统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|STATS 2107

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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。

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  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|STATS 2107

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|VERIFIABILITY AND TRACTABILITY ISSUES

The good news about $\ell_{1}$ recovery stated in Theorems $1.3,1.4$, and $1.5$ is “conditional”-we assume that we are smart enough to point out a pair $(H,|\cdot|)$ satisfying condition $\mathbf{Q}{1}(s, \varkappa)$ with $\varkappa<1 / 2$ (and condition $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$ with a “moderate” $\varkappa{ }^{8}$ ). The related issues are twofold:

  1. First, we do not know in which range of $s, m$, and $n$ these conditions, or even the weaker than $\mathrm{Q}{1}(s, \varkappa), \varkappa<1 / 2$, nullspace property can be satisfied; and without the nullspace property, $\ell{1}$ minimization becomes useless, at least when we want to guarantee its validity whatever be the s-sparse signal we want to recover;
  2. Second, it is unclear how to verify whether a given sensing matrix $A$ satisfies the nullspace property for a given $s$, or a given pair $(H,|\cdot|)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}_{q}(s, \kappa)$ with given parameters.
    What is known about these crucial issues can be outlined as follows.
  3. It is known that for given $m, n$ with $m \ll n$ (say, $m / n \leq 1 / 2$ ), there exist $m \times n$ sensing matrices which are $s$-good for the values of $s$ “nearly as large as $m, “$ specifically, for $s \leq O(1) \frac{m}{\ln (n / m)} \cdot{ }^{9}$ Moreover, there are natural families of matrices where this level of goodness “is a rule.” E.g., when drawing an $m \times n$ matrix at random from Gaussian or Rademacher distributions (i.e., when filling the matrix with independent realizations of a random variable which is either a standard (zero mean, unit variance) Gaussian one, or takes values $\pm 1$ with probabilities $0.5$ ), the result will be $s$-good, for the outlined value of $s$, with probability approaching 1 as $m$ and $n$ grow. All this remains true when instead of speaking about matrices $A$ satisfying “plain” nullspace properties, we are speaking about matrices $A$ for which it is easy to point out a pair $(H,|\cdot|)$ satisfying the condition $\mathrm{Q}_{2}(s, \varkappa)$ with, say, $\varkappa=1 / 4$.

The above results can be considered as a good news. A bad news is that we do not know how to check efficiently, given an $s$ and a sensing matrix $A$, that the matrix is s-good, just as we do not know how to check that $A$ admits good (i.e., satisfying $\mathbf{Q}_{1}(s, \psi)$ with $\left.\varkappa<1 / 2\right)$ pairs $(H,|\cdot|)$. Even worse: we do not know an efficient recipe allowing us to build, given $m$, an $m \times 2 m$ matrix $A^{m}$ which is provably s-good for $s$ larger than $O(1) \sqrt{m}$, which is a much smaller “level of goodness” than the one promised by theory for randomly generated matrices. 10 The “common life” analogy of this situation would be as follows: you know that $90 \%$ of bricks in your wall are made of gold, and at the same time, you do not know how to tell a golden brick from a usual one.

  1. There exist verifiable sufficient conditions for $s$-goodness of a sensing matrix, similarly to verifiable sufficient conditions for a pair $(H,|\cdot|)$ to satisfy condition $\mathbf{Q}_{q}(s, \kappa)$. The bad news is that when $m \ll n$, these verifiable sufficient conditions can be satisfied only when $s \leq O(1) \sqrt{m}$ – once again, in a much more narrow range of values of $s$ than when typical randomly selected sensing matrices are $s$-good. In fact, $s=O(\sqrt{m})$ is so far the best known sparsity level for which we know individual $s$-good $m \times n$ sensing matrices with $m \leq n / 2$.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Restricted Isometry Property and s-goodness of random matrices

There are several sufficient conditions for $s$-goodness, equally difficult to verify, but provably satisfied for typical random sensing matrices. The best known of them is the Restricted Isometry Property (RIP) defined as follows:

Definition 1.6. Let $k$ be an integer and $\delta \in(0,1)$. We say that an $m \times n$ sensing matrix A possesses the Restricted Isometry Property with parameters $\delta$ and $k$, $\operatorname{RIP}(\delta, k)$, if for every $k$-sparse $x \in \mathbf{R}^{n}$ one has
$$
(1-\delta)|x|_{2}^{2} \leq|A x|_{2}^{2} \leq(1+\delta)|x|_{2}^{2} .
$$
It turns out that for natural ensembles of random $m \times n$ matrices, a typical matrix from the ensemble satisfies $\operatorname{RIP}(\delta, k)$ with small $\delta$ and $k$ “nearly as large as $m, “$ and that $\operatorname{RIP}\left(\frac{1}{6}, 2 s\right)$ implies the nullspace condition, and more. The simplest versions of the corresponding results are as follows.

Proposition 1.7. Given $\delta \in\left(0, \frac{1}{5}\right]$, with properly selected positive $c=c(\delta), d=$ $d(\delta), f=f(\delta)$ for all $m \leq n$ and all positive integers $k$ such that
$$
k \leq \frac{m}{c \ln (n / m)+d}
$$
the probability for a random $m \times n$ matrix $A$ with independent $\mathcal{N}\left(0, \frac{1}{m}\right)$ entries to satisfy $\operatorname{RIP}(\delta, k)$ is at least $1-\exp {-f m}$.
For proof, see Section 1.5.3.
Proposition 1.8. Let $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$ satisfy $\operatorname{RIP}(\delta, 2 s)$ for some $\delta<1 / 3$ and positive integer s. Then
(i) The pair $\left(H=\frac{s^{-1 / 2}}{\sqrt{1-\delta}} I_{m},|\cdot|_{2}\right)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}{2}\left(s, \frac{\delta}{1-\delta}\right)$ associated with $A$; (ii) The pair $\left(H=\frac{1}{1-\delta} A,|\cdot|{\infty}\right)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}_{2}\left(s, \frac{\delta}{1-\delta}\right)$ associated with $A$.
For proof, see Section 1.5.4.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Verifiable sufficient conditions for Qq

When speaking about verifiable sufficient conditions for a pair $(H,|\cdot|)$ to satisfy $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$, it is convenient to restrict ourselves to the case where $H$, like $A$, is an $m \times n$ matrix, and $|\cdot|=|\cdot|{\infty}$

Proposition 1.9. Let $A$ be an $m \times n$ sensing matrix, and $s \leq n$ be a sparsity level.

Given an $m \times n$ matrix $H$ and $q \in[1, \infty]$, let us set
$$
\nu_{s, q}[H]=\max {j \leq n}\left|\operatorname{Col}{j}\left[I-H^{T} A\right]\right|_{s, q}
$$
where $\mathrm{Col}{j}[C]$ is $j$-th column of matrix $C$. Then $$ |w|{s, q} \leq s^{1 / q}\left|H^{T} A w\right|_{\infty}+\nu_{s, q}[H]|w|_{1} \forall w \in \mathbf{R}^{n}
$$
implying that the pair $\left(H,|\cdot|_{\infty}\right)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}{q}\left(s, s^{1-\frac{1}{q}} \nu{s, q}[H]\right)$.
Proof is immediate. Setting $V=I-H^{T} A$, we have
$$
\begin{aligned}
&|w|_{s, q}=\left|\left[H^{T} A+V\right] w\right|_{s, q} \leq\left|H^{T} A w\right|_{s, q}+|V w|_{s, q} \
&\leq s^{1 / q}\left|H^{T} A w\right|_{\infty}+\sum_{j} \mid w_{j}\left|\operatorname{Col}{j}[V]\right|{s, q} \leq s^{1 / q}\left|H^{T} A\right|_{\infty}+\nu_{s, q}[H]|w|_{1}
\end{aligned}
$$
Observe that the function $\nu_{s, q}[H]$ is an efficiently computable convex function of $H$, so that the set
$$
\mathcal{H}{s, q}^{\kappa}=\left{H \in \mathbf{R}^{m \times n}: \nu{s, q}[H] \leq s^{\frac{1}{q}-1} \kappa\right}
$$
is a computationally tractable convex set. When this set is nonempty for some $\kappa<1 / 2$, every point $H$ in this set is a contrast matrix such that $\left(H,\left|^{-}\right|_{\infty}\right)$ satisfies the condition $\mathbf{Q}{q}(s, \kappa)$, that is, we can find contrast matrices making $\ell{1}$ minimization valid. Moreover, we can design contrast matrix, e.g., by minimizing over $\mathcal{H}{s, q}^{\kappa}$ the function $|H|{1,2}$, thus optimizing the sensitivity of the corresponding $\ell_{1}$ recoveries to Gaussian observation noise; see items $\mathbf{C}, \mathbf{D}$ in Section 1.2.5.

Explanation. The sufficient condition for s-goodness of $A$ stated in Proposition $1.9$ looks as if coming out of thin air; in fact it is a particular case of a simple and general construction as follows. Let $f(x)$ be a real-valued convex function on $\mathbf{R}^{n}$, and $X \subset \mathbf{R}^{n}$ be a nonempty bounded polytope represented as
$$
X=\left{x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}: A x=0\right},
$$
where $\operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}=\left{\sum_{i} \lambda_{i} g_{i}: \lambda \geq 0, \sum_{i} \lambda_{i}=1\right}$ is the convex hull of vectors $g_{1}, \ldots, g_{N}$. Our goal is to upper-bound the maximum Opt $=\max {x \in X} f(x)$; this is a meaningful problem, since precisely maximizing a convex function over a polyhedron typically is a computationally intractable task. Let us act as follows: clearly, for any matrix $H$ of the same size as $A$ we have $\max {x \in X} f(x)=$ $\max {x \in X} f\left(\left[I-H^{T} A\right] x\right)$, since on $X$ we have $\left[I-H^{T} A\right] x=x$. As a result, $$ \begin{aligned} \text { Opt } &:=\max {x \in X} f(x)=\max {x \in X} f\left(\left[I-H^{T} A\right] x\right) \ & \leq \max {x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}} f\left(\left[I-H^{T} A\right] x\right) \
&=\max {j \leq N} f\left(\left[I-H^{T} A\right] g{j}\right)
\end{aligned}
$$
We get a parametric – the parameter being $H$ – upper bound on Opt, namely, the bound $\max {j \leq N} f\left(\left[I-H^{T} A\right] g{j}\right)$. This parametric bound is convex in $H$, and thus is well suited for minimization over this parameter.

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统计推断代考

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|VERIFIABILITY AND TRACTABILITY ISSUES

关于的好消息ℓ1定理中所述的恢复1.3,1.4, 和1.5是“有条件的”——我们假设我们足够聪明,可以指出一对(H,|⋅|)满足条件问1(s,ε)和ε<1/2(和条件问q(s,ķ)带有“中度”ε8)。相关问题有两个:

  1. 首先,我们不知道在哪个范围内s,米, 和n这些条件,甚至弱于问1(s,ε),ε<1/2, 可以满足零空间性质;并且没有 nullspace 属性,ℓ1最小化变得无用,至少当我们想要保证它的有效性时,无论我们想要恢复的 s-sparse 信号是什么;
  2. 二、不清楚如何验证给定的传感矩阵是否一个满足给定的零空间属性s,或给定的一对(H,|⋅|)满足条件问q(s,ķ)给定参数。
    对这些关键问题的了解可以概括如下。
  3. 众所周知,对于给定米,n和米≪n(说,米/n≤1/2), 存在米×n传感矩阵是s- 有利于价值观s“差不多大米,“具体来说,对于s≤○(1)米ln⁡(n/米)⋅9此外,在某些自然矩阵族中,这种良好程度“是一种规则”。例如,当绘制一个米×n从高斯或 Rademacher 分布中随机生成矩阵(即,当用随机变量的独立实现填充矩阵时,该随机变量要么是标准(零均值,单位方差)高斯变量,要么取值±1有概率0.5),结果将是s-好,对于概述的价值s, 概率接近 1 为米和n生长。当不谈论矩阵时,所有这些都是正确的一个满足“普通”零空间属性,我们正在谈论矩阵一个很容易指出一对(H,|⋅|)满足条件问2(s,ε)与,说,ε=1/4.

上述结果可以认为是一个好消息。一个坏消息是我们不知道如何有效地检查,给定一个s和传感矩阵一个,矩阵是 s-good,就像我们不知道如何检查一个承认好(即满足问1(s,ψ)和ε<1/2)对(H,|⋅|). 更糟糕的是:我们不知道一个有效的配方允许我们构建,给定米, 一个米×2米矩阵一个米可以证明这对s比大○(1)米,这是一个比理论所承诺的随机生成矩阵小得多的“善良水平”。10 这种情况的“普通生活”类比如下:你知道90%你墙上的砖块是金做的,同时,你不知道如何区分金砖和普通砖。

  1. 存在可验证的充分条件s- 感知矩阵的优度,类似于一对可验证的充分条件(H,|⋅|)满足条件问q(s,ķ). 坏消息是,当米≪n, 这些可验证的充分条件只有在s≤○(1)米– 再一次,在一个更窄的值范围内s比当典型的随机选择的传感矩阵是s-好的。实际上,s=○(米)是迄今为止我们知道的最知名的稀疏度水平s-好的米×n传感矩阵米≤n/2.

统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Restricted Isometry Property and s-goodness of random matrices

有几个充分条件s-goodness,同样难以验证,但可证明对典型的​​随机传感矩阵感到满意。其中最著名的是受限等距属性 (RIP),其定义如下:

定义 1.6。让ķ是一个整数并且d∈(0,1). 我们说一个米×n传感矩阵 A 具有带参数的受限等距性质d和ķ, RIP⁡(d,ķ), 如果对于每个ķ-疏X∈Rn一个有

(1−d)|X|22≤|一个X|22≤(1+d)|X|22.
事实证明,对于随机的自然集合米×n矩阵,来自集成的典型矩阵满足RIP⁡(d,ķ)与小d和ķ“差不多大米,“然后RIP⁡(16,2s)意味着零空间条件等等。对应结果的最简单版本如下。

提案 1.7。给定d∈(0,15],正确选择正面C=C(d),d= d(d),F=F(d)对所有人米≤n和所有正整数ķ这样

ķ≤米Cln⁡(n/米)+d
随机的概率米×n矩阵一个与独立ñ(0,1米)满足的条目RIP⁡(d,ķ)至少是1−经验⁡−F米.
有关证明,请参见第 1.5.3 节。
提案 1.8。让一个∈R米×n满足RIP⁡(d,2s)对于一些d<1/3和正整数 s。然后
(i) 对(H=s−1/21−d我米,|⋅|2)满足条件问2(s,d1−d)有关联一个; (ii) 对(H=11−d一个,|⋅|∞)满足条件问2(s,d1−d)有关联一个.
有关证明,请参见第 1.5.4 节。

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当谈到一对可验证的充分条件时(H,|⋅|)为了满足问q(s,ķ), 将我们限制在以下情况是很方便的H, 喜欢一个, 是一个米×n矩阵,和|⋅|=|⋅|∞

提案 1.9。让一个豆米×n传感矩阵,和s≤n成为稀疏级别。

给定一个米×n矩阵H和q∈[1,∞], 让我们设置

νs,q[H]=最大限度j≤n|科尔⁡j[我−H吨一个]|s,q
在哪里C○lj[C]是j- 矩阵的第 列C. 然后

|在|s,q≤s1/q|H吨一个在|∞+νs,q[H]|在|1∀在∈Rn
暗示这对(H,|⋅|∞)满足条件问q(s,s1−1qνs,q[H]).
证明是立竿见影的。环境在=我−H吨一个, 我们有

|在 $|s, q=|\left[H\right.$ 吨一个+在] 在 $|s, q \leq| H$ 吨一个在 $|s, q+|$ 在在 $|s, q \leq s 1 / q| H$ 吨一个在 $\left|\infty+\sum j\right|$ 在j $\mid$ 科尔 $j$ [在] $|s, q \leq s 1 / q| H$ 吨 一个 $|\infty+\mathrm{VS}, \mathrm{q}[\mathrm{H}]|$ 在| 1
观察函数 $\mathrm{Vs}, \mathrm{q}[\mathrm{H}]$ 是一个有效可计算的凸函数 $\mathrm{H}$, 使得集合
$\backslash$ mathcal ${H}{\mathrm{s}, \mathrm{q}} \wedge{\backslash k a p p a}=\backslash \operatorname{left}\left{\mathrm{H} \backslash\right.$ in $\backslash$ mathbf ${\mathrm{R}} \wedge{\mathrm{m} \backslash$ Itimes $\mathrm{n}}: \backslash \operatorname{Inu}{\mathrm{s}, \mathrm{q}}[\mathrm{H}] \backslash$ leq $\mathrm{s}^{\wedge}{\backslash$ frac ${1}{\mathrm{q}}-1}$
$\backslash$ kappalright $}$ \mathcal ${H}{s, q} \wedge{\backslash k a p p a}=\backslash$ eft ${H \backslash$ in $\backslash$ mathbf ${R} \wedge{m \backslash t i m e s ~ n}:$ lkappatright
是一个计算上易处理的凸集。当这个集合对某些人来说是非空的 $k<1 / 2$ ,每个点 $\mathrm{H}$ 在这个集合中是一个对比矩阵,使得 $(H,|-| \infty)$ 满足条件问 $q(s, k)$ ,也就是说,我们可以找到对比矩阵 1 最小化有效。此外,我们可以设计对比度矩阵,例 如,通过最小化 $\mathrm{Hs}, \mathrm{qk}$ 功能 $|\mathrm{H}| 1,2$ ,从而优化相应的灵敏度 1 恢复到高斯观测噪声;查看项目C,D在第 $1.2 .5$ 节中。

解释。s-goodness 的充分条件一个提案中所述1.9看起来像是凭空而来;事实上,它是一个简单而通用的构造的特例,如下所示。让F(X)是一个实值凸函数Rn, 和X⊂Rn是一个非空有界多面体,表示为

X=\left{x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}: A x=0\right},X=\left{x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}: A x=0\right},
在哪里\operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}=\left{\sum_{i} \lambda_{i} g_{i}: \lambda \geq 0, \sum_ {i} \lambda_{i}=1\right}\operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}=\left{\sum_{i} \lambda_{i} g_{i}: \lambda \geq 0, \sum_ {i} \lambda_{i}=1\right}是向量的凸包G1,…,Gñ. 我们的目标是限制最大 Opt=最大限度X∈XF(X); 这是一个有意义的问题,因为在多面体上精确地最大化凸函数通常是一项计算上难以处理的任务。让我们采取如下行动:显然,对于任何矩阵H大小相同一个我们有最大限度X∈XF(X)= 最大限度X∈XF([我−H吨一个]X), 从X我们有[我−H吨一个]X=X. 因此,

\begin{aligned} \text { Opt } &:=\max {x \in X} f(x)=\max {x \in X} f\left(\left[IH^{T} A\right] x\right) \ & \leq \max {x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}} f\left(\left[IH^{T} A\right] x\right) \ &=\max {j \leq N} f\left(\left[IH^{T} A\right] g{j}\right) \end{aligned}\begin{aligned} \text { Opt } &:=\max {x \in X} f(x)=\max {x \in X} f\left(\left[IH^{T} A\right] x\right) \ & \leq \max {x \in \operatorname{Conv}\left{g_{1}, \ldots, g_{N}\right}} f\left(\left[IH^{T} A\right] x\right) \ &=\max {j \leq N} f\left(\left[IH^{T} A\right] g{j}\right) \end{aligned}
我们得到一个参数——参数是H– Opt 的上界,即上界最大限度j≤ñF([我−H吨一个]Gj). 这个参数界限是凸的H,因此非常适合最小化此参数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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