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在数学中，图论是对图的研究，它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点由边（也称为链接或线）连接。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EXERCISES
Color the graph below on the right by reversing the longer section of the two sections of the G-Y Kempe chains from the left graph. Does the coloring of the new graph still satisfy the four-color theorem? Are there any sections of Kempe chains ( $B-G, B-R, B-Y, G-R, G-Y$, or $R-Y$ ) that can’t be reversed in the new graph without causing the new coloring to no longer satisfy the four-color theorem? If so, which sections of which chains? If the coloring of a graph satisfies the four-color theorem and sections of Kempe chains are reversed one at a time, will the new coloring always satisfy the four-color theorem?
The graph below shows a vertex with degree four and two Kempe chains. There are other vertices and edges which aren’t shown. If either Kempe chain A-B or C-D is reversed, E is still surrounded by 4 colors. How can a graph like this can satisfy the four-color theorem?Challenge problem 1: Every MPG is triangulated, meaning that each edge is shared by two triangles. For any MPG, if you choose any of its faces and two other faces that each shares an edge with the first face, you will obtain a structure like that shown below. The partial graph below shows face BCE and two other faces (ABE and CDE) that share an edge with it. (The third face that shares an edge with BCE is not shown. There are also many other vertices and edges in the MPG that are not shown.) Apply Kempe chains to prove that, regardless of what the rest of the MPG looks like, the five vertices shown below can always be colored using no more than four different colors. Since we may apply this argument to any face in any MPG and two of that face’s neighboring faces, does this prove the four-color theorem? Explain.
(Note how this differs from Kempe’s argument for a vertex with degree five – even though every vertex in the diagram above may be degree five or higher – in that there isn’t a central vertex connecting to all five of these vertices. We only need to color the five vertices shown above using four colors, whereas in Kempe’s argument for a vertex with degree five we need to color the five surrounding vertices using three colors. This problem is simpler than Kempe’s problem of the vertex with degree five, since we only need to recolor a single vertex.)
Note: The answer key doesn’t include answers to the challenge problems. These problems are intended to encourage you to think about the ideas.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The partial graph for a MPG
Challenge problem 2: The partial graph for a MPG below shows vertices $X$ and $Y$ with degree five. There are also many other vertices and edges in the MPG that are not shown. Can you apply the concept of Kempe chains to prove that $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ can always be chosen so that both vertices are always four-colorable? Either prove this, or explain why this is impossible or very difficult. Could this proof (if it can be done) be used to prove the four-color theorem? Explain. (The main idea is this: Can you apply Kempe chains to A thru F so that $\mathrm{X}$ and $\mathrm{Y}$ are always four-colorable?)
Note that if you chain A to D and chain A to E, you can reverse F, but don’t need to worry about reversing $Y$ (at least for the first part of the problem, it is free to be chosen as desired).
You should also not only consider the possibility of using Kempe chains to force two vertices connected to either $\mathrm{X}$ or $\mathrm{Y}$ to be different, but should also consider the possibility of using Kempe chains to force one vertex connected to $\mathrm{X}$ and another vertex connected to $\mathrm{Y}$ to be the same color. For example, connecting $\mathrm{B}$ to $\mathrm{F}$ and $\mathrm{C}$ to $\mathrm{E}$, you can force two neighbors of $X$ to be the same colors as two neighbors of $Y$. (Note that there is also the special case where one or both of $\mathrm{E}$ and $\mathrm{F}$ could be the same vertex as B or C, for example.) Note: The answer key doesn’t include answers to the challenge problems. These problems are intended to encourage you to think about the ideas. Challenge problem 3: The MPG below is “nearly four-colored.” One vertex has a fifth color, X. If the edge connecting the two shaded vertices is contracted (see Chapter 6), the graph would then be properly four-colored.
Show that $\mathrm{X}$ can be moved down to the left onto the vertex currently colored Y by reversing the colors of one section of a Kempe chain, allowing the graph to be four-colored. If we try to move $\mathrm{X}$ to the left onto the vertex currently colored $\mathrm{G}$, the analogous color reversal poses a problem. Explain. Is it possible to move $\mathrm{X}$ onto any desired vertex in the entire MPG? Can you prove that such a “nearly four-colored” MPG can always be four-colored by moving $X$ onto a new vertex? Can you use this to prove the four-color theorem?
Note: The answer key doesn’t include answers to the challenge problems. These problems are intended to encourage you to think about the ideas. You may wish to review your ideas for this solution when you read about VS3 in Chapter $18 .$
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|A FEW NOTABLE
The triangle graph has 3 vertices and 3 edges. The triangle graph has the fewest vertices of any MPG, is three-colorable, and its edges make a single complete cycle (a closed chain). It is both a cycle graph (with its edges forming a closed chain) and a complete graph (every vertex connects to all of the other vertices), which is why it may be called $\mathrm{C}{3}$ or $\mathrm{K}{3}$.
The tetrahedral graph has 4 vertices and 6 edges. The tetrahedral graph has the most vertices that a complete graph can have and also be a MPG, and has the most vertices that a complete graph can have and be four-colored.
A pentahedral MPG has 5 vertices and 9 edges. It is the dual of the square pyramid. Recall from Chapter 4 that the dual representation swaps the roles of the vertices and faces between graphs and maps (see the solution to Problem 1 in Chapter 4). If you add edge $\mathrm{AC}$ to the pentahedral graph shown below, it would become the complete graph $\mathrm{K}_{5}$.
There are two structurally different hexahedral MPG’s which have 6 vertices and 12 edges. One of these is the octahedral MPG. (Here, the prefix “octa,” meaning 8, refers to the faces, not the vertices. An octahedron is a polyhedron formed by joining two square pyramids at their square base, such that it has 6 vertices, 12 edges, and 8 triangular faces. It is the dual polyhedron to the cube, which has 8 vertices, 12 edges, and 6 faces. See the solution to Problem 1 in Chapter 4.) The octahedral MPG is the only MPG where every vertex has degree 4 . The other hexahedral MPG has two vertices with degree 5 , two with degree 4 , and two with degree 3 . (In the case of hexahedral, the prefix “hexa” indicates 6 vertices, and includes the octahedral graph.)
图论代考
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|EXERCISES
通过从左图反转 GY Kempe 链的两个部分的较长部分，为右下图着色。新图的着色是否仍然满足四色定理？有没有 Kempe 链的任何部分（乙−G,乙−R,乙−是,G−R,G−是， 或者R−是) 不能在不导致新着色不再满足四色定理的情况下在新图中反转？如果是这样，哪些链的哪些部分？如果图的着色满足四色定理，并且肯普链的部分一次反转，那么新的着色是否总是满足四色定理？
下图显示了一个具有四阶和两个 Kempe 链的顶点。还有其他未显示的顶点和边。如果 Kempe 链 AB 或 CD 反转，E 仍然被 4 种颜色包围。这样的图怎么能满足四色定理呢？挑战题1：每个MPG都是三角化的，也就是说每条边都被两个三角形共享。对于任何 MPG，如果您选择它的任何一个面和另外两个与第一个面共享一条边的面，您将获得如下所示的结构。下面的部分图显示了面 BCE 和其他两个与之共享边的面（ABE 和 CDE）。（与 BCE 共享边的第三个面未显示。MPG 中还有许多其他顶点和边未显示。）应用 Kempe 链来证明，无论 MPG 的其余部分是什么样子，下面显示的五个顶点始终可以使用不超过四种不同的颜色进行着色。由于我们可以将此论证应用于任何 MPG 中的任何面以及该面的两个相邻面，这是否证明了四色定理？解释。
（请注意，这与 Kempe 的关于五度顶点的论点有何不同——即使上图中的每个顶点都可能是五度或更高——因为没有一个中心顶点连接到所有五个顶点。我们只需要用四种颜色为上面显示的五个顶点着色，而在 Kempe 的五度顶点论证中，我们需要使用三种颜色为周围的五个顶点着色。这个问题比 Kempe 的五度顶点问题更简单，因为我们只需要重新着色单个顶点。）
注意：答案键不包括挑战问题的答案。这些问题旨在鼓励您思考这些想法。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The partial graph for a MPG
挑战题 2：下面 MPG 的部分图显示了顶点X和是与五度。MPG 中还有许多其他顶点和边未显示。你能应用 Kempe 链的概念来证明X和是总是可以选择这样两个顶点总是四色的？要么证明这一点，要么解释为什么这是不可能的或非常困难的。这个证明（如果可以的话）可以用来证明四色定理吗？解释。（主要思想是：你能不能将 Kempe 链应用到 A 到 F，这样X和是总是四色的？）
注意，如果你把A链到D，把A链到E，你可以反转F，但不用担心反转是（至少对于问题的第一部分，可以根据需要自由选择）。
您还应该不仅考虑使用 Kempe 链来强制连接两个顶点的可能性X或者是有所不同，但还应考虑使用 Kempe 链强制连接一个顶点的可能性X和另一个连接到的顶点是是相同的颜色。例如，连接乙到F和C到和，你可以强制两个邻居X与两个邻居的颜色相同是. （请注意，还有一种特殊情况，其中一个或两个和和F例如，可以是与 B 或 C 相同的顶点。） 注意：答案键不包括挑战问题的答案。这些问题旨在鼓励您思考这些想法。挑战题3：下面的MPG“接近四色”。一个顶点有第五种颜色，X。如果连接两个阴影顶点的边收缩（见第 6 章），那么图将是正确的四色。
显示X可以通过反转 Kempe 链的一部分的颜色将其向下移动到当前颜色为 Y 的顶点上，从而使图形成为四色。如果我们尝试移动X向左到当前着色的顶点G，类似的颜色反转带来了问题。解释。是否可以移动X到整个 MPG 中的任何所需顶点？你能证明这样一个“近四色”的MPG总是可以通过移动来四色吗X到一个新的顶点？你能用它来证明四色定理吗？
注意：答案键不包括挑战问题的答案。这些问题旨在鼓励您思考这些想法。当您阅读第 1 章中的 VS3 时，您可能希望回顾一下您对这个解决方案的想法18.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|A FEW NOTABLE
三角形图有 3 个顶点和 3 条边。三角形图在所有 MPG 中具有最少的顶点，是三色的，并且它的边构成一个完整的循环（闭合链）。它既是循环图（其边形成闭合链）又是完整图（每个顶点都连接到所有其他顶点），这就是为什么它可以被称为C3或者ķ3.
四面体图有 4 个顶点和 6 条边。四面体图具有完整图可以具有的最多顶点并且也是MPG，并且具有完整图可以具有的最多顶点并且是四色的。
五面体 MPG 有 5 个顶点和 9 个边。它是方形金字塔的对偶。回想一下第 4 章，对偶表示在图和地图之间交换了顶点和面的角色（参见第 4 章中问题 1 的解决方案）。如果你添加边缘一种C到下面显示的五面体图，它将成为完整的图ķ5.
有两个结构不同的六面体 MPG，它们有 6 个顶点和 12 个边。其中之一是八面体 MPG。（这里，前缀“octa”，意思是 8，指的是面，而不是顶点。八面体是由两个方形金字塔在其方形底面连接而成的多面体，它有 6 个顶点、12 条边和 8 个三角形面。它是立方体的对偶多面体，有 8 个顶点、12 条边和 6 个面。参见第 4 章中问题 1 的解决方案。）八面体 MPG 是唯一每个顶点的度数为 4 的 MPG。另一个六面体 MPG 有两个度数为 5 的顶点，两个度数为 4 的顶点，以及两个度数为 3 的顶点。（在六面体的情况下，前缀“hexa”表示 6 个顶点，包括八面体图。）
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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The graphs above are incomplete. These figures only show a vertex with degree four (vertex E), its nearest neighbors (A, B, C, and D), and segments of A-C Kempe chains. The entire graphs would also contain several other vertices (especially, more colored the same as B or D) and enough edges to be MPG’s. The left figure has A connected to $C$ in a single section of an A-C Kempe chain (meaning that the vertices of this chain are colored the same as A and C). The left figure shows that this A-C Kempe chain prevents B from connecting to $\mathrm{D}$ with a single section of a B-D Kempe chain. The middle figure has A and C in separate sections of A-C Kempe chains. In this case, B could connect to D with a single section of a B-D Kempe chain. However, since the A and C of the vertex with degree four lie on separate sections, the color of C’s chain can be reversed so that in the vertex with degree four, C is effectively recolored to match A’s color, as shown in the right figure. Similarly, D’s section could be reversed in the left figure so that D is effectively recolored to match B’s color.
Kempe also attempted to demonstrate that vertices with degree five are fourcolorable in his attempt to prove the four-color theorem [Ref. 2], but his argument for vertices with degree five was shown by Heawood in 1890 to be insufficient [Ref. 3]. Let’s explore what happens if we attempt to apply our reasoning for vertices with degree four to a vertex with degree five.
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams
The previous diagrams show that when the two color reversals are performed one at a time in the crossed-chain graph, the first color reversal may break the other chain, allowing the second color reversal to affect the colors of one of F’s neighbors. When we performed the $2-4$ reversal to change B from 2 to 4 , this broke the 1-4 chain. When we then performed the 2-3 reversal to change E from 3, this caused C to change from 3 to 2 . As a result, F remains connected to four different colors; this wasn’t reversed to three as expected.
Unfortunately, you can’t perform both reversals “at the same time” for the following reason. Let’s attempt to perform both reversals “at the same time.” In this crossed-chain diagram, when we swap 2 and 4 on B’s side of the 1-3 chain, one of the 4’s in the 1-4 chain may change into a 2, and when we swap 2 and 3 on E’s side of the 1-4 chain, one of the 3’s in the 1-3 chain may change into a 2 . This is shown in the following figure: one 2 in each chain is shaded gray. Recall that these figures are incomplete; they focus on one vertex (F), its neighbors (A thru E), and Kempe chains. Other vertices and edges are not shown.
Note how one of the 3’s changed into 2 on the left. This can happen when we reverse $\mathrm{C}$ and $\mathrm{E}$ (which were originally 3 and 2 ) on E’s side of the 1-4 chain. Note also how one of the 4’s changed into 2 on the right. This can happen when we reverse B and D (which were originally 2 and 4) outside of the 1-3 chain. Now we see where a problem can occur when attempting to swap the colors of two chains at the same time. If these two 2’s happen to be connected by an edge like the dashed edge shown above, if we perform the double reversal at the same time, this causes two vertices of the same color to share an edge, which isn’t allowed. We’ll revisit Kempe’s strategy for coloring a vertex with degree five in Chapter $25 .$
图论代考
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The shading of one section of the B-R
由于 Kempe 链的每个部分都与同一颜色对的其他部分隔离，因此 Kempe 链的任何部分的颜色可以颠倒，但仍满足四色定理。这是一个重要且有用的概念。
上面 BR 链的一个部分的阴影说明了任何 Kempe 链的任何部分的颜色如何可以反转。请注意，我们反转了 BR 链的一个部分的颜色，但没有反转中心部分的颜色。同一条链的每个部分的颜色可以独立于该链的其他部分反转。
为什么 PG 有 Kempe 链？很容易理解为什么 MPG 有 Kempe 链。（由于 PG 是通过从 MPG 中去除边缘而形成的，并且由于适用于 MPG 的着色也适用于 PG，因此 PG 也具有 Kempe 链。）
- MPG 是三角测量的。它由具有三个边和三个顶点的面组成。
- 每个面的三个顶点必须是三种不同的颜色。
- 每条边由两个相邻的三角形共享，形成一个四边形。
- 每个四边形将有 3 或 4 种不同的颜色。如果与共享边相对的两个顶点恰好是相同的颜色，则它有 3 种颜色。
- 对于每个四边形，四个顶点中的至少 1 个顶点和最多 3 个顶点具有任何颜色对的颜色。例如，具有 R、G、B 和G有 1 个顶点R−是和3个顶点乙−G，或者您可以将其视为 1 个顶点乙−是和3个顶点G−R，或者您可以将其视为 BR 的 2 个顶点和 GY 的 2 个顶点。在后一种情况下，2G’ 不是同一链的连续颜色。
- 当您将更多三角形组合在一起（四边形仅组合两个）并考虑可能的颜色时，您将看到 Kempe 的部分
链子出现。我们将在 Chápter 中看到这些 Kémpé chảins 是如何出现的21.
也很容易看出一对颜色（如 RY）将如何与其对应颜色（BG）相邻：
- 画一张R顶点和一个是由边连接的顶点。
- 如果一个新顶点连接到这些顶点中的每一个，它必须是乙或者G.
- 如果一个新顶点连接到 R 而不是是，可能是是,乙， 或者G.
- 如果一个新的顶点连接到是但不是R，可能是R,乙， 或者G.
- RY 链要么继续增长，要么被 B 包围，G.
- 如果你关注 B 和 G，你会为它的链条得出类似的结论。
- 如果一条链条完全被其对应物包围，则链条的新部分可能会出现在其对应物的另一侧。
Kempe 证明了所有具有四阶的顶点（那些恰好连接到其他四个顶点的顶点）都是四色的 [Ref. 2]。例如，考虑下面的中心顶点。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|In the previous figure
在上图中，顶点和是四度，因为它连接到其他四个顶点。Kempe 表明顶点 A、B、C 和 D 不能被强制为四种不同的颜色，这样顶点 E 总是可以被着色而不会违反四色定理，无论 MPG 的其余部分看起来如何上一页显示的部分。
- A 和 C 或者是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，或者它们各自位于 AC Kempe 链的不同部分。（如果一种和C例如，是红色和黄色的，则 AC 链是红黄色链。） – 如果一种和C每个位于 AC Kempe 链的不同部分，其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 C 以匹配 A 的颜色。如果 A 和 C 是 AC Kempe 链的同一部分的一部分，则 B 和 D每个都必须位于 BD Kempe 链的不同部分，因为 AC Kempe 链将阻止任何 BD Kempe 链从 B 到达 D。（如果乙和D是蓝色和绿色，例如，那么一种BD Kempe 链是蓝绿色链。）在这种情况下，由于 B 和 D 分别位于 BD Kempe 链的不同部分，因此 BD Kempe 链的其中一个部分的颜色可以反转，这有效地重新着色 D 以匹配 B颜色。– 因此，可以使 C 与 A 具有相同的颜色或使 D 具有与 A 相同的颜色乙通过反转 Kempe 链的分离部分。
上面的图表是不完整的。这些图只显示了一个四阶顶点（顶点 E）、它的最近邻居（A、B、C 和 D），以及 AC Kempe 链的片段。整个图还将包含几个其他顶点（特别是与 B 或 D 相同的颜色）和足够多的边以成为 MPG。左图有 A 连接到C在 AC Kempe 链的单个部分中（意味着该链的顶点颜色与 A 和 C 相同）。左图显示此 AC Kempe 链阻止 B 连接到DBD Kempe 链条的一个部分。中间的数字在 AC Kempe 链的不同部分有 A 和 C。在这种情况下，B 可以通过 BD Kempe 链的单个部分连接到 D。但是，由于四阶顶点的 A 和 C 位于不同的部分，因此可以反转 C 链的颜色，以便在四阶顶点中，C 有效地重新着色以匹配 A 的颜色，如右图所示. 类似地，可以在左图中反转 D 的部分，以便有效地重新着色 D 以匹配 B 的颜色。
Kempe 还试图证明五阶顶点是可四色的，以证明四色定理 [Ref. 2]，但 Heawood 在 1890 年证明他关于五次顶点的论点是不充分的 [Ref. 3]。让我们探讨一下如果我们尝试将我们对度数为四的顶点的推理应用于度数为五的顶点会发生什么。
数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|The previous diagrams
前面的图表显示，当在交叉链图中一次执行两种颜色反转时，第一次颜色反转可能会破坏另一个链，从而允许第二次颜色反转影响 F 的一个邻居的颜色。当我们执行2−4反转将 B 从 2 更改为 4 ，这打破了 1-4 链。然后，当我们执行 2-3 反转以将 E 从 3 更改时，这导致 C 从 3 更改为 2 。结果，F 仍然连接到四种不同的颜色；这并没有像预期的那样反转为三个。
不幸的是，由于以下原因，您不能“同时”执行两个冲销。让我们尝试“同时”执行两个反转。在这个交叉链图中，当我们在 1-3 链的 B 侧交换 2 和 4 时，1-4 链中的一个 4 可能会变成 2，当我们在 E 侧交换 2 和 3 时1-4 链，1-3 链中的 3 之一可能会变为 2 。如下图所示：每条链中的一个 2 为灰色阴影。回想一下，这些数字是不完整的；他们专注于一个顶点 (F)、它的邻居 (A 到 E) 和 Kempe 链。其他顶点和边未显示。
请注意左侧的 3 之一如何变为 2。当我们反转时会发生这种情况C和和（最初是 3 和 2 ）在 1-4 链的 E 侧。还要注意 4 个中的一个如何在右侧变为 2。当我们在 1-3 链之外反转 B 和 D（最初是 2 和 4）时，就会发生这种情况。现在我们看到了尝试同时交换两条链的颜色时会出现问题的地方。如果这两个 2 恰好通过上图虚线这样的边连接起来，如果我们同时进行双重反转，就会导致两个相同颜色的顶点共享一条边，这是不允许的。我们将在第 1 章重新讨论 Kempe 为五阶顶点着色的策略25.
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。