统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST30020

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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST30020

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Validity of ℓ1 minimization in the noiseless case

The minimal requirement on sensing matrix $A$ which makes $\ell_{1}$ minimization valid is to guarantee the correct recovery of exactly s-sparse signals in the noiseless case, and we start with investigating this property.
1.2.1.1 Notational convention
From now on, for a vector $x \in \mathbf{R}^{n}$

  • $I_{x}=\left{j: x_{j} \neq 0\right}$ stands for the support of $x$; we also set
    $$
    I_{x}^{+}=\left{j: x_{j}>0\right}, I_{x}^{-}=\left{j: x_{j}<0\right} \quad\left[\Rightarrow I_{x}=I_{x}^{+} \cup I_{x}^{-}\right]
    $$
  • for a subset $I$ of the index set ${1, \ldots, n}, x_{I}$ stands for the vector obtained from $x$ by zeroing out entries with indices not in $I$, and $I^{o}$ for the complement of $I$ :
    $$
    I^{o}={i \in{1, \ldots, n}: i \notin I}
    $$
  • for $s \leq n, x^{s}$ stands for the vector obtained from $x$ by zeroing out all but the $s$
  • entries largest in magnitude. ${ }^{5}$ Note that $x^{s}$ is the best $s$-sparse approximation of $x$ in all $\ell_{p}$ norms, $1 \leq p \leq \infty$;
  • for $s \leq n$ and $p \in[1, \infty]$, we set
    $$
    |x|_{s, p}=\left|x^{s}\right|_{p}
    $$
    note that $|\cdot|_{s, p}$ is a norm.
    $1.2 .1 .2 \mathrm{~s}$-Goodness
    Definition of $s$-goodness. Let us say that an $m \times n$ sensing matrix $A$ is $s$-good if whenever the true signal $x$ underlying noiseless observations is $s$-sparse, this signal will be recovered exactly by $\ell_{1}$ minimization. In other words, $A$ is $s$-good if whenever $y$ in (1.4) is of the form $y=A x$ with s-sparse $x, x$ is the unique optimal solution to (1.4).

Nullspace property. There is a simply-looking necessary and sufficient condition for a sensing matrix $A$ to be $s$-good-the nullspace property originating from $[70]$. After this property is guessed, it is easy to see that it indeed is necessary and sufficient for $s$-goodness; we, however, prefer to derive this condition from the “first principles,” which can be easily done via Convex Optimization. Thus, in the case in question, as in many other cases, there is no necessity to be smart to arrive at the truth via a “lucky guess”; it suffices to be knowledgeable and use the standard tools.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Imperfect ℓ1 minimization

We have found a necessary and sufficient condition for $\ell_{1}$ minimization to recover exactly s-sparse signals in the noiseless case. More often than not, both these assumptions are violated: instead of $s$-sparse signals, we should speak about “nearly $s$-sparse” ones, quantifying the deviation from sparsity by the distance from the signal $x$ underlying the observations to its best $s$-sparse approximation $x^{s}$. Similarly, we should allow for nonzero observation noise. With noisy observations and/or imperfect sparsity, we cannot hope to recover the signal exactly. All we may hope for, is to recover it with some error depending on the level of observation noise and “deviation from s-sparsity,” and tending to zero as the level and deviation tend to 0 . We are about to quantify the nullspace property to allow for instructive “error analysis.”

By itself, the nullspace property says something about the signals from the kernel of the sensing matrix. We can reformulate it equivalently to say something important about all signals. Namely, observe that given sparsity $s$ and $\kappa \in(0,1 / 2)$, the nullspace property
$$
|w|_{s, 1} \leq \kappa|w|_{1} \forall w \in \operatorname{Ker} A
$$
is satisfied if and only if for a properly selected constant $C$ one has ${ }^{6}$
$$
|w|_{s, 1} \leq C|A w|_{2}+\kappa|w|_{1} \forall w .
$$
Indeed, (1.10) clearly implies (1.9); to get the inverse implication, note that for every $h$ orthogonal to Ker $A$ it holds
$$
|A h|_{2} \geq \sigma|h|_{2},
$$
where $\sigma>0$ is the minimal positive singular value of $A$. Now, given $w \in \mathbf{R}^{n}$, we can decompose $w$ into the sum of $\tilde{w} \in \operatorname{Ker} A$ and $h \in(\operatorname{Ker} A)^{\perp}$, so that
$$
\begin{aligned}
&|w|_{s, 1} \leq|\bar{w}|_{s, 1}+|h|_{s, 1} \leq \kappa|\bar{w}|_{1}+\sqrt{s}|h|_{s, 2} \leq \kappa\left[|w|_{1}+|h|_{1}\right]+\sqrt{s}|h|_{2} \
&\leq \kappa|w|_{1}+[\kappa \sqrt{n}+\sqrt{s}]|h|_{2} \leq \underbrace{\sigma^{-1}[\kappa \sqrt{n}+\sqrt{s}]}{C} \underbrace{|A h|{2}}{-|A w|{2}}+\kappa|w|_{1},
\end{aligned}
$$
as required in (1.10).

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Regular ℓ1 recovery

Given the observation scheme (1.1) with an $m \times n$ sensing matrix $A$, we define the regular $\ell_{1}$ recovery of $x$ via observation $y$ as
$$
\widehat{x}{\text {reg }}(y) \in \underset{u}{\operatorname{Argmin}}\left{|u|{1}:\left|H^{T}(A u-y)\right| \leq \rho\right},
$$
where the contrast matrix $H \in \mathbf{R}^{m \times N}$, the norm $|\cdot|$ on $\mathbf{R}^{N}$ and $\rho>0$ are parameters of the construction.
The role of $\mathbf{Q}$-conditions we have introduced is clear from the following
Theorem 1.3. Let $s$ be a positive integer, $q \in[1, \infty]$ and $\kappa \in(0,1 / 2)$. Assume that a pair $(H,|\cdot|)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$ associated with $A$, and let $$ \Xi{\rho}=\left{\eta:\left|H^{T} \eta\right| \leq \rho\right} .
$$
Then for all $x \in \mathbf{R}^{n}$ and $\eta \in \Xi_{\rho}$ one has
$$
\left|\widehat{x}{\text {reg }}(A x+\eta)-x\right|{p} \leq \frac{4(2 s)^{\frac{1}{p}}}{1-2 \kappa}\left[\rho+\frac{\left|x-x^{s}\right|_{1}}{2 s}\right], 1 \leq p \leq q .
$$
The above result can be slightly strengthened by replacing the assumption that $(H,|\cdot|)$ satisfies $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$ with some $\kappa<1 / 2$, with a weaker-by observation $\mathbf{A}$ from Section 1.2.2.1 – assumption that $(H,|\cdot|)$ satisfies $\mathbf{Q}{1}(s, \varkappa)$ with $\varkappa<1 / 2$ and satisfies $\mathbf{Q}_{q}(s, \kappa)$ with some (perhaps large) $\kappa$ :

Theorem 1.4. Given $A$, integer $s>0$, and $q \in[1, \infty]$, assume that $(H,|\cdot|)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}{1}(s, \varkappa)$ with $\varkappa<1 / 2$ and the condition $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$ with some $\kappa \geq \varkappa$, and let $\Xi_{\rho}$ be given by (1.14). Then for all $x \in \mathbf{R}^{n}$ and $\eta \in \Xi_{\rho}$ it holds:
$$
\left|\widehat{x}{\text {reg }}(A x+\eta)-x\right|{p} \leq \frac{4(2 s)^{\frac{1}{p}}[1+\kappa-x]^{\frac{q(p-1)}{p(q-1)}}}{1-2 \varkappa}\left[\rho+\frac{\left|x-x^{s}\right|_{1}}{2 s}\right], 1 \leq p \leq q
$$
For proofs of Theorems $1.3$ and 1.4, see Section 1.5.1.
Before commenting on the above results, let us present their alternative versions.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|MAST30020

统计推断代考

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Validity of ℓ1 minimization in the noiseless case

对传感矩阵的最低要求一个这使得ℓ1最小化有效是为了保证在无噪声情况下正确恢复精确的 s-sparse 信号,我们从研究这个属性开始。
1.2.1.1 符号约定
从现在开始,对于向量X∈Rn

  • I_{x}=\left{j: x_{j} \neq 0\right}I_{x}=\left{j: x_{j} \neq 0\right}代表支持X; 我们还设置
    I_{x}^{+}=\left{j: x_{j}>0\right}, I_{x}^{-}=\left{j: x_{j}<0\right} \quad\左[\Rightarrow I_{x}=I_{x}^{+} \cup I_{x}^{-}\right]I_{x}^{+}=\left{j: x_{j}>0\right}, I_{x}^{-}=\left{j: x_{j}<0\right} \quad\左[\Rightarrow I_{x}=I_{x}^{+} \cup I_{x}^{-}\right]
  • 对于一个子集我索引集的1,…,n,X我代表从获得的向量X通过将索引不在的条目清零我, 和我○为补我 :
    我○=一世∈1,…,n:一世∉我
  • 为了s≤n,Xs代表从获得的向量X通过清零除s
  • 数量级最大的条目。5注意Xs是最好的s-稀疏近似X在所有ℓp规范,1≤p≤∞;
  • 为了s≤n和p∈[1,∞], 我们设置
    |X|s,p=|Xs|p
    注意|⋅|s,p是一种规范。
    1.2.1.2 s-善良
    的定义s-善良。让我们说一个米×n传感矩阵一个是s-只要有真实信号就好了X基本的无噪声观察是s-sparse,这个信号将完全恢复ℓ1最小化。换句话说,一个是s- 好,如果任何时候是(1.4) 中的形式为是=一个Xs-稀疏的X,X是 (1.4) 的唯一最优解。

零空间属性。传感矩阵有一个简单的充要条件一个成为s-good- 源自的 nullspace 属性[70]. 猜到这个性质后,不难看出它确实是必要且充分的s-善良;然而,我们更喜欢从“第一原理”中推导出这个条件,这可以通过凸优化轻松完成。因此,在所讨论的案例中,就像在许多其他案例中一样,没有必要聪明地通过“幸运的猜测”得出真相;知识渊博并使用标准工具就足够了。

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Imperfect ℓ1 minimization

我们找到了一个充要条件ℓ1最小化以在无噪声情况下准确恢复 s 稀疏信号。很多时候,这两个假设都被违反了:而不是s-稀疏信号,我们应该谈论“几乎s-sparse”,通过与信号的距离来量化与稀疏度的偏差X将观察结果置于最佳状态s-稀疏近似Xs. 同样,我们应该允许非零观测噪声。对于嘈杂的观察和/或不完美的稀疏性,我们不能希望准确地恢复信号。我们所希望的只是根据观察噪声的水平和“偏离 s 稀疏性”的一些错误来恢复它,并且随着水平和偏差趋于 0 而趋于零。我们即将量化零空间属性,以进行指导性的“错误分析”。

就其本身而言,零空间属性说明了来自传感矩阵内核的信号。我们可以等效地重新表述它,以说明所有信号的重要内容。即,观察给定的稀疏性s和ķ∈(0,1/2), 零空间属性

|在|s,1≤ķ|在|1∀在∈克尔⁡一个
当且仅当对于正确选择的常数时才满足C一个有6

|在|s,1≤C|一个在|2+ķ|在|1∀在.
事实上,(1.10)清楚地暗示了(1.9);要获得反推,请注意,对于每个H正交于 Ker一个它拥有

|一个H|2≥σ|H|2,
在哪里σ>0是的最小正奇异值一个. 现在,给定在∈Rn,我们可以分解在成总和在~∈克尔⁡一个和H∈(克尔⁡一个)⊥, 以便

|在|s,1≤|在¯|s,1+|H|s,1≤ķ|在¯|1+s|H|s,2≤ķ[|在|1+|H|1]+s|H|2 ≤ķ|在|1+[ķn+s]|H|2≤σ−1[ķn+s]⏟C|一个H|2⏟−|一个在|2+ķ|在|1,
根据(1.10)中的要求。

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Regular ℓ1 recovery

给定观察方案(1.1)米×n传感矩阵一个,我们定义正则ℓ1恢复X通过观察是作为

\widehat{x}{\text {reg }}(y) \in \underset{u}{\operatorname{Argmin}}\left{|u|{1}:\left|H^{T}(A uy )\对| \leq \rho\right},\widehat{x}{\text {reg }}(y) \in \underset{u}{\operatorname{Argmin}}\left{|u|{1}:\left|H^{T}(A uy )\对| \leq \rho\right},
其中对比矩阵H∈R米×ñ, 规范|⋅|上Rñ和ρ>0是构造参数。
的作用问-我们引入的条件从下面的
定理 1.3 中可以清楚地看出。让s为正整数,q∈[1,∞]和ķ∈(0,1/2). 假设一对(H,|⋅|)满足条件问q(s,ķ)有关联一个, 然后让

\Xi{\rho}=\left{\eta:\left|H^{T} \eta\right| \leq \rho\right} 。\Xi{\rho}=\left{\eta:\left|H^{T} \eta\right| \leq \rho\right} 。
那么对于所有人X∈Rn和这∈Xρ一个有

|X^注册 (一个X+这)−X|p≤4(2s)1p1−2ķ[ρ+|X−Xs|12s],1≤p≤q.
通过替换假设可以稍微加强上述结果(H,|⋅|)满足问q(s,ķ)和一些ķ<1/2, 通过较弱的观察一个来自第 1.2.2.1 节——假设(H,|⋅|)满足问1(s,ε)和ε<1/2并满足问q(s,ķ)有一些(可能很大)ķ :

定理 1.4。给定一个, 整数s>0, 和q∈[1,∞], 假使,假设(H,|⋅|)满足条件问1(s,ε)和ε<1/2和条件问q(s,ķ)和一些ķ≥ε, 然后让Xρ由 (1.14) 给出。那么对于所有人X∈Rn和这∈Xρ它拥有:

|X^注册 (一个X+这)−X|p≤4(2s)1p[1+ķ−X]q(p−1)p(q−1)1−2ε[ρ+|X−Xs|12s],1≤p≤q
定理证明1.3和 1.4,见第 1.5.1 节。
在评论上述结果之前,让我们介绍他们的替代版本。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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