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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Formal Derivation of Amplitude Equations
In this section, we discuss the formal derivation of amplitude equations and higher order corrections. Therefore, we use multiple scale analysis to reduce the equation to the essential dynamics, which involves the expansion of all terms in a small parameter. This is well known for many examples. Here we present results described in more detail for quadratic nonlinearities in [Blö05a] and for cubic nonlinearities in [BH04]. For large domains we summarise results of [BHP05] in Section 1.1.4.
Let us consider parabolic semilinear SPDEs or systems of SPDEs perturbed by additive forcing near a change of stability. Let us suppose, that the noise is of the order of the distance from the bifurcation. The use of additive noise is mainly for simplicity of presentation, and it is not very restrictive. We comment on multiplicative noise later in several occasions in Chapter 2. A large body of the research papers are on additive noise, which we will summarise later. In this book simple multiplicative noise is used to present a self-contained introduction to the topic.
The general prototype is an equation of the type
$$
\partial_{t} u=L u+\varepsilon^{2} A u+\mathcal{F}(u)+\varepsilon^{2} \xi,
$$
where
- $L$ is a symmetric non-positive differential operator $\left(\text { e.g. } 1+\partial_{x}^{2}\right)^{2}$ ) with non-zero finite dimensional kernel (or null-space).
- $\varepsilon^{2} A u$ is a small (linear) deterministic perturbation,
- $\mathcal{F}$ is some nonlinearity, for instance a stable cubic like $-u^{3}$.
- $\xi=\xi(t, x)$ is a Gaussian noise in space and time
We later give examples of the noise, which is taken to be white in time and can be either white or coloured in space. To be more precise, suppose that $\xi$ is a generalised Gaussian process such that for mean and correlation
$$
\mathbb{E} \xi(t, x)=0 \quad \text { and } \quad \mathbb{E} \xi(t, x) \xi(s, y)=\delta(t-s) q(x-y)
$$
for some suitable spatial correlation function (or distribution) $q$. If $q$ is the Deltadistribution $\delta$, too, then we call $\xi$ space-time white noise. In this case $\xi=\partial_{t} W$ is the generalised derivative of a cylindrical Wiener-process ${W(t)}_{t \geq 0}$ in a suitable Hilbert space.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Cubic Nonlinearities
One interesting example of an equation with cubic nonlinearity is the SwiftHohenberg equation, which was first used as a toy model for the convective instability in the Rayleigh-Bénard problem (see [SH77] or Section 1.3).
On a formal level for the Swift-Hohenberg equation the derivation of the amplitude equation is well known, see for instance (4.31) or (5.11) in the comprehensive review article [CH93] and references therein. The amplitude equation for (1.3) was already treated in [BMPS01]. But here we follow the presentation from [BH04], taking into account second order corrections.
The formal SPDE is
$$
\partial_{t} u=-(1+\Delta)^{2} u+\varepsilon^{2} \nu u-u^{3}+\varepsilon^{2} \partial_{t} Q W .
$$
It is obviously of the type of $(1.2)$ with $L=-(1+\Delta)^{2}, A=\nu I$ for some $\nu \in[-1,1]$, and $\mathcal{F}(u)=-u^{3}$. We can for instance consider periodic boundary conditions on the domain $[0,2 \pi l]^{d}$ for dimension $d \in \mathbb{N}$ and integer length $l>0$. This is mainly for convenience to ensure that the change of stability is exactly at $\nu=0$. After slight modifications we can also treat non-integer length $l>0$ or non-squared domains.
For the formal derivation in this section we consider an equation of the type (1.2) or (1.3) and assume:
Assumption 1.1 Let ${Q W(t)}_{t \geq 0}$ be a $Q$-Wiener process. This implies especially that ${W(t)}_{t \geq 0}$ and $\left{\varepsilon W\left(\varepsilon^{-2} t\right)\right}_{t \geq 0}$ are in law the same process.
Furthermore, let $\mathcal{F}$ be cubic (i.e. $\mathcal{F}(u)=\mathcal{F}(u, u, u)$ is trilinear).
Denote the kernel (or nullspace) of $L$ by $\mathcal{N}$ and the orthogonal projection onto $\mathcal{N}$ by $P_{c}$. Define $P_{s}=I-P_{c}$.
Then we make the following ansatz:
$$
u(t)=\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\varepsilon^{2} b\left(\varepsilon^{2} t\right)+\varepsilon^{2} \psi(t)+\mathcal{O}\left(\varepsilon^{3}\right)
$$
with $a, b \in \mathcal{N}$ and $\psi \in \mathcal{S}:=\mathcal{N}^{\perp}$ the orthogonal complement of $\mathcal{N}$ in $X$.
This ansatz is motivated by the fact that, due to the linear damping of order one in $\mathcal{S}$, the modes in $\mathcal{S}$ are expected to evolve on time scales of order one, whereas the modes in $\mathcal{N}$ are expected to evolve on much slower time scales of order $\varepsilon^{-2}$, as the linear operator is of order $\varepsilon^{2}$. This is mainly due to the fact that we have a well defined spectral gap of order $\mathcal{O}(1)$ between 0 and the first non-zero eigenvalue together with a small linear perturbation of order $\varepsilon^{2}$.
We do not use lower order terms, as we expect that small solutions stay small. Furthermore, using linear and nonlinear stability, it is possible to verify a priori estimates that rigorously verify that the typical scaling of a solution corresponds to the one prescribed by the ansatz (1.4). The statement is called the attractivity result (cf. Section 1.2).
Let us now come back to the formal derivation. Plugging the ansatz (1.4) into (1.2), rescaling to the slow time-scale $T=\varepsilon^{2} t$ and expanding in orders of $\varepsilon$, we obtain by collecting all terms of order $\varepsilon^{3}$ in $\mathcal{N}$
$$
\partial_{T} a(T)=A_{c} a(T)+\mathcal{F}{c}(a(T))+\partial{T} \beta(T)
$$
Here,
$$
\beta(T)=\varepsilon P_{c} Q W\left(\varepsilon^{-2} T\right), \quad T \geq 0
$$
is a Wiener process in $\mathcal{N}$ with law independent of $\varepsilon$, due to the scaling properties of the Wiener process. We used
$$
A_{c}=P_{c} A \quad \text { and } \quad \mathcal{F}{c}=P{c} \mathcal{F}
$$
for short.
This approximating equation in (1.5) is called amplitude equation, as it can by rewritten to an SDE for the amplitudes of an expansion of $a$ with respect to a basis in $\mathcal{N}$. Results like this well known for many examples in the physics and applied mathematics literature (for example [CH93, (4.31), (5.11)]). Moreover, there are numerous variants of this method. However, most of these results are non-rigorous approximations using this type of formal multi-scale analysis.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Other Types of Nonlinearities
Cubic nonlinearities are not very special, we can extend the simple idea of the previous section, using scaling and projection, to a lot of different types of nonlinearities. If we look at suitable scalings of the noise and the linear (in)stability we obtain in all cases interesting results. If we do not adapt the scaling, we either loose the linear instability or the noise in the amplitude equation.
Suppose for this section that $\mathcal{F}^{(n)}$ is some multi-linear nonlinearity, which is homogeneous of degree $n \in \mathbb{N}$ with $n \geq 2$ (i.e. for $\alpha>0, \mathcal{F}^{(n)}(\alpha u)=\alpha^{n} \mathcal{F}^{(n)}(u)$ ). Then the noise strength in the SPDE $(1.2)$ should be changed to $\sigma^{2}=\varepsilon^{(n+1) /(n-1)}$ instead of $\varepsilon^{2}$. Thus the equation reads in the interesting scaling
$$
\partial_{t} u=L u+\varepsilon^{2} A u+\mathcal{F}^{(n)}(u)+\varepsilon^{(n+1) /(n-1)} \xi .
$$
Now with the ansatz
$$
u(t)=\varepsilon^{2 /(n-1)} a\left(\varepsilon^{2} t\right)+\varepsilon^{(n+1) /(n-1)} \psi(t)+\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2 n /(n-1)}\right)
$$
and a similar formal calculation as in the previous section, we derive the same type of amplitude equation. First collecting all terms of order $\varepsilon^{2 n /(n-1)}$ in $\mathcal{N}$ yields
$$
\partial_{T} a=P_{c} A a+P_{c} \mathcal{F}^{(n)}(a)+\partial_{T} \beta
$$
which now contains a nonlinearity which is homogeneous of degree $n$. The second order correction is exactly the same (cf. $(1.6))$ as in the cubic case, but now it contains all terms in $\mathcal{S}$ of order $\varepsilon^{(n+1) /(n-1)}$.
We will not focus on rigorous results for this type of equations, as they are very similar to the cubic case. After minor modifications one can easily transfer all results to the general case.
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Formal Derivation of Amplitude Equations
在本节中，我们讨论幅度方程的形式推导和高阶校正。因此，我们使用多尺度分析将方程简化为基本动力学，这涉及在一个小参数中扩展所有项。这是众所周知的许多例子。在这里，我们将更详细地描述 [Blö05a] 中的二次非线性和 [BH04] 中的三次非线性的结果。对于大型域，我们在第 1.1.4 节总结了 [BHP05] 的结果。
让我们考虑在稳定性变化附近受到加性强迫扰动的抛物线半线性 SPDE 或 SPDE 系统。让我们假设，噪声是与分叉的距离的数量级。使用加性噪声主要是为了演示的简单性，限制性不是很大。我们稍后会在第 2 章中多次评论乘性噪声。大部分研究论文都是关于加性噪声的，我们将在后面进行总结。在本书中，简单的乘法噪声用于对该主题进行自包含的介绍。
一般原型是类型的方程
∂吨在=大号在+e2一种在+F(在)+e2X,
在哪里
- 大号是一个对称的非正微分算子( 例如 1+∂X2)2) 具有非零有限维内核（或零空间）。
- e2一种在是一个小的（线性）确定性扰动，
- F是一些非线性，例如像一个稳定的立方−在3.
- X=X(吨,X)是空间和时间上的高斯噪声
我们稍后给出噪声的例子，它在时间上被认为是白色的，在空间上可以是白色或彩色的。更准确地说，假设X是一个广义高斯过程，使得对于均值和相关
和X(吨,X)=0 和 和X(吨,X)X(s,是)=d(吨−s)q(X−是)
对于一些合适的空间相关函数（或分布）q. 如果q是 Delta 分布d, 那么我们调用X时空白噪声。在这种情况下X=∂吨在是圆柱维纳过程的广义导数在(吨)吨≥0在合适的希尔伯特空间中。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Cubic Nonlinearities
具有三次非线性的方程的一个有趣示例是 SwiftHohenberg 方程，它首先被用作瑞利-贝纳德问题中对流不稳定性的玩具模型（参见 [SH77] 或第 1.3 节）。
在 Swift-Hohenberg 方程的形式层面上，幅度方程的推导是众所周知的，例如参见综合评论文章 [CH93] 中的 (4.31) 或 (5.11) 以及其中的参考文献。(1.3) 的幅度方程已经在 [BMPS01] 中处理过。但这里我们遵循 [BH04] 的介绍，考虑到二阶修正。
正式的 SPDE 是
∂吨在=−(1+Δ)2在+e2ν在−在3+e2∂吨问在.
它显然属于(1.2)和大号=−(1+Δ)2,一种=ν一世对于一些ν∈[−1,1]， 和F(在)=−在3. 例如，我们可以考虑域上的周期性边界条件[0,2圆周率l]d对于维度d∈ñ和整数长度l>0. 这主要是为了方便保证稳定性的变化正好在ν=0. 稍作修改后，我们也可以处理非整数长度l>0或非平方域。
对于本节中的形式推导，我们考虑（1.2）或（1.3）类型的方程并假设：
假设 1.1 让问在(吨)吨≥0做一个问-维纳过程。这尤其意味着在(吨)吨≥0和\left{\varepsilon W\left(\varepsilon^{-2} t\right)\right}_{t \geq 0}\left{\varepsilon W\left(\varepsilon^{-2} t\right)\right}_{t \geq 0}在法律上是相同的过程。
此外，让F是立方的（即F(在)=F(在,在,在)是三线性的）。
表示内核（或零空间）大号经过ñ和正交投影到ñ经过磷C. 定义磷s=一世−磷C.
然后我们进行以下 ansatz：
在(吨)=e一种(e2吨)+e2b(e2吨)+e2ψ(吨)+这(e3)
和一种,b∈ñ和ψ∈小号:=ñ⊥的正交补ñ在X.
这个 ansatz 的动机是，由于一阶线性阻尼小号, 中的模式小号预计将在 1 阶的时间尺度上演化，而ñ预计将在更慢的时间尺度上发展e−2, 因为线性算子是有序的e2. 这主要是因为我们有一个明确定义的阶谱间隙这(1)在 0 和第一个非零特征值之间以及一个小的线性阶扰动e2.
我们不使用低阶术语，因为我们希望小型解决方案保持较小。此外，使用线性和非线性稳定性，可以验证先验估计，该估计严格验证解的典型缩放对应于 ansatz (1.4) 规定的缩放。该陈述称为吸引力结果（参见第 1.2 节）。
现在让我们回到正式的推导。将 ansatz (1.4) 插入 (1.2)，重新调整到慢时间尺度吨=e2吨并按顺序扩展e，我们通过收集所有的订单条款获得e3在ñ
$$
\partial_{T} a(T)=A_{c} a(T)+\mathcal{F} {c}(a(T))+\partial {T} \beta(T)
H和r和,
\beta(T)=\varepsilon P_{c} QW\left(\varepsilon^{-2} T\right), \quad T \geq 0
一世s一种在一世和n和rpr这C和ss一世n$ñ$在一世吨Hl一种在一世nd和p和nd和n吨这F$e$,d在和吨这吨H和sC一种l一世nGpr这p和r吨一世和s这F吨H和在一世和n和rpr这C和ss.在和在s和d
A_{c}=P_{c} A \quad \text { 和 } \quad \mathcal{F} {c}=P {c} \mathcal{F}
$$
简称。
（1.5）中的这个近似方程称为幅度方程，因为它可以重写为 SDE 的展开的幅度一种关于基础ñ. 这样的结果在物理学和应用数学文献中的许多例子中众所周知（例如 [CH93, (4.31), (5.11)]）。此外，这种方法有许多变体。然而，这些结果中的大多数是使用这种形式的多尺度分析的非严格近似。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Other Types of Nonlinearities
三次非线性不是很特别，我们可以将上一节的简单想法，使用缩放和投影，扩展到许多不同类型的非线性。如果我们查看噪声的合适比例和线性（不）稳定性，我们在所有情况下都会获得有趣的结果。如果我们不调整缩放比例，我们要么失去线性不稳定性，要么失去幅度方程中的噪声。
假设本节F(n)是一些多线性非线性，其程度是齐次的n∈ñ和n≥2（即对于一种>0,F(n)(一种在)=一种nF(n)(在)）。那么 SPDE 中的噪声强度(1.2)应该改为σ2=e(n+1)/(n−1)代替e2. 因此，方程读入了有趣的比例
∂吨在=大号在+e2一种在+F(n)(在)+e(n+1)/(n−1)X.
现在有了 ansatz
在(吨)=e2/(n−1)一种(e2吨)+e(n+1)/(n−1)ψ(吨)+这(e2n/(n−1))
和上一节类似的形式计算，我们推导出同类型的幅度方程。首先收集所有订单条款e2n/(n−1)在ñ产量
∂吨一种=磷C一种一种+磷CF(n)(一种)+∂吨b
它现在包含一个度数均匀的非线性n. 二阶校正是完全一样的（cf.(1.6))与立方情况一样，但现在它包含所有项小号有秩序的e(n+1)/(n−1).
我们不会关注这类方程的严格结果，因为它们与三次情况非常相似。经过小的修改，可以轻松地将所有结果转移到一般情况下。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。