在混合多个成分的一般情况下,两种公式可能非常不同,需要通过非常不同的技术来找到它们的 最佳解决方案。在本书中,我们将在第 5 章和第 6 章中研究和阐明这些几何模型和统计模型之间的异同。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

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主成分分析(PCA)是计算主成分并使用它们对数据进行基础改变的过程,有时只使用前几个主成分,而忽略其余部分。

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Statistical Models versus Geometric Models

There are essentially two main categories of models and approaches for modeling a data set. Methods of the first category model the data as random samples from a probability distribution and try to learn this distribution from the data. We call such models statistical models. Models of the second category model the overall geometric shape of the data set with deterministic models such as subspaces, smooth manifolds, or topological spaces. ${ }^{6}$ We call such models geometric models.
Statistical Learning
In the statistical paradigm, one typically assumes that each data point $\boldsymbol{x}_{j}$ in the data set $\mathcal{X}$ is drawn independently from a common probability distribution $p(\boldsymbol{x})$. Such a probability distribution gives a generative description of the samples and can be used to generate new samples or predict the outcome of new observations. Within this context, the task of learning a model from the data becomes one of inferring the most likely probability distribution within a family of distributions of interest (for example, the Gaussian distributions). Normally, the family of distributions is parameterized and denoted by $\mathcal{M} \doteq{p(x \mid \theta): \theta \in \Theta}$, where $p(x \mid \theta)$ is a probability density function parameterized by $\theta \in \Theta$, and $\Theta$ is the space of parameters. Consequently, one popular criterion for choosing a statistical model $p\left(x \mid \theta^{*}\right)$ is the maximum likelihood (ML) estimate given by ${ }^{7}$ $$
\theta_{M L}^{} \doteq \underset{\theta \in \Theta}{\arg \max } \prod_{j=1}^{N} p\left(x_{j} \mid \theta\right) $$ If a prior distribution (density) $p(\theta)$ of the parameter $\theta$ is also given, then, following the Bayesian rule, the maximum a posteriori (MAP) estimate is given by $$ \theta_{M A P}^{} \doteq \underset{\theta \in \Theta}{\arg \max } \prod_{j=1}^{N} p\left(\boldsymbol{x}_{j} \mid \theta\right) p(\theta)
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Modeling Mixed Data with a Mixture Model

As we alluded to earlier, many data sets $\mathcal{X}$ cannot be modeled well by a single primitive model $M$ in a pre-chosen or preferred model class $\mathcal{M}$. Nevertheless, it is often the case that if we group such a data set $\mathcal{X}$ into multiple disjoint subsets,
$$
\mathcal{X}=\mathcal{X}{1} \cup \mathcal{X}{2} \cup \cdots \cup \mathcal{X}{n}, \quad \text { with } \mathcal{X}{l} \cap \mathcal{X}{m}=\emptyset, \text { for } l \neq m $$ then each subset $\mathcal{X}{i}$ can be modeled sufficiently well by a model in the chosen model class:
$$
M_{i}^{}=\underset{M \in \mathcal{M}}{\arg \min } \operatorname{Error}\left(\mathcal{X}{i}, M\right), \quad i=1,2, \ldots, n, $$ where $\operatorname{Error}\left(\mathcal{X}{i}, M\right)$ represents some measure of the error incurred by using the model $M$ to fit the data set $\mathcal{X}{i}$. Each model $M{i}^{}$ is called a primitive or a component model. Precisely in this sense, we call the data set $\mathcal{X}$ mixed (with respect to the chosen model class $\mathcal{M}$ ) and call the collection of primitive models $\left{M_{i}^{*}\right}_{i=1}^{n}$ a mixture model for $\mathcal{X}$. For instance, suppose we are given a set of sample points as shown in Figure 1.2. These points obviously cannot be fit well by any single line, plane, or smooth surface in $\mathbb{R}^{3}$; however, once they are grouped into three subsets, each subset can be fit well by a line or a plane. Note that in this example, the topology of the data is “hybrid”: two of the subspaces are of dimension one, and the other is of dimension two.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|ENVX2001

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Statistical Models versus Geometric Models

对数据集进行建模的模型和方法基本上有两大类。第一类方法将数据建模为来自概率分布的随机样本,并尝试从 数据中学习此分布。我们称这样的模型为统计模型。第二类模型使用确定性模型(例如子空间、平滑流形或拓扑 空间) 对数据集的整体几何形状进行建模。 ${ }^{6}$ 我们称这种模型为几何模型。
统计学习
在统计范式中,通常假设每个数据点 $\boldsymbol{x}{j}$ 在数据集中 $\mathcal{X}$ 独立于一个共同的概率分布 $p(\boldsymbol{x})$. 这种概率分布给出了样本 的生成描述,可用于生成新样本或预测新观察的结果。在这种情况下,从数据中学习模型的任务变成了在感兴趣 的分布族 (例如,高斯分布) 中推断最可能的概率分布之一。通常,分布族被参数化并表示为 $\mathcal{M} \doteq p(x \mid \theta): \theta \in \Theta$ ,在哪里 $p(x \mid \theta)$ 是由以下参数化的概率密度函数 $\theta \in \Theta$ ,和 $\Theta$ 是参数空间。因此, 选择统计模型的一个流行标准 $p\left(x \mid \theta^{*}\right)$ 是由下式给出的最大似然 $(\mathrm{ML})$ 估计 ${ }^{7}$ $$ \theta{M L} \doteq \underset{\theta \in \Theta}{\arg \max } \prod_{j=1}^{N} p\left(x_{j} \mid \theta\right)
$$
如果先验分布 (密度) $p(\theta)$ 参数的 $\theta$ 也给出,然后,根据贝叶斯规则,最大后验 (MAP) 估计由下式给出
$$
\theta_{M A P} \doteq \underset{\theta \in \Theta}{\arg \max } \prod_{j=1}^{N} p\left(\boldsymbol{x}_{j} \mid \theta\right) p(\theta)
$$

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Modeling Mixed Data with a Mixture Model

正如我们之前提到的,许多数据集 $\mathcal{X}$ 不能用单一的原始模型很好地建模 $M$ 在预先选择或首选的模型类中 $\mathcal{M}$. 然 而,如果我们对这样的数据集进行分组,通常情况下 $\mathcal{X}$ 成多个不相交的子集,
$$
\mathcal{X}=\mathcal{X} 1 \cup \mathcal{X} 2 \cup \cdots \cup \mathcal{X} n, \quad \text { with } \mathcal{X} l \cap \mathcal{X} m=\emptyset, \text { for } l \neq m
$$
然后每个子集 $\mathcal{X} i$ 可以通过所选模型类中的模型充分建模:
$$
M_{i}=\underset{M \in \mathcal{M}}{\arg \min } \operatorname{Error}\left(\mathcal{X}_{i}, M\right), \quad i=1,2, \ldots, n,
$$
在哪里Error $(\mathcal{X} i, M)$ 表示使用模型引起的误差的某种度量 $M$ 拟合数据集 $\mathcal{X} i$. 每个型号 $M i$ 称为原始模型或组件 模型。正是在这个意义上,我们称数据集为 $\mathcal{X}$ 混合 (关于所选模型类 $\mathcal{M}$ ) 并调用原始模型的集合

Uleft{M_{i}^{*}}right}_{i=1}^{n}}混合模型 $\mathcal{X}$. 例如,假设给定一组样本点,如图 $1.2$ 所示。这些点显然不能被任何单 一的线、平面或光滑表面很好地拟合 $\mathbb{R}^{3}$; 但是,一旦将它们分成三个子集,每个子集就可以很好地被一条线或一 个平面拟合。注意,在这个例子中,数据的拓扑是“混合的”:两个子空间是一维的,另一个是二维的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构,多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务,包括但不限于Essay代写,Assignment代写,Dissertation代写,Report代写,小组作业代写,Proposal代写,Paper代写,Presentation代写,计算机作业代写,论文修改和润色,网课代做,exam代考等等。写作范围涵盖高中,本科,研究生等海外留学全阶段,辐射金融,经济学,会计学,审计学,管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者,也有海外名校硕博留学生,每位写作老师都拥有过硬的语言能力,专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创,100%专业,100%准时,100%满意。

随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT3888

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统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT3888

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Modeling Data with a Parametric Model

The primary goal of this book is to study theory and methods for modeling highdimensional data with one or more low-dimensional subspaces or manifolds. To a large extent, the methods presented in this book aim to generalize the classical principal component analysis (PCA) method (Jolliffe 1986, 2002) to address two major challenges presented by current applications.

One challenge is to generalize the classical PCA method to data with significant amounts of missing entries, errors, outliers, or even a certain level of nonlinearity. Since the very beginning of PCA nearly a century ago (Pearson 1901; Hotelling 1933), researchers have been aware of PCA’s vulnerability to missing data and corruption. Strictly speaking, estimating a subspace from incomplete or corrupted data is an inherently difficult problem, which is generally NP-hard. Nevertheless, due to the practical importance of this problem, many extensions to PCA have been proposed throughout the years in different practical domains to handle imperfect data, even though many of these methods have been largely heuristic, greedy, or even ad hoc. Recent advances in high-dimensional statistics and convex optimization have begun to provide provably correct ${ }^{1}$ and efficient methods for finding the optimal subspace from highly incomplete or corrupted data.

In science and engineering, one is frequently called upon to infer (or learn) a quantitative model $M$ for a given set of sample points $\mathcal{X}=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right} \subset \mathbb{R}^{D}$. For instance, Figure $1.1$ shows a simple example in which one is given a set of four sample points in a two-dimensional plane. Obviously, these points can be fit perfectly by a (one-dimensional) straight line $L$. The line can then be called a “model” for the given points. The reason for inferring such a model is that it serves many useful purposes. On the one hand, the model can reveal information encoded in the data or underlying mechanisms from which the data were generated. In addition, it can simplify the representation of the given data set and help predict future samples. In the case of the four points shown in Figure $1.1$, the line model gives a more compact one-dimensional representation than the original twodimensional plane $P$. It also suggests that any new point (if generated with a similar mechanism as the existing points) will likely fall on the same line.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|The Choice of a Model Class

A first important consideration to keep in mind is that inferring the “correct” model for a given data set is an elusive, if not impossible, task. The fundamental difficulty is that if we are not specific about what we mean by a “correct” model, there could easily be many different models that fit the given data set “equally well.” For instance, in the example shown in Figure 1.1, any smooth curve that passes through the sample points would seem to be as valid a model as the straight line. Furthermore, if there were noise in the given sample points, then any curve, including the line, passing through the points exactly would unlikely be the “true model.”

The question now is this: in what sense can we say that a model is correct or optimal for a given data set? To make the model inference problem well posed, i.e., to guarantee that there is a unique optimal model for the given data, we need to impose additional assumptions or restrictions on the class of models considered. To this end, we should not be looking for just any model that can describe the data. Instead, we should look for a model $M^{*}$ that is the best among a restricted class of models $\mathcal{M} .^{4}$ In addition, to make the model inference problem computationally tractable, we need to specify how restricted the class of models needs to be. A common strategy, known as the principle of Occam’s razor, ${ }^{5}$ is to try to get away with the simplest possible class of models that is just necessary to describe the data or solve the problem at hand. More precisely, the model class should be rich enough to contain at least one model that can fit the data to a desired accuracy and yet be restricted enough that it is relatively simple to find the best model for the given data.
Thus, in engineering practice, the most popular strategy is to start from the simplest class of models and increase the complexity of the models only when the simpler models become inadequate. For instance, to fit a set of sample points, one may first try the simplest class of models, namely linear models, followed by the class of hybrid (piecewise) linear models (subspaces), and then followed by the class of (piecewise) nonlinear models (submanifolds). One of the goals of this book is to demonstrate that among them, piecewise linear models can already achieve an excellent balance between expressiveness and simplicity for many important practical data sets and problems.

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|STAT3888

主成分分析代考

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|Modeling Data with a Parametric Model

本书的主要目标是研究用一个或多个低维子空间或流形对高维数据建模的理论和方法。在很大程度上,本书中介绍的方法旨在推广经典的主成分分析 (PCA) 方法 (Jolliffe 1986, 2002),以解决当前应用程序提出的两个主要挑战。

一个挑战是将经典的 PCA 方法推广到具有大量缺失条目、错误、异常值甚至某种程度的非线性的数据。自从近一个世纪前 PCA 诞生以来(Pearson 1901;Hotelling 1933),研究人员就已经意识到 PCA 对丢失数据和损坏的脆弱性。严格来说,从不完整或损坏的数据中估计子空间是一个固有的难题,通常是 NP-hard。然而,由于这个问题的实际重要性,多年来在不同的实际领域中提出了许多 PCA 扩展来处理不完美的数据,尽管其中许多方法在很大程度上是启发式的、贪婪的,甚至是临时的。高维统计和凸优化的最新进展已经开始提供可证明的正确性1从高度不完整或损坏的数据中找到最佳子空间的有效方法。

在科学和工程领域,人们经常被要求推断(或学习)一个定量模型米对于给定的一组样本点\mathcal{X}=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right} \subset \mathbb{R}^{D}\mathcal{X}=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right} \subset \mathbb{R}^{D}. 例如,图1.1显示了一个简单的示例,其中给定一个二维平面中的一组四个样本点。显然,这些点可以通过(一维)直线完美拟合大号. 然后可以将这条线称为给定点的“模型”。推断出这样一个模型的原因是它有许多有用的用途。一方面,该模型可以揭示编码在数据中的信息或生成数据的基础机制。此外,它可以简化给定数据集的表示,并有助于预测未来的样本。在如图所示的四个点的情况下1.1,线模型给出了比原始二维平面更紧凑的一维表示磷. 它还表明任何新点(如果使用与现有点类似的机制生成)都可能落在同一条线上。

统计代写|主成分分析代写Principal Component Analysis代考|The Choice of a Model Class

要记住的第一个重要考虑因素是,为给定数据集推断“正确”模型是一项难以捉摸的任务,如果不是不可能的话。根本的困难在于,如果我们不具体说明“正确”模型的含义,那么很容易有许多不同的模型“同样好”地拟合给定的数据集。例如,在图 1.1 所示的示例中,任何通过样本点的平滑曲线似乎都与直线一样有效。此外,如果给定的样本点中有噪声,那么任何通过这些点的曲线(包括直线)都不太可能是“真实模型”。

现在的问题是:在什么意义上我们可以说模型对于给定的数据集是正确的或最优的?为了使模型推理问题很好地提出,即保证给定数据存在唯一的最优模型,我们需要对所考虑的模型类别施加额外的假设或限制。为此,我们不应该只寻找可以描述数据的任何模型。相反,我们应该寻找一个模型米∗这是受限模型中最好的米.4此外,为了使模型推理问题在计算上易于处理,我们需要指定模型类需要的限制程度。一种常见的策略,称为奥卡姆剃刀原理,5是试图摆脱对描述数据或解决手头问题所必需的最简单的模型类别。更准确地说,模型类应该足够丰富以包含至少一个模型,该模型可以将数据拟合到所需的精度,但又应受到足够的限制,以便相对简单地为给定数据找到最佳模型。
因此,在工程实践中,最流行的策略是从最简单的模型类开始,只有在更简单的模型变得不合适时才增加模型的复杂性。例如,为了拟合一组样本点,可以先尝试最简单的一类模型,即线性模型,然后是混合(分段)线性模型(子空间)类,然后是(分段)类非线性模型(子流形)。本书的目标之一是证明其中的分段线性模型对于许多重要的实际数据集和问题已经可以在表达性和简单性之间实现出色的平衡。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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Automatic Differentiation with torch.autograd — PyTorch Tutorials  1.11.0+cu102 documentation
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Matrix Analysis

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient of Real Function with Respect to Real Vector

Define gradient operator $\nabla_{x}$ of an $n \times 1$ vector $x$ as
$$
\nabla_{x}=\left[\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \quad \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \quad \cdots, \quad \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right]^{\mathrm{T}}=\frac{\partial}{\partial x},
$$
Then the gradient of a real scalar quantity function $f(\boldsymbol{x})$ with respect to $\boldsymbol{x}$ is a $n \times 1$ column vector, which is defined as
$$
\nabla_{x} f(\boldsymbol{x})=\left[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}}, \quad \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{2}}, \quad \cdots, \quad \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}}\right]^{\mathrm{T}}=\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}
$$
The negative direction of the gradient direction is called as the gradient flow of variable $\boldsymbol{x}$, written as
$$
\dot{x}=-\nabla_{x} f(x)
$$
The gradient of $m$-dimensional row vector function $f(\boldsymbol{x})=$ $\left[f_{1}(\boldsymbol{x}), f_{2}(\boldsymbol{x}), \ldots, f_{m}(\boldsymbol{x})\right]$ with respect to the $n \times 1$ real vector $x$ is an $n \times m$ matrix, defined as
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{lll}
\frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{w}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{1}} \
\frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{w}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{2}} \
\frac{\partial f_{1}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}} & \frac{\partial f_{2}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}} & \frac{\partial f_{w}(\boldsymbol{x})}{\partial x_{n}}
\end{array}\right]=\nabla_{x} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) .
$$
Some properties of gradient operations can be summarized as follows:
(1) If $f(\boldsymbol{x})=c$ is a constant, then gradient $\frac{\partial c}{\partial \boldsymbol{x}}=\boldsymbol{O}$.
(2) Linear principle: If $f(\boldsymbol{x})$ and $g(\boldsymbol{x})$ are real functions of vector $\boldsymbol{x}$, and $c_{1}$ and $c_{2}$ are real constants, then
$$
\frac{\partial\left[c_{1} f(\boldsymbol{x})+c_{2} g(\boldsymbol{x})\right]}{\partial \boldsymbol{x}}=c_{1} \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}+c_{2} \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}
$$
(3) Product principle: If $f(\boldsymbol{x})$ and $g(\boldsymbol{x})$ are real functions of vector $\boldsymbol{x}$, then
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{x}) g(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}=g(\boldsymbol{x}) \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}+f(\boldsymbol{x}) \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}
$$
(4) Quotient principle: If $g(x) \neq 0$, then
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{x}) / g(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}=\frac{1}{g^{2}(\boldsymbol{x})}\left[g(\boldsymbol{x}) \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}-f(\boldsymbol{x}) \frac{\partial g(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}}\right] .
$$
(5) Chain principle: If $\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})$ is a vector-valued function of $\boldsymbol{x}$, then
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}))}{\partial \boldsymbol{x}}=\frac{\partial \boldsymbol{y}^{T}(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} \frac{\partial f(\boldsymbol{y})}{\partial \boldsymbol{y}}
$$
where $\frac{\partial y^{\mathrm{T}}(x)}{\partial x}$ is an $n \times n$ matrix.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient Matrix of Real Function

The gradient of a real function $f(\boldsymbol{A})$ with respect to an $m \times n$ real matrix $\boldsymbol{A}$ is an $m \times n$ matrix, called as gradient matrix, defined as
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{11}} & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{12}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{L E}} \
\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{21}} & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{22}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{2 c}} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{m 1}} & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{\mathrm{m} 2}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial A_{m n}}
\end{array}\right]=\nabla_{\boldsymbol{A}} f(\boldsymbol{A})
$$
where $A_{i j}$ is the element of matrix $A$ on its $i$ th row and $j$ th column.
Some properties of the gradient of a real function with respect to a matrix can be summarized as follows:
(1) If $f(\boldsymbol{A})=c$ is a constant, where $\boldsymbol{A}$ is an $m \times n$ matrix, then $\frac{\partial c}{\partial A}=\boldsymbol{O}{m \times n}$. (2) Linear principle: If $f(\boldsymbol{A})$ and $g(\boldsymbol{A})$ are real functions of matrix $\boldsymbol{A}$, and $c{1}$ and $c_{2}$ are real constants, then
$$
\frac{\partial\left[c_{1} f(\boldsymbol{A})+c_{2} g(\boldsymbol{A})\right]}{\partial \boldsymbol{A}}=c_{1} \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}+c_{2} \frac{\partial g(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}} .
$$
(3) Product principle: If $f(\boldsymbol{A})$ and $g(\boldsymbol{A})$ are real functions of matrix $\boldsymbol{A}$, then
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{A}) g(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}=g(\boldsymbol{A}) \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}+f(\boldsymbol{A}) \frac{\partial g(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}
$$
(4) Quotient principle: If $g(\boldsymbol{A}) \neq 0$, then
$$
\frac{\partial f(\boldsymbol{A}) / g(\boldsymbol{A})}{\partial(\boldsymbol{A})}=\frac{1}{g^{2}(\boldsymbol{A})}\left[g(\boldsymbol{A}) \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}-f(\boldsymbol{A}) \frac{\partial g(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}}\right]
$$
(5) Chain principle: Let $\boldsymbol{A}$ be an $m \times n$ matrix, and $y=f(\boldsymbol{A})$ and $g(y)$ are real functions of matrix $A$ and scalar $y$, respectively. Then
$$
\frac{\partial g(f(A))}{\partial A}=\frac{d g(y)}{d y} \frac{\partial f(A)}{\partial A}
$$
(6) If $\boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}, \boldsymbol{x} \in \Re^{m \times 1}, \boldsymbol{y} \in \Re^{n \times 1}$, then
$$
\frac{\partial x^{\mathrm{T}} A y}{\partial A}=A y^{\mathrm{T}}
$$
(7) If $A \in \Re^{n \times n}$ is nonsingular $\boldsymbol{x} \in \Re^{n \times 1}, \boldsymbol{y} \in \mathcal{K}^{n \times 1}$, then
$$
\frac{\partial \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{y}}{\partial \boldsymbol{A}}=-\boldsymbol{A}^{-\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-\mathrm{T}}
$$

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient Matrix of Trace Function

Here, we summarize some properties of gradient matrix of trace functions.
(1)-(3) are gradient matrices of the trace of a single matrix.
(1) If $W$ is an $m \times m$ matrix, then
$$
\frac{\partial \operatorname{tr}(\boldsymbol{W})}{\partial \boldsymbol{W}}=\boldsymbol{I}_{m}
$$
(2) If an $m \times m$ matrix $\boldsymbol{W}$ is invertible, then
$$
\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{W}^{-1}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=-\left(\boldsymbol{W}^{-2}\right)^{\mathrm{T}}
$$
(3) For the outer product of two vectors, it holds that
$$
\frac{\partial \operatorname{tr}\left(x y^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \boldsymbol{x}}=\frac{\partial t r\left(\boldsymbol{y} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \boldsymbol{x}}=\boldsymbol{y}
$$
(4)-(7) are gradient matrices of the trace of the product of two matrices.
(4) If $W \in \Re^{m \times n}, A \in \Re^{n \times m}$, then
$$
\frac{\partial \operatorname{tr}(\boldsymbol{W} \boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{W}}=\frac{\partial \mathrm{tr}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{W})}{\partial \boldsymbol{W}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} .
$$
(5) If $\boldsymbol{W} \in \Re^{m \times n}, \boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}$, then
$$
\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=\boldsymbol{A} .
$$
(6) If $W \in \Re^{m \times n}$, then
$$
\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{W} \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{W}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=2 \boldsymbol{W}
$$
(7) If $W \in \Re^{m \times n}$, then
$$
\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{W}^{2}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=\frac{\partial \mathrm{tr}(\boldsymbol{W} \boldsymbol{W})}{\partial \boldsymbol{W}}=2 \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} .
$$
(8) If $\boldsymbol{W}, \boldsymbol{A} \in \Re^{m \times m}$ and $\boldsymbol{W}$ is nonsingular, then
$$
\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{W}^{-1}\right)}{\partial \boldsymbol{W}}=-\left(\boldsymbol{W}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{W}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} .
$$

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Matrix Analysis

主成分分析代写

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient of Real Function with Respect to Real Vector

定义梯度算子∇X一个n×1向量X作为
∇X=[∂∂X1,∂∂X2,⋯,∂∂Xn]吨=∂∂X,
那么一个实标量函数的梯度F(X)关于X是一个n×1列向量,定义为
∇XF(X)=[∂F(X)∂X1,∂F(X)∂X2,⋯,∂F(X)∂Xn]吨=∂F(X)∂X
梯度方向的负方向称为变量的梯度流X,写为
X˙=−∇XF(X)
的梯度米维行向量函数F(X)= [F1(X),F2(X),…,F米(X)]相对于该n×1实向量X是一个n×米矩阵,定义为
∂F(X)∂X=[∂F1(X)∂X1∂是2(X)∂X1∂F在(X)∂X1 ∂F1(X)∂X2∂F2(X)∂X2∂F在(X)∂X2 ∂F1(X)∂Xn∂F2(X)∂Xn∂F在(X)∂Xn]=∇XF(X).
梯度运算的一些性质可以总结如下:
(1) 如果F(X)=C是一个常数,然后是梯度∂C∂X=这.
(2) 线性原理:如果F(X)和G(X)是向量的实函数X, 和C1和C2是实常数,那么
∂[C1F(X)+C2G(X)]∂X=C1∂F(X)∂X+C2∂G(X)∂X
(3)产品原理:如果F(X)和G(X)是向量的实函数X, 然后
∂F(X)G(X)∂X=G(X)∂F(X)∂X+F(X)∂G(X)∂X
(4) 商数原则:如果G(X)≠0, 然后
∂F(X)/G(X)∂X=1G2(X)[G(X)∂F(X)∂X−F(X)∂G(X)∂X].
(5)链式原理:如果是(X)是一个向量值函数X, 然后
∂F(是(X))∂X=∂是吨(X)∂X∂F(是)∂是
在哪里∂是吨(X)∂X是一个n×n矩阵。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient Matrix of Real Function

实函数的梯度F(一种)关于一个米×n实矩阵一种是一个米×n矩阵,称为梯度矩阵,定义为
∂F(一种)∂一种=[∂F(一种)∂一种11∂F(一种)∂一种12⋯∂F(一种)∂一种大号和 ∂F(一种)∂一种21∂F(一种)∂一种22⋯∂F(一种)∂一种2C ⋮⋮⋮ ∂F(一种)∂一种米1∂F(一种)∂一种米2⋯∂F(一种)∂一种米n]=∇一种F(一种)
在哪里一种一世j是矩阵的元素一种在它的一世第行和j第列。
实函数相对于矩阵的梯度的一些性质可以总结如下:
(1) 如果F(一种)=C是一个常数,其中一种是一个米×n矩阵,那么∂C∂一种=这米×n. (2) 线性原理:如果F(一种)和G(一种)是矩阵的实函数一种, 和C1和C2是实常数,那么
∂[C1F(一种)+C2G(一种)]∂一种=C1∂F(一种)∂一种+C2∂G(一种)∂一种.
(3)产品原理:如果F(一种)和G(一种)是矩阵的实函数一种, 然后
∂F(一种)G(一种)∂一种=G(一种)∂F(一种)∂一种+F(一种)∂G(一种)∂一种
(4) 商数原则:如果G(一种)≠0, 然后
∂F(一种)/G(一种)∂(一种)=1G2(一种)[G(一种)∂F(一种)∂一种−F(一种)∂G(一种)∂一种]
(5) 链式原理:让一种豆米×n矩阵,和是=F(一种)和G(是)是矩阵的实函数一种和标量是, 分别。然后
∂G(F(一种))∂一种=dG(是)d是∂F(一种)∂一种
(6) 如果一种∈ℜ米×n,X∈ℜ米×1,是∈ℜn×1, 然后
∂X吨一种是∂一种=一种是吨
(7) 如果一种∈ℜn×n是非奇异的X∈ℜn×1,是∈ķn×1, 然后
∂X吨一种−1是∂一种=−一种−吨一种是吨一种−吨

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient Matrix of Trace Function

在这里,我们总结了迹函数梯度矩阵的一些性质。
(1)-(3) 是单个矩阵的迹的梯度矩阵。
(1) 如果在是一个米×米矩阵,那么
∂tr⁡(在)∂在=一世米
(2) 如果一个米×米矩阵在是可逆的,那么
∂吨r(在−1)∂在=−(在−2)吨
(3) 对于两个向量的外积,有
∂tr⁡(X是吨)∂X=∂吨r(是X吨)∂X=是
(4)-(7) 是两个矩阵乘积的迹的梯度矩阵。
(4) 如果在∈ℜ米×n,一种∈ℜn×米, 然后
∂tr⁡(在一种)∂在=∂吨r(一种在)∂在=一种吨.
(5) 如果在∈ℜ米×n,一种∈ℜ米×n, 然后
∂吨r(在吨一种)∂在=∂吨r(一种在吨)∂在=一种.
(6) 如果在∈ℜ米×n, 然后
∂吨r(在在吨)∂在=∂吨r(在吨在)∂在=2在
(7) 如果在∈ℜ米×n, 然后
∂吨r(在2)∂在=∂吨r(在在)∂在=2在吨.
(8) 如果在,一种∈ℜ米×米和在是非奇异的,那么
∂吨r(一种在−1)∂在=−(在−1一种在−1)吨.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Rayleigh Quotient and Its Characteristics

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Rayleigh Quotient and Its Characteristics

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient and Conjugate Gradient Algorithm for RQ

If the negative direction of RQ gradient is regarded as the gradient flow of vector $\boldsymbol{x}$, e.g.’,
$$
\dot{\boldsymbol{x}}=-[\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{I}] \boldsymbol{x}
$$
then vector $x$ can be computed iteratively by the following gradient algorithm:
$$
\boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{x}(k)+\mu \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}(k)-\mu[\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{I}] \boldsymbol{x} .
$$
It is worth noting that the gradient algorithm of RQ has faster convergence speed than the iterative algorithm of standard RQ.

In the following, the conjugate gradient algorithm for RQ will be introduced, where $\boldsymbol{A}$ in the RQ is a real symmetric matrix.

Starting from some initial vector, the conjugate gradient algorithm uses the iterative equation, e.g.,
$$
\boldsymbol{x}{k+1}=\boldsymbol{x}{k}+\alpha_{k} \boldsymbol{P}{k} $$ to update and approach the eigenvector, associated with the minimal or maximal eigenvalue of a symmetric matrix. The real coefficient $\alpha{k}$ is
$$
\alpha_{k}=\pm \frac{1}{2 D}\left(-B+\sqrt{B^{2}-4 C D}\right),
$$
where ” $+$ ” is used in the updating of the eigenvector associated with the minimal eigenvalue, and “-” is used in the updating of the eigenvector associated with the maximal eigenvalue. The formulae for parameters D, B, C in the above equations are

$$
\left{\begin{array}{c}
D=P_{b}(k) P_{c}(k)-P_{a}(k) P_{d}(k) \
B=P_{b}(k)-\lambda_{k} P_{d}(k) \
C=P_{a}(k)-\lambda_{k} P_{c}(k) \
P_{a}(k)=\boldsymbol{P}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{b}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{c}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
P_{d}(k)=\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) \
\lambda_{k}=r\left(\boldsymbol{x}{k}\right)=\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k} /\left(\boldsymbol{x}{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k}\right) . \end{array}\right. $$ At the $k+1$ th iteration, the search direction can be selected as $$ \boldsymbol{p}{k+1}=\boldsymbol{r}{k+1}+b(k) \boldsymbol{p}{k}
$$
where $b(-1)=0$ and $\boldsymbol{r}{k+1}$ is the residual vector at the $k+1$ th iteration. $\boldsymbol{r}{k+1}$ and $b(k)$ can be computed, respectively, as
$$
\boldsymbol{r}{k+1}=-\frac{1}{2} \nabla{x} r\left(\boldsymbol{x}{k+1}\right)=\left(\lambda{k+1} \boldsymbol{x}{k+1}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k+1}\right) /\left(\boldsymbol{x}{k=1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}{k+1}\right)
$$
and
$$
b(k)=-\frac{\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}+\left(\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{r}{k+1}\right)\left(\boldsymbol{x}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p}{k}\right)}{\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}-\lambda_{k+1} \boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{p}{k}} $$ Equations (2.5)-(2.9) constitute the conjugate gradient algorithm for RQ, which was proposed in [11]. If the updated $x{k}$ is normalized to one and “t” (or “-“) is selected in Eq. (2.6), the above algorithm will obtain the minimal (or maximal) eigenvalue of matrix $A$ and its associated eigenvectors.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Rayleigh Quotient

Definition $2.3$ Assume that $A \in \mathbb{C}^{n \times n}, \mathbf{B} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ are both Hermitian matrices, and $\boldsymbol{B}$ is positive definite. The generalized RQ or generalized Rayleigh-Ritz of the matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is a scalar function, e.g.,
$$
r(\boldsymbol{x})=\frac{\boldsymbol{x}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{H} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}},
$$
where $x$ is a quantity to be selected, and the objective is to maximize or minimize the generalized RQ.

In order to solve for the generalized RQ, define a new vector $\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{B}^{1 / 2} \boldsymbol{x}$, where $\boldsymbol{B}^{1 / 2}$ is the square root of the positive definite $\boldsymbol{B}$. Replace $\boldsymbol{x}$ by $\boldsymbol{B}^{-1 / 2} \tilde{\boldsymbol{x}}$ in (2.43). Then it holds that
$$
r(\tilde{\boldsymbol{x}})=\frac{\tilde{\boldsymbol{x}}^{H}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}}{\tilde{\boldsymbol{x}}^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}},
$$
which shows that the generalized RQ of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is equivalent to the RQ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$. From the Rayleigh-Ritz theorem, it is clear that when vector $\tilde{x}$ is the eigenvector associated with the smallest eigenvalue $\lambda_{\min }$ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, the generalized RQ obtains $\lambda_{\min }$. And if vector $\tilde{\boldsymbol{x}}$ is the eigenvector associated with the largest eigenvalue $\lambda_{\max }$ of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, the generalized RQ obtains $\lambda_{\max }$.

In the following, we review the eigen decomposition of matrix product $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}$, e.g.,
$$
\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H} \tilde{\boldsymbol{x}}=i \tilde{\boldsymbol{x}} .
$$
If $\mathbf{B}=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} v_{i} v_{i}^{H}$ is an eigen decomposition of matrix $\boldsymbol{B}$, then
$$
\mathbf{B}^{1 / 2}=\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\beta_{i}} v_{i} v_{i}^{H}
$$
and $\boldsymbol{B}^{1 / 2} \boldsymbol{B}^{1 / 2}=\boldsymbol{B}$. Since matrix $\boldsymbol{B}^{1 / 2}$ and $\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$ have the same eigenvectors and their eigenvalues are reciprocals to each other, then it follows that
$$
\mathbf{B}^{-1 / 2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{\beta_{i}}} v_{i} v_{i}^{H},
$$
which shows that $\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$ is also an Hermitian matrix, e.g., $\left(\boldsymbol{B}^{-1 / 2}\right)^{H}=\boldsymbol{B}^{-1 / 2}$.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Differential and Integral of Matrix with Respect to Scalar

If $\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}$ is a real matrix function of scalar $t$, then its differential and integral are, respectively, defined as
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}(t) &=\left{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} a{i j}(t)\right}_{m \times n} \
\int A(t) \mathrm{d} t &=\left{\int a_{i j}(t) \mathrm{d} t\right}_{m \times n}
\end{aligned}\right.
$$
If $\boldsymbol{A}(\mathrm{t})$ and $\boldsymbol{B}(\mathrm{t})$ are, respectively, $m \times n$ and $n \times r$ matrices, then
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{B}(t)]=\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t}\right] \boldsymbol{B}(t)+\boldsymbol{A}(t)\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}\right] .
$$
If $\boldsymbol{A}(\mathrm{t})$ and $\boldsymbol{B}(\mathrm{t})$ are both $m \times n$ matrices, then
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{B}(t)]=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}
$$
If $A(\mathrm{t})$ is a rank- $n$ invertible square matrix, then
$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}^{-1}(t)}{\mathrm{d} t}=-\boldsymbol{A}^{-1}(t) \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}^{-1}(t) .
$$

scipy.integrate.solve_ivp — SciPy v1.8.0 Manual
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Rayleigh Quotient and Its Characteristics

主成分分析代写

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Gradient and Conjugate Gradient Algorithm for RQ

如果把RQ梯度的负方向看成向量的梯度流X,例如’,
X˙=−[C−r(X)一世]X
然后向量X可以通过以下梯度算法迭代计算:
X(ķ+1)=X(ķ)+μX˙=X(ķ)−μ[C−r(X)一世]X.
值得注意的是,RQ的梯度算法比标准RQ的迭代算法具有更快的收敛速度。

下面介绍RQ的共轭梯度算法,其中一种RQ 中是一个实对称矩阵。

从某个初始向量开始,共轭梯度算法使用迭代方程,例如,
Xķ+1=Xķ+一种ķ磷ķ更新和逼近与对称矩阵的最小或最大特征值相关的特征向量。实际系数一种ķ是
一种ķ=±12D(−乙+乙2−4CD),
在哪里 ”+”用于更新与最小特征值关联的特征向量,“-”用于更新与最大特征值关联的特征向量。上述方程中参数 D、B、C 的公式为

$$
\左{D=磷b(ķ)磷C(ķ)−磷一种(ķ)磷d(ķ) 乙=磷b(ķ)−λķ磷d(ķ) C=磷一种(ķ)−λķ磷C(ķ) 磷一种(ķ)=磷ķ吨一种Xķ/(Xķ吨Xķ) 磷b(ķ)=pķ吨一种pķ/(Xķ吨Xķ) 磷C(ķ)=pķ吨Xķ/(Xķ吨Xķ) 磷d(ķ)=pķ吨pķ/(Xķ吨Xķ) λķ=r(Xķ)=Xķ吨一种Xķ/(Xķ吨Xķ).\对。一种吨吨H和$ķ+1$吨H一世吨和r一种吨一世这n,吨H和s和一种rCHd一世r和C吨一世这nC一种nb和s和l和C吨和d一种s\boldsymbol{p}{k+1}=\boldsymbol{r}{k+1}+b(k) \boldsymbol{p}{k}
在H和r和$b(−1)=0$一种nd$rķ+1$一世s吨H和r和s一世d在一种l在和C吨这r一种吨吨H和$ķ+1$吨H一世吨和r一种吨一世这n.$rķ+1$一种nd$b(ķ)$C一种nb和C这米p在吨和d,r和sp和C吨一世在和l是,一种s
\boldsymbol{r}{k+1}=-\frac{1}{2} \nabla{x} r\left(\boldsymbol{x}{k+1}\right)=\left(\lambda{k +1} \boldsymbol{x}{k+1}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}{k+1}\right) /\left(\boldsymbol{x}{k=1}^{\mathrm {T}} \boldsymbol{x}{k+1}\right)
一种nd
b(k)=-\frac{\boldsymbol{r}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}+\left(\boldsymbol{r}{ k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{r}{k+1}\right)\left(\boldsymbol{x}{k+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{p }{k}\right)}{\boldsymbol{p}{k}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}{k}-\lambda_{k+1} \ boldsymbol{I}\right) \boldsymbol{p}{k}} $$ 方程 (2.5)-(2.9) 构成了 RQ 的共轭梯度算法,该算法在 [11] 中提出。如果更新Xķ被归一化为 1 并且在方程式中选择“t”(或“-”)。(2.6),上述算法将得到矩阵的最小(或最大)特征值一种及其相关的特征向量。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Rayleigh Quotient

定义2.3假使,假设一种∈Cn×n,乙∈Cn×n都是 Hermitian 矩阵,并且乙是肯定的。矩阵铅笔的广义 RQ 或广义 Rayleigh-Ritz(一种,乙)是一个标量函数,例如,
r(X)=XH一种XXH乙X,
在哪里X是要选择的量,目标是最大化或最小化广义 RQ。

为了求解广义 RQ,定义一个新向量X~=乙1/2X, 在哪里乙1/2是正定的平方根乙. 代替X经过乙−1/2X~在(2.43)中。然后它认为
r(X~)=X~H(乙−1/2)H一种(乙−1/2)HX~X~HX~,
这表明矩阵铅笔的广义 RQ(一种,乙)相当于矩阵乘积的 RQ(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H. 根据 Rayleigh-Ritz 定理,很明显,当向量X~是与最小特征值相关的特征向量λ分钟矩阵乘积(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H, 广义 RQ 得到λ分钟. 如果向量X~是与最大特征值相关的特征向量λ最大限度矩阵乘积(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H, 广义 RQ 得到λ最大限度.

下面,我们回顾一下矩阵乘积的特征分解(乙−1/2)H一种(乙−1/2)H,例如,
(乙−1/2)H一种(乙−1/2)HX~=一世X~.
如果乙=∑一世=1nb一世在一世在一世H是矩阵的特征分解乙, 然后
乙1/2=∑一世=1nb一世在一世在一世H
和乙1/2乙1/2=乙. 由于矩阵乙1/2和乙−1/2具有相同的特征向量并且它们的特征值互为倒数,则可以得出
乙−1/2=∑一世=1n1b一世在一世在一世H,
这表明乙−1/2也是 Hermitian 矩阵,例如,(乙−1/2)H=乙−1/2.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Differential and Integral of Matrix with Respect to Scalar

如果\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}\boldsymbol{A}(t)=\left{a_{i j}(t)\right}_{m \times n}是标量的实矩阵函数吨, 那么它的微分和积分分别定义为
$$
\left{\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}(t) &=\左{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} {t}} a {ij}(t)\right}_{m \times n} \
\int A(t) \mathrm{d} t &=\left{\int a_{ij}(t) \mathrm{d} t\right}_{m \times n}
\end{aligned}\right.
一世F$一种(吨)$一种nd$乙(吨)$一种r和,r和sp和C吨一世在和l是,$米×n$一种nd$n×r$米一种吨r一世C和s,吨H和n
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{B}(t)]=\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{ A}(t)}{\mathrm{d} t}\right] \boldsymbol{B}(t)+\boldsymbol{A}(t)\left[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B} (t)}{\mathrm{d} t}\right] 。
一世F$一种(吨)$一种nd$乙(吨)$一种r和b这吨H$米×n$米一种吨r一世C和s,吨H和n
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{A}(t)+\boldsymbol{B}(t)]=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A} (t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}(t)}{\mathrm{d} t}
一世F$一种(吨)$一世s一种r一种nķ−$n$一世n在和r吨一世bl和sq在一种r和米一种吨r一世X,吨H和n
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{A}^{-1}(t)}{\mathrm{d} t}=-\boldsymbol{A}^{-1}(t) \frac{\mathrm {d} \boldsymbol{A}(t)}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{A}^{-1}(t) 。
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Eigenvalue Decomposition

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Rayleigh quotient and its eigenvectors: for system (1) left and (2) right |  Download Scientific Diagram
机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Eigenvalue Decomposition

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Decomposition of Hermitian Matrix

All the discussions on eigenvalues and eigenvectors in the above hold for general matrices, and they do not require the matrices to be real symmetric or complex conjugate symmetric. However, in the statistical and information science, one usually encounter real symmetric or Hermitian (complex conjugate symmetric) matrices. For example, the autocorrelation matrix of a real measurement data vector $\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}$ is real symmetric, while the autocorrelation matrix of a complex measurement data vector $\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}$ is Hermitian. On the other hand, since a real symmetric matrix is a special case of Hermitian matrix and the eigenvalues and eigenvectors of a Hermitian matrix have a series of important properties, and it is necessary to discuss individually the eigen analysis of Hermitian matrix.

  1. Eigenvalue and Eigenvector of Hermitian matrix.
    Some important properties of eigenvalues and eigenvectors of Hermitian matrices can be summarized as follows:
    (1) The eigenvalues of an Hermitian matrix $A$ must be a real number.
    (2) Let $(\lambda, \boldsymbol{u})$ be an eigen pair of an Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$. If $\boldsymbol{A}$ is invertible, then $(1 / \lambda, u)$ is an eigen pair of matrix $A^{-1}$.
    (3) If $\lambda_{k}$ is a multiple eigenvalue of Hermitian matrix $A^{H}=A$, and its multiplicity is $m_{k}$, then $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{k} \boldsymbol{I}\right)=n-m_{k}$.
    (4) Any Hermitian matrix $A$ is diagonalizable, namely $U^{-1} \boldsymbol{A} U=\Sigma$.
    (5) All the eigenvectors of an Hermitian matrix are linearly independent, and they are mutual orthogonal, namely the eigen matrix $\boldsymbol{U}=\left[\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{n}\right]$ is a unitary matrix and it meets $\boldsymbol{U}^{-1}=\boldsymbol{U}^{H}$. (6) From property (5), it holds that $\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{U}=\Sigma=\operatorname{diag}\left(\lambda{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ or $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U} \Sigma \boldsymbol{U}^{H}$, which can be rewritten as: $\boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \boldsymbol{u}{i} \boldsymbol{u}{i}^{H}$. This is called the spectral decomposition of a Hermitian matrix.
    (7) The spread formula of the inverse of an Hermitian matrix $A$ is
    $$
    \boldsymbol{A}^{-1}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\lambda_{i}} \boldsymbol{u}{i} \boldsymbol{u}{i}^{H}
    $$
    Thus, if one know the eigen decomposition of an Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$, then one can directly obtain the inverse matrix $A^{-1}$ using the above formula.
    (8) For two $n \times n$ Hermitian matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$, there exists a unitary matrix so that $\boldsymbol{P}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ and $\boldsymbol{P}^{H} \boldsymbol{B P}$ are both diagonal if and only if $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$.
    (9) For two $n \times n$ non-negative definite Hermitian matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$, there exists a nonsingular matrix $P$ so that $P^{H} A P$ and $P^{H} B P$ are both diagonal.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Eigenvalue Decomposition

Let $A$ and $B$ both be $n \times n$ square matrices, and they constitute a matrix pencil or matrix pair, written as $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$. Now we consider the following generalized eigenvalue problem. That is, to compute all scalar $\lambda$ such that
$$
A u=\lambda B u
$$
has nonzero solution $\boldsymbol{u} \neq 0$, where the scalar $\lambda$ and the nonzero vector $\boldsymbol{u}$ are called the generalized eigenvalue and the generalized eigenvector of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$, respectively. A generalized eigenvalue and its associated generalized eigenvector are called generalized eigen pair, written as $(\lambda, \boldsymbol{u})$. Equation (2.35) is also called the generalized eigen equation. It is obvious that the eigenvalue problem is a special case when the matrix pencil is chosen as $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{I})$.

Theorem 2.6 $\lambda \in \mathbb{C}$ and $\mathbf{u} \in \mathbb{C}^{n}$ are respectively the generalized eigenvalue and the associated generalized eigenvector of matrix pencil $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})_{n \times n}$ if and only if:
(1) $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B})=0$.
(2) $\boldsymbol{u} \in \operatorname{Null}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{B})$, and $\boldsymbol{u} \neq 0$.
In the natural science, sometimes it is necessary to discuss the eigenvalue problem of the generalized matrix pencil.

Suppose that $n \times n$ square matrices $\boldsymbol{A}$ and $\boldsymbol{B}$ are both Hermitian, and $B$ is positive definite. Then $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})$ is called the regularized matrix pencil.

The eigenvalue problem of regularized matrix pencil is similar to the one of Hermitian matrix.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Rayleigh Quotient

Definition 2.1 The Rayleigh quotient (RQ) of an Hermitian matrix $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ is a scalar, defined as
$$
r(\boldsymbol{u})=r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})=\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}},
$$
where $u$ is a quantity to be selected. The objective is to maximize or minimize the Rayleigh quotient.
The most relevant properties of the $R Q$ are can be summarized as follows:
(1) Homogeneity: $r(\alpha \boldsymbol{u}, \beta \boldsymbol{u})=\beta r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}) \quad \forall \alpha, \beta \neq 0$.
(2) Translation invariance: $\boldsymbol{r}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}-\alpha \boldsymbol{I})=\boldsymbol{r}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})-\alpha$.
(3) Boundedness: Since $\boldsymbol{u}$ ranges over all nonzero vectors, $r(\boldsymbol{u})$ fills a region in the complex plane which is called the field of values of $\boldsymbol{C}$. This region is closed, bounded, and convex. If $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^{*}$ (selfadjoint matrix), the field of values is the real interval bounded by the extreme eigenvalues.
(4) Orthogonality: $\boldsymbol{u} \perp(\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}$.
(5) Minimal residual: $\forall \boldsymbol{u} \neq 0 \wedge \forall$ scalar $\mu,|(\boldsymbol{C}-r(\boldsymbol{u}) \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}| \leq|(\boldsymbol{C}-\mu \boldsymbol{I}) \boldsymbol{u}|$.
Proposition $2.1$ (Stationarity) Let $C$ be a real symmetric n-dimensional matrix with eigenvalues $\lambda_{n} \leq \lambda_{n-1} \leq \cdots \lambda_{1}$ and associated unit eigenvectors $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$. Then it holds that $\lambda_{1}=\max r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C}), \lambda_{n}=\min r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})$. More generally, the critical points and critical values of $r(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{C})$ are the eigenvectors and eigenvalues of $\boldsymbol{C}$.

Proposition $2.2$ (Degeneracy): The $R Q$ critical points are degenerate because at these points the Hessian matrix is not invertible. Then the RQ is not a Morse function in every open subspace of the domain containing a critical point.

Furthermore, the following important theorems also holds for RQ.
Courant-Fischer Theorem: Let $C \in \mathbb{C}^{n \times n}$ be an Hermitian matrix, and its eigenvalues are $\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \leq \lambda_{n}$, then it holds that for $\lambda_{k}(1 \leq k \leq u)$ :
$$
\lambda_{k}=\min {S, \operatorname{dim}(S)=\boldsymbol{n}-k+1} \max {\boldsymbol{u} \in S, \boldsymbol{u} \neq 0}\left(\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}}\right)
$$
The Courant-Fischer Theorem can also written as
$$
\lambda_{k}=\min {S, \operatorname{dim}(S)=k} \max {\boldsymbol{u} \in S, \boldsymbol{u} \neq 0}\left(\frac{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{C} \boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{u}}\right)
$$

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Eigenvalue Decomposition

主成分分析代写

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Decomposition of Hermitian Matrix

上面所有关于特征值和特征向量的讨论都适用于一般矩阵,它们并不要求矩阵是实对称或复共轭对称。然而,在统计和信息科学中,通常会遇到实对称或厄米特(复共轭对称)矩阵。例如,真实测量数据向量的自相关矩阵\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{T}(t)\right}是实对称的,而复测量数据向量的自相关矩阵\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}\boldsymbol{R}=E\left{\boldsymbol{x}(t) \boldsymbol{x}^{H}(t)\right}是厄米特。另一方面,由于实对称矩阵是Hermitian矩阵的特例,Hermitian矩阵的特征值和特征向量具有一系列重要性质,因此有必要单独讨论Hermitian矩阵的特征分析。

  1. Hermitian 矩阵的特征值和特征向量。
    Hermitian 矩阵的特征值和特征向量的一些重要性质可以概括如下:
    (1) Hermitian 矩阵的特征值一种必须是实数。
    (2) 让(λ,在)是 Hermitian 矩阵的特征对一种. 如果一种是可逆的,那么(1/λ,在)是矩阵的特征对一种−1.
    (3) 如果λķ是 Hermitian 矩阵的多重特征值一种H=一种,其多重性为米ķ, 然后秩⁡(一种−λķ一世)=n−米ķ.
    (4) 任何 Hermitian 矩阵一种是可对角化的,即在−1一种在=Σ.
    (5) Hermitian矩阵的所有特征向量都是线性独立的,并且相互正交,即特征矩阵在=[在1,在2,…,在n]是酉矩阵并且满足在−1=在H. (6) 根据性质 (5),它认为在H一种在=Σ=诊断⁡(λ1,λ2,…,λn)或者一种=在Σ在H,可以改写为:一种=∑一世=1nλ一世在一世在一世H. 这称为 Hermitian 矩阵的谱分解。
    (7) Hermitian 矩阵的逆矩阵的展开公式一种是
    $$
    \boldsymbol{A}^{-1}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\mathrm{I}}{\lambda_{i}} \boldsymbol{u} {i} \ boldsymbol{u} {i}^{H}
    $$
    因此,如果知道 Hermitian 矩阵的特征分解一种,则可以直接得到逆矩阵一种−1使用上面的公式。
    (8) 两人份n×n厄米矩阵一种和乙,存在一个酉矩阵,使得磷H一种磷和磷H乙磷都是对角线当且仅当一种乙=乙一种.
    (9) 两人份n×n非负定 Hermitian 矩阵一种和乙, 存在一个非奇异矩阵磷以便磷H一种磷和磷H乙磷都是对角线。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Generalized Eigenvalue Decomposition

让一种和乙两者都是n×n方阵,它们构成一个矩阵铅笔或矩阵对,写为(一种,乙). 现在我们考虑以下广义特征值问题。也就是说,计算所有标量λ这样
一种在=λ乙在
有非零解在≠0, 其中标量λ和非零向量在称为矩阵铅笔的广义特征值和广义特征向量(一种,乙), 分别。一个广义特征值及其相关的广义特征向量称为广义特征对,写为(λ,在). 方程(2.35)也称为广义特征方程。It is obvious that the eigenvalue problem is a special case when the matrix pencil is chosen as(一种,一世).

定理 2.6λ∈C和在∈Cn分别是矩阵铅笔的广义特征值和相关的广义特征向量(一种,乙)n×n当且仅当:
(1)这⁡(一种−λ乙)=0.
(2) 在∈空值⁡(一种−λ乙), 和在≠0.
在自然科学中,有时需要讨论广义矩阵铅笔的特征值问题。

假设n×n方阵一种和乙都是厄米特式的,并且乙是肯定的。然后(一种,乙)称为正则化矩阵铅笔。

正则化矩阵铅笔的特征值问题类似于 Hermitian 矩阵的特征值问题。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Rayleigh Quotient

定义 2.1 Hermitian 矩阵的瑞利商 (RQ)C∈Cn×n是一个标量,定义为
r(在)=r(在,C)=在HC在在H在,
在哪里在是要选择的数量。目标是最大化或最小化瑞利商。
最相关的属性R问可归纳如下:
(1) 同质性:r(一种在,b在)=br(在,C)∀一种,b≠0.
(2)平移不变性:r(在,C−一种一世)=r(在,C)−一种.
(3) 有界性:自在范围在所有非零向量上,r(在)填充复平面中的一个区域,该区域称为值域C. 这个区域是封闭的、有界的和凸的。如果C=C∗(自伴随矩阵),值域是由极值特征值界定的实区间。
(4) 正交性:在⊥(C−r(在)一世)在.
(5) 最小残差:∀在≠0∧∀标量μ,|(C−r(在)一世)在|≤|(C−μ一世)在|.
主张2.1(平稳性)让C是具有特征值的实对称 n 维矩阵λn≤λn−1≤⋯λ1和相关的单位特征向量和1,和2,…,和n. 然后它认为λ1=最大限度r(在,C),λn=分钟r(在,C). 更一般地,临界点和临界值r(在,C)是的特征向量和特征值C.

主张2.2(退化):R问临界点是退化的,因为在这些点上,Hessian 矩阵是不可逆的。则 RQ 不是包含临界点的域的每个开放子空间中的莫尔斯函数。

此外,以下重要定理也适用于 RQ。
Courant-Fischer 定理:让C∈Cn×n是 Hermitian 矩阵,其特征值为λ1≥λ2≥⋯≤λn, 那么它认为对于λķ(1≤ķ≤在) :
λķ=分钟小号,暗淡⁡(小号)=n−ķ+1最大限度在∈小号,在≠0(在HC在在H在)
Courant-Fischer 定理也可以写成
λķ=分钟小号,暗淡⁡(小号)=ķ最大限度在∈小号,在≠0(在HC在在H在)

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随机分析代写


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回归分析代写

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Properties of SVD

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机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考| Properties of SVD

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Properties of SVD

Assume $\boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}, \quad \boldsymbol{B} \in \Re^{m \times n}$, and $r_{A}=\operatorname{rank}(A), \quad p=\min {m, n}$. The singular values of matrix $A$ can be arranged as follows: $\sigma_{\max }=\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots$ $\geq \sigma_{p-1} \geq \sigma_{p}=\sigma_{\min } \geq 0$, and denote by $\sigma_{i}(\boldsymbol{B})$ the $i$ th largest singular value of matrix B. A few properties of SVD can summarized as follows [6]:
(1) The relationship between the singular values of a matrix and the ones of its submatrix.

Theorem $2.3$ (interlacing theorem for singular values). Assume $A \in \Re^{m \times n}$, and its singular values satisfy $\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \cdots \geq \sigma_{r}$, where $r=\min {m, n} .$ If $\boldsymbol{B} \in \mathbb{X}^{p \times q}$ is a submatrix of $\boldsymbol{A}$, and its singular values satisfy $\gamma_{1} \geq \gamma_{2} \geq \cdots \geq \gamma_{\min {p, q}}$, then it holds that
$$
\sigma_{i} \geq \gamma_{i}, \quad i=1,2, \ldots, \min {p, q}
$$
and
$$
\gamma_{i} \geq \sigma_{i+(m-p)+(n-q)}, \quad i \leq \min {p+q-m, p+q-n} .
$$
From Theorem 2.3, it holds that: If $\boldsymbol{B} \in \Re^{m \times(n-1)}$ is a submatrix of $\mathbf{A} \in \Re^{m \times n}$ by deleting any column of matrix $\boldsymbol{A}$, and their singular values are arranged in non-decreasing order, then it holds that
$$
\sigma_{1}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{1}(\boldsymbol{B}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{B}) \geq \cdots \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{B}) \geq 0
$$
where $h=\min {m, n-1}$.
If $\boldsymbol{B} \in \Re^{\Re^{(m-1) \times n}}$ is a submatrix of $\boldsymbol{A} \in \Re^{m \times n}$ by deleting any row of matrix $\boldsymbol{A}$, and their singular values are arranged as non-decreasing order, then it holds that
$$
\sigma_{1}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{1}(\boldsymbol{B}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{2}(\boldsymbol{B}) \geq \cdots \sigma_{h}(\boldsymbol{A}) \geq \sigma_{h}(\boldsymbol{B}) \geq 0
$$
(2) The relationship between the singular values of a matrix and its norms. The spectral norm of a matrix $\boldsymbol{A}$ is equal to its largest singular value, namely,

According to the SVD theorem of matrix and the unitary invariability property of Frobenius norm $|\boldsymbol{A}|_{F}$ of matrix $\boldsymbol{A}$, namely $\left|\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{V}\right|_{F}=|\boldsymbol{A}|_{F}$, it holds that
$$
|\boldsymbol{A}|_{F}=\left[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n}\left|a_{i j}\right|^{2}\right]^{1 / 2}=\left|\boldsymbol{U}^{H} \boldsymbol{A} \boldsymbol{V}\right|_{F}=|\Sigma|_{F}=\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\cdots+\sigma_{F}^{2}}
$$
That is to say, the Frobenius norm of any matrix is equal to the square root of the sum of the squares of all nonzero singular values of this matrix. Consider the rank- $k$ approximation of matrix $A$ and denote it as $\boldsymbol{A}{k}$, in which $k{k}$ is defined as follows:
$$
A_{k}=\sum_{i=1}^{k} \sigma_{i} \boldsymbol{u}{i} v{i}^{H}, k<r
$$

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Problem and Eigen Equation

The basic problem of the eigenvalue can be stated as follows. Given an $n \times n$ matrix $\boldsymbol{A}$, determine a scalar $\lambda$ such that the following algebra equation
$$
A u=\lambda u, \quad u \neq 0
$$
has an $n \times 1$ nonzero solution. The scalar $\lambda$ is called as an eigenvalue of matrix $A$, and the vector $\boldsymbol{u}$ is called as the eigenvector associated with $\lambda$. Since the eigenvalue
$\lambda$ and eigenvector $\boldsymbol{u}$ appear in couples, $(\lambda, \boldsymbol{u})$ is usually called as an eigen pair of matrix $\boldsymbol{A}$. Although the eigenvalues can be zeros, the eigenvectors cannot be zero. In order to determine a nonzero vector $\boldsymbol{u}, \mathrm{Eq} .$ (2.17) can be modified as
$$
(A-\lambda I) u=0
$$
The above equation should come into existence for any vector $\boldsymbol{u}$, so the unique condition under which Eq. $(2.18)$ has a nonzero solution $\boldsymbol{u}=0$ is that the determinant of matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ is equal to zero, namely
$$
\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=0 .
$$
Thus, the solution of the eigenvalue problem consists of the following two steps:
(1) Solve all scalar $\lambda$ (eigenvalues) which make the matrix $\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}$ singular.
(2) Given an eigenvalue $\lambda$ which makes $\boldsymbol{A}=\lambda \boldsymbol{I}$ singular, and to solve all nonzero vectors which meets $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$, i.e., the eigenvectors corresponding to $\lambda$.
According to the relationship between the singular values of a matrix and its determinant, a matrix is singular if and only if $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0}{,}$, namely $$ (\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) x \text { singular } \Leftrightarrow \operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0} $$ The matrix $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is called as the eigen matrix of $\boldsymbol{A}$. When $\boldsymbol{A}$ is an $n \times n$ matrix, spreading the left side determinant of Eq. (2.20) can obtain a polynomial equation (power- $n$ ), namely $$ \alpha{0}+\alpha_{1} \lambda+\cdots+\alpha_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^{n} \lambda^{n}=0,
$$
which is called as the eigen equation of matrix $\boldsymbol{A}$. The polynomial $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})$ is called as the eigen polynomial.

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue and Eigenvector

In the following, we list some major properties about the eigenvalues and eigenvector of a matrix $A$.
Several important terms about the eigenvalues and eigenvectors [6]:
(1) The eigenvalue $\lambda$ of a matrix $A$ is called as having algebraic multiplicity $\mu$, if $\lambda$ is a $\mu$-repeated root of the eigen equation $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I})=\boldsymbol{0}$.
(2) If the algebraic multiplicity of eigenvalue $\lambda$ is equal to one, the eigenvalue is called as single eigenvalue. Non-single eigenvalues are called as multiple eigenvalues.
(3) The eigenvalue $\lambda$ of a matrix $\boldsymbol{A}$ is called as having geometric multiplicity $\gamma$, if the number of linear independent eigenvectors associated with $\lambda$ is equal to $\gamma$.
(4) An eigenvalue is called half-single eigenvalue if its algebraic multiplicity is equal to geometric multiplicity. Not half-single eigenvalues are called as wane eigenvalues.
(5) If matrix $\boldsymbol{A}{n \times n}$ is a general complex matrix and $\lambda$ is its eigenvalue, the vector $v$ which meets $A v=\lambda v$ is called as the right eigenvector associated with the eigenvalue $\lambda$, and the eigenvector $\boldsymbol{u}$ which meets $\boldsymbol{u}^{H} \boldsymbol{A}=\lambda \boldsymbol{u}^{H}$ is called as the left eigenvector associated with the eigenvalue $\lambda$. If $A$ is Hermitian matrix and all its eigenvalues are real number, then it holds that $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$, that is to say, the left and right eigenvectors of a Hermitian matrix are the same. Some important properties can be summarized as follows: (1) Matrix $A\left(\in \Re^{n \times n}\right)$ has $n$ eigenvalues, of which the multiple eigenvalues are computed according to their multiplicity. (2) If $\boldsymbol{A}$ is a real symmetrical matrix or Hermitian matrix, all its eigenvalues are real numbers. (3) If $\boldsymbol{A}=\operatorname{diag}\left(a{11}, a_{22}, \ldots, a_{\mathrm{nn}}\right)$, its eigenvalues are $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{\mathrm{nn}}$; If $\boldsymbol{A}$ is a trigonal matrix, its diagonal elements are all its eigenvalues.
(4) For $\boldsymbol{A}\left(\in \Re^{n \times n}\right)$, if $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}, \lambda$ is also the eigenvalue of matrix $A^{\mathrm{T}}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $A, \lambda^{*}$ is the eigenvalue of matrix $A^{H}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $A, \lambda+\sigma^{2}$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}+\sigma^{2} \boldsymbol{I}$. If $\lambda$ is the eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}, 1 / \lambda$ is the eigenvalue of matrix $A^{-1}$.
(5) All eigenvalues of matrix $A^{2}=A$ are either 0 or 1 .
(6) If $A$ is a real orthogonal matrix, all its eigenvalues are on the unit circle.
(7) If a matrix is singular, at least one of its eigenvalues is equal to zero.
(8) The sum of all the eigenvalues is equal to its trace, namely $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})$.
(9) The nonzero eigenvectors $\boldsymbol{u}{1}, \boldsymbol{u}{2}, \ldots, \boldsymbol{u}{n}$ associated with different eigenvalues $\lambda{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ are linearly independent.
(10) If matrix $A\left(\in \mathcal{H}^{\mathrm{n} \times n}\right)$ has $r$ nonzero eigenvalues, then it holds that $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}) \geq r$; If zero is a non-multiple eigenvalue, then $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}) \geq n-1$; If $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{I}) \geq n-1$, then $\lambda$ is an eigenvalue of matrix $\boldsymbol{A}$.
(11) The product of all eigenvalues of matrix $A$ is equal to the determinant of matrix $\boldsymbol{A}$, namely $\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=|\boldsymbol{A}|$.
(12) A Hermitian matrix $\boldsymbol{A}$ is positive definite (or positive semi-definite), if and only if all its eigenvalues are positive (or non-negative).

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主成分分析代写

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认为一种∈ℜ米×n,乙∈ℜ米×n, 和r一种=秩⁡(一种),p=分钟米,n. 矩阵的奇异值一种可以安排如下:σ最大限度=σ1≥σ2≥⋯ ≥σp−1≥σp=σ分钟≥0,并表示为σ一世(乙)这一世矩阵B的最大奇异值。SVD的一些性质可以总结如下[6]:
(1)矩阵的奇异值与其子矩阵的奇异值之间的关系。

定理2.3(奇异值的交错定理)。认为一种∈ℜ米×n, 其奇异值满足σ1≥σ2≥⋯≥σr, 在哪里r=分钟米,n.如果乙∈Xp×q是一个子矩阵一种, 其奇异值满足C1≥C2≥⋯≥C分钟p,q,那么它认为
σ一世≥C一世,一世=1,2,…,分钟p,q

C一世≥σ一世+(米−p)+(n−q),一世≤分钟p+q−米,p+q−n.
从定理 2.3,它认为:如果乙∈ℜ米×(n−1)是一个子矩阵一种∈ℜ米×n通过删除矩阵的任何列一种,并且它们的奇异值以非递减的顺序排列,那么它认为
σ1(一种)≥σ1(乙)≥σ2(一种)≥σ2(乙)≥⋯≥σH(一种)≥σH(乙)≥0
在哪里H=分钟米,n−1.
如果乙∈ℜℜ(米−1)×n是一个子矩阵一种∈ℜ米×n通过删除矩阵的任何行一种,并且它们的奇异值按非递减顺序排列,则它认为
σ1(一种)≥σ1(乙)≥σ2(一种)≥σ2(乙)≥⋯σH(一种)≥σH(乙)≥0
(2) 矩阵的奇异值与其范数之间的关系。矩阵的谱范数一种等于它的最大奇异值,即

根据矩阵的SVD定理和Frobenius范数的酉不变性|一种|F矩阵一种,即|在H一种在|F=|一种|F, 它认为
|一种|F=[∑一世=1米∑j=1n|一种一世j|2]1/2=|在H一种在|F=|Σ|F=σ12+σ22+⋯+σF2
也就是说,任何矩阵的 Frobenius 范数都等于该矩阵所有非零奇异值的平方和的平方根。考虑排名-ķ矩阵的近似一种并将其表示为一种ķ, 其中ķķ定义如下:
一种ķ=∑一世=1ķσ一世在一世在一世H,ķ<r

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue Problem and Eigen Equation

特征值的基本问题可以表述如下。给定一个n×n矩阵一种, 确定一个标量λ使得以下代数方程
一种在=λ在,在≠0
有一个n×1非零解。标量λ称为矩阵的特征值一种, 和向量在被称为与相关的特征向量λ. 由于特征值
λ和特征向量在出现在情侣中,(λ,在)通常称为矩阵的特征对一种. 虽然特征值可以为零,但特征向量不能为零。为了确定一个非零向量在,和q.(2.17) 可以修改为
(一种−λ一世)在=0
对于任何向量,上述方程都应该存在在,所以方程的唯一条件。(2.18)有一个非零解在=0是矩阵的行列式吗一种−λ一世等于零,即
这⁡(一种−λ一世)=0.
因此,特征值问题的求解包括以下两个步骤:
(1) 求解所有标量λ(特征值)构成矩阵一种−λ一世单数。
(2) 给定一个特征值λ这使得一种=λ一世奇异的,并求解所有满足的非零向量(一种−λ一世)X=0,即对应的特征向量λ.
根据矩阵的奇异值与其行列式的关系,矩阵是奇异的当且仅当这⁡(一种−λ一世)=0,,即(一种−λ一世)X 单数 ⇔这⁡(一种−λ一世)=0矩阵(一种−λ一世)被称为特征矩阵一种. 什么时候一种是一个n×n矩阵,扩展等式的左侧行列式。(2.20)可以得到一个多项式方程(幂-n),即一种0+一种1λ+⋯+一种n−1λn−1+(−1)nλn=0,
称为矩阵的特征方程一种. 多项式这⁡(一种−λ一世)称为本征多项式。

机器学习代写|主成分分析作业代写PCA代考|Eigenvalue and Eigenvector

下面,我们列出关于矩阵的特征值和特征向量的一些主要性质一种.
关于特征值和特征向量的几个重要术语[6]:(
1)特征值λ矩阵的一种被称为具有代数多重性μ, 如果λ是一个μ-特征方程的重复根这⁡(一种−λ一世)=0.
(2) 若特征值的代数重数λ等于一,则该特征值称为单一特征值。非单一特征值称为多重特征值。
(3) 特征值λ矩阵的一种被称为具有几何多重性C,如果与相关的线性独立特征向量的数量λ等于C.
(4) 如果一个特征值的代数重数等于几何重数,则称其为半单特征值。非半单特征值称为衰减特征值。
(5) 如果矩阵一种n×n是一个一般的复矩阵,并且λ是它的特征值,向量在满足一种在=λ在被称为与特征值相关的右特征向量λ, 和特征向量在满足在H一种=λ在H被称为与特征值相关的左特征向量λ. 如果一种是 Hermitian 矩阵并且它的所有特征值都是实数,那么它认为在=在,也就是说,一个厄密矩阵的左右特征向量是相同的。一些重要的性质可以概括如下: (1) 矩阵一种(∈ℜn×n)拥有n特征值,其中的多个特征值是根据它们的多重性计算的。(2) 如果一种是一个实对称矩阵或 Hermitian 矩阵,它的所有特征值都是实数。(3) 如果一种=诊断⁡(一种11,一种22,…,一种nn),其特征值为一种11,一种22,…,一种nn; 如果一种是一个三角矩阵,它的对角元素都是它的特征值。
(4) 为一种(∈ℜn×n), 如果λ是矩阵的特征值一种,λ也是矩阵的特征值一种吨. 如果λ是矩阵的特征值一种,λ∗是矩阵的特征值一种H. 如果λ是矩阵的特征值一种,λ+σ2是矩阵的特征值一种+σ2一世. 如果λ是矩阵的特征值一种,1/λ是矩阵的特征值一种−1.
(5) 矩阵的所有特征值一种2=一种是 0 或 1 。
(6) 如果一种是一个实正交矩阵,它的所有特征值都在单位圆上。
(7) 如果一个矩阵是奇异的,至少它的一个特征值等于 0。
(8) 所有特征值之和等于它的迹,即∑一世=1nλ一世=tr⁡(一种).
(9) 非零特征向量在1,在2,…,在n与不同的特征值相关联λ1,λ2,…λn是线性独立的。
(10) 如果矩阵一种(∈Hn×n)拥有r非零特征值,那么它认为秩⁡(一种)≥r; 如果零是非多重特征值,则秩⁡(一种)≥n−1; 如果秩⁡(一种−λ一世)≥n−1, 然后λ是矩阵的特征值一种.
(11) 矩阵所有特征值的乘积一种等于矩阵的行列式一种,即∏一世=1nλ一世=这⁡(一种)=|一种|.
(12) Hermitian 矩阵一种是正定的(或半正定的),当且仅当它的所有特征值都是正的(或非负的)。

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