统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|STAT2110

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工程统计结合了工程和统计,使用科学方法分析数据。工程统计涉及有关制造过程的数据,如:部件尺寸、公差、材料类型和制造过程控制。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
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统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|INTRODUCTION

The beta distribution has a long history that can be traced back to the year 1676 in a letter from Issac Newton to Henry Oldenbeg (see Dutka (1981) [55]). It is widely used in civil, geotechnical, earthquake, and metallurgical engineering due to its close relationship with other continuous distributions. The PDF of Beta-I $(a, b)$ is given by ${ }^{1}$
$$
f(x ; a, b)=x^{a-1}(1-x)^{b-1} / B(a, b)
$$
where $00$ and $b>0$ results in a variety of distributional shapes. The Beta-I distribution is a proper choice in risk-modeling because the risks in many applications can be lower and upper bounded, and scaled to any desired range (say $(0,1)$ range) [78]. Events constrained to happen within a finite interval can be modeled due to the wide variety of shapes assumed by this distribution.

It is also used in Bayesian models with unknown probabilities, in order-statistics and reliability analysis. In Bayesian analysis, the prior distribution is assumed to be Beta-I for binomial proportions. It is used to model the proportion of fat (by weight) in processed or canned food, percentage of impurities in some manufactured products like food items, cosmetics, laboratory chemicals, etc. Data in the form of proportions arise in many applied fields like marketing, toxicology, bioinformatics, genomics, etc. Beta distribution is the preferred choice when these quantities exhibit extra variation than expected. Important distributions belonging to the beta family are discussed below. These include type I and type-II beta distributions. We will use the respective notations $\operatorname{Beta}-\mathrm{I}(a, b)$, and $\operatorname{Beta}-\mathrm{II}(a, b) .{ }^{2}$ Beta distributions with three or more parameters are also briefly mentioned.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|ALTERNATE REPRESENTATIONS

Write $c=a-1$ and $d=b-1$ to get the alternate form
$$
f(x ; c, d)=x^{c}(1-x)^{d} / B(c+1, d+1) .
$$ Put $x=\sin ^{2}(\theta)$ in (4.2) to get
$$
f(\theta ; c, d)=\sin ^{2 c}(\theta) \cos ^{2 d}(\theta) / B(c+1, d+1) \text { for } 0<\theta<\pi / 2
$$
Some applications use $a$ and $n-a+1$ as parameters resulting in
$$
f(x ; a, b, n)=x^{a-1}(1-x)^{n-a} / B(a, n-a+1) .
$$
A symmetric beta distribution results when $a=b$ with PDF
$$
f(x ; a)=x^{a-1}(1-x)^{a-1} / B(a, a)=[x(1-x)]^{a-1} \Gamma(2 a) /[\Gamma(a)]^{2} .
$$
Beta distributions defined on $(-1,+1)$ are encountered in some applications. Using the transformation $Y=2 X-1$ we get $f(y)=f(x) / 2=f((y+1) / 2) / 2$. This results in the PDF
$$
f(y ; a, b)=[(y+1) / 2]^{a-1}[(1-y) / 2]^{b-1} /[2 B(a, b)] .
$$
This simplifies to
$\left.f(y ; a, b)=C(1+y)^{a-1}(1-y)\right]^{b-1}$ where $-1<y<1$, and $C=1 /\left[2^{a+b-1} B(a, b)\right] .$
This also can be generalized to 4-parameters as
$$
\left.f(x ; a, b, c, d)=C(1+x / c)^{a-1}(1-x / d)\right]^{b-1}
$$
and to the 6-parameters as
$$
\left.f(x ; a, b, c, d, p, q)=C(1+(x-p) / c)^{a-1}(1-(x-q) / d)\right]^{b-1},
$$
where $C$ is the normalizing constant, which is found using the well-known integral
$$
\int_{a}^{b}(x-a)^{a-1}(b-x)^{b-1} d x=(b-a)^{a+b-1} B(a, b) .
$$
These are related to the Berstein-type basis functions $Y_{k}^{n}(x ; a, b, m)=\left(\begin{array}{c}m \ k\end{array}\right)(x-a)^{k}(b-$ $x)^{n-k} /(b-a)^{m}[147]$. Truncated and size-biased versions of them are used in several engineering fields.

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|RELATION TO OTHER DISTRIBUTIONS

It is a special case of gamma distribution with $m=1$. It reduces to uniform (rectangular) distribution $\mathrm{U}(0,1)$ for $a=b=1$. A triangular-shaped distribution results for $a=1$ and $b=2$, or vice versa. When $a=b=1 / 2$, this distribution reduces to the arcsine distribution of first kind (Chapter 5). If $b=1$ and $a \neq 1$, it reduces to power-series distribution $f(x ; a)=a x^{a-1}$ using the result $\Gamma(a+1)=a * \Gamma(a)$. A J-shaped distribution is obtained when $a$ or $b$ is less than one. If $X$ and $Y$ are IID gamma distributed with parameters $a$ and $b$, the ratio $Z=X /(X+Y)$ is Beta-I $(a, b)$ distributed. If $X_{k}^{\prime}$ s are IID Beta-I $\left(\frac{2 k-1}{2 n}, \frac{1}{2 n}\right)$ random variables, the distribution of the geometric mean (GM) of them $Y=\left(\prod_{k=1}^{n} X_{k}\right)^{17 n}$ is SASD-I distributed (Chapter 5) for $n \geq 2([90],[22])$. This has the interpretation that the GM of Beta-I $\left(\frac{2 k-1}{2 n}, \frac{1}{2 n}\right)$ random variables converges to arcsine law whereas the AM tends to the normal law (central limit theorem). As $\chi^{2}$ distribution is a special case of gamma distribution, a similar result follows as $Z=\chi_{m}^{2} /\left(\chi_{m}^{2}+\chi_{n}^{2}\right) \sim \operatorname{Beta}-\mathrm{I}(m / 2, n / 2)$

As $\left(\chi_{m}^{2}+\chi_{n}^{2}\right)$ is independent of $Z$, the above result can be generalized as follows: If $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}$ are IID normal variates with zero means and variance $\sigma_{k}^{2}$, then $Z_{1}=X_{1}^{2} /\left(X_{1}^{2}+\right.$ $\left.X_{2}^{2}\right), Z_{2}=\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}\right) /\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\right)$, and so on are mutually independent beta random variables. If $X$ has an $F(m, n)$ distribution, then $Y=(m / n) X /[1+(m / n) X]$ is beta distributed. The beta distribution is also related to the Student’s $t$ distribution under the transformation $x=1 /\left(1+t^{2} / n\right)$. Similarly, $y=-\log (x)$ has PDF
$$
f(y ; a, b)=\exp (-a y)(1-\exp (-y))^{b-1}
$$
and $y=x /(1-x)$ results in beta-prime distribution (page 48). The positive eigenvalue of Roy’s $\theta_{\max }$-criterion used in MANOVA has a Beta-I distribution when $s=\max \left(p, n_{h}\right)=1$, where $p$ is the dimensionality and $n_{h}$ is the DoF of the hypothesis.

Problem 4.1 Prove that $B(a+1, b)=[a /(a+b)] B(a, b)$ where $B(a, b)$ denotes the CBF. What is the value of $B(.5, .5)$ ?

Problem 4.2 If $X \sim \operatorname{Beta}-\mathrm{I}(a, b)$, find the distribution of $Y=(1-X) / X$, and obtain its mean and variance. Find the ordinary moments.

Problem 4.3 If $X$ and $Y$ are independent gamma random variables GAMMA $(a, \lambda)$ and $\operatorname{GAMMA}(b, \lambda)$, then prove that $X /(X+Y)$ is $\operatorname{Beta}(a, b)$

Problem 4.4 Verify whether $f(x ; c, d)=(1+x)^{c-1}(1-x)^{d-1} /\left[2^{c+d-1} \mathrm{~B}(c, d)\right]$ is a PDF for $-1<x<1$, where $B(c, d)$ is the complete beta function.

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工程统计代考

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|INTRODUCTION

Beta 分布有很长的历史,可以追溯到 1676 年 Issac Newton 给 Henry Oldenbeg 的一封信(参见 Dutka (1981) [55])。由于与其他连续分布关系密切,它被广泛应用于土木、岩土、地震和冶金工程。Beta-I 的 PDF(一个,b)是(谁)给的1

F(X;一个,b)=X一个−1(1−X)b−1/乙(一个,b)
在哪里00和b>0导致各种分布形状。Beta-I 分布是风险建模中的正确选择,因为许多应用程序中的风险可以上下限,并且可以缩放到任何所需的范围(例如(0,1)范围)[78]。由于该分布假设的形状多种多样,因此可以对限制在有限区间内发生的事件进行建模。

它还用于概率未知的贝叶斯模型、顺序统计和可靠性分析。在贝叶斯分析中,假设二项式比例的先验分布是 Beta-I。它用于模拟加工食品或罐头食品中的脂肪比例(按重量计),某些制成品(如食品、化妆品、实验室化学品等)中的杂质百分比。比例形式的数据出现在营销等许多应用领域,毒理学,生物信息学,基因组学等。当这些数量表现出超出预期的变化时,Beta分布是首选。属于 beta 系列的重要发行版将在下面讨论。这些包括 I 型和 II 型 beta 分布。我们将使用各自的符号贝塔−我(一个,b), 和贝塔−我我(一个,b).2还简要提到了具有三个或更多参数的 Beta 分布。

统计代写|工程统计代写engineering statistics代考|ALTERNATE REPRESENTATIONS

写C=一个−1和d=b−1获得替代形式

F(X;C,d)=XC(1−X)d/乙(C+1,d+1).放X=罪2⁡(θ)在 (4.2) 中得到

F(θ;C,d)=罪2C⁡(θ)因2d⁡(θ)/乙(C+1,d+1) 为了 0<θ<圆周率/2
一些应用程序使用一个和n−一个+1作为参数导致

F(X;一个,b,n)=X一个−1(1−X)n−一个/乙(一个,n−一个+1).
当一个=b带PDF

F(X;一个)=X一个−1(1−X)一个−1/乙(一个,一个)=[X(1−X)]一个−1Γ(2一个)/[Γ(一个)]2.
Beta 分布定义于(−1,+1)在某些应用程序中遇到。使用转换是=2X−1我们得到F(是)=F(X)/2=F((是+1)/2)/2. 这导致PDF

F(是;一个,b)=[(是+1)/2]一个−1[(1−是)/2]b−1/[2乙(一个,b)].
这简化为
F(是;一个,b)=C(1+是)一个−1(1−是)]b−1在哪里−1<是<1, 和C=1/[2一个+b−1乙(一个,b)].
这也可以推广到 4 参数为

F(X;一个,b,C,d)=C(1+X/C)一个−1(1−X/d)]b−1
和 6 参数为

F(X;一个,b,C,d,p,q)=C(1+(X−p)/C)一个−1(1−(X−q)/d)]b−1,
在哪里C是归一化常数,它是使用众所周知的积分找到的

∫一个b(X−一个)一个−1(b−X)b−1dX=(b−一个)一个+b−1乙(一个,b).
这些与 Berstein 型基函数有关是ķn(X;一个,b,米)=(米 ķ)(X−一个)ķ(b− X)n−ķ/(b−一个)米[147]. 它们的截断和大小偏差版本用于多个工程领域。

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这是伽马分布的一个特例米=1. 它减少到均匀(矩形)分布在(0,1)为了一个=b=1. 三角形分布结果为一个=1和b=2, 或相反亦然。什么时候一个=b=1/2,该分布简化为第一类反正弦分布(第 5 章)。如果b=1和一个≠1, 它简化为幂级数分布F(X;一个)=一个X一个−1使用结果Γ(一个+1)=一个∗Γ(一个). 当得到 J 形分布时一个或者b小于一。如果X和是是随参数分布的 IID gamma一个和b, 比例从=X/(X+是)是 Beta-I(一个,b)分散式。如果Xķ′s 是 IID Beta-I(2ķ−12n,12n)随机变量,它们的几何平均值(GM)的分布是=(∏ķ=1nXķ)17nSASD-I 是否分发(第 5 章)用于n≥2([90],[22]). 这有解释为 Beta-I 的 GM(2ķ−12n,12n)随机变量收敛于反正弦定律,而 AM 趋于正态定律(中心极限定理)。作为χ2分布是伽马分布的一个特例,类似的结果如下从=χ米2/(χ米2+χn2)∼贝塔−我(米/2,n/2)

作为(χ米2+χn2)独立于从, 上述结果可以概括如下: 如果X1,X2,…Xn是具有零均值和方差的 IID 正态变量σķ2, 然后从1=X12/(X12+ X22),从2=(X12+X22)/(X12+X22+X32), 等等是相互独立的 beta 随机变量。如果X有一个F(米,n)分布,那么是=(米/n)X/[1+(米/n)X]是 beta 分布的。贝塔分布也与学生的吨转型下的分布X=1/(1+吨2/n). 相似地,是=−日志⁡(X)有PDF

F(是;一个,b)=经验⁡(−一个是)(1−经验⁡(−是))b−1
和是=X/(1−X)导致 beta-prim 分布(第 48 页)。Roy 的正特征值θ最大限度-MANOVA 中使用的标准在以下情况下具有 Beta-I 分布s=最大限度(p,nH)=1, 在哪里p是维度和nH是假设的自由度。

问题 4.1 证明乙(一个+1,b)=[一个/(一个+b)]乙(一个,b)在哪里乙(一个,b)表示 CBF。什么是价值乙(.5,.5) ?

问题 4.2 如果X∼贝塔−我(一个,b),求分布是=(1−X)/X,并获得其均值和方差。寻找平凡的时刻。

问题 4.3 如果X和是是独立的伽马随机变量 GAMMA(一个,λ)和伽玛⁡(b,λ),然后证明X/(X+是)是贝塔⁡(一个,b)

问题 4.4 验证是否F(X;C,d)=(1+X)C−1(1−X)d−1/[2C+d−1 乙(C,d)]是一个PDF−1<X<1, 在哪里乙(C,d)是完整的 beta 函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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