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量子力学是物理学的一个基本理论，它在原子和亚原子粒子的尺度上对自然界的物理特性进行了描述。它是所有量子物理学的基础，包括量子化学、量子场论、量子技术和量子信息科学。
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物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Scattering Boundary Condition
We first note that a spherical wave going out from the origin is a solution to the Schrödinger equation, just as in Eq. (4.11),
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{e^{i k r}}{r}=0 \quad \text {; outgoing wave }
$$
We now require, on physical grounds, that the solution to the scattering problem for away from the potential should consist of the incident wave plus an outgoing scattered wave
$$
\psi=\psi_{\text {inc }}+\psi_{\text {scatt }} \quad ; r \rightarrow \infty
$$
This is known as the scattering boundary condition. In detail, this says that
$\psi(\vec{x})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}}+f(k, \theta) \frac{e^{i k r}}{r} \quad ; r \rightarrow \infty$
; scattering b.c.
The amplitude of the outgoing scattered wave $f(k, \theta)$ is known as the scattering amplitude.
Let us see how this works for our s-wave scattering. In order to satisfy this boundary condition, we must choose a particular form for the amplitude $A$ of the wave function outside of the potential in Eq. (4.16)
$$
\begin{aligned}
u_{\text {out }}(r) &=\frac{e^{i \delta_{v}}}{k} \sin \left(k r+\delta_{\mathrm{u}}\right) \quad ; r>d \
\psi(r) &=\frac{u_{\text {out }}(r)}{r}
\end{aligned}
$$
Now look at
$$
\psi_{\text {scatt }}(r)=\psi(r)-\psi_{\text {inc }}(r) \quad ; r>d
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Cross-Section
The classical concept of a scattering or reaction cross-section is as follows: One prepares a beam of particles, with a certain incident flux $I_{\mathrm{inc}}$, where the incident flux is the number of particles crossing a unit transverse area per unit time. The eross-section is then a little element of transverse area such that if a particle goes through it, a certain event takes place. Hence the rate of such events taking place is
$$
I_{\mathrm{inc}} d \sigma_{f i}=\text { number of events } i \rightarrow f \text { per unit time }
$$
In quantum mechanics we deal with probability, and its rates and fluxes. The probability flux in three dimensions follows from Eq. (3.10) as
$$
\vec{S}(\vec{x})=\frac{\hbar}{2 i m}\left[\psi^{\star} \vec{\nabla} \psi-(\vec{\nabla} \psi)^{*} \psi\right]
$$
This has the interpretation as the amount of probability flowing through a unit transverse area per unit time. The elastic scattering cross-section
$d \sigma$ for the scattering of a particle into a solid angle $d \Omega$ (and corresponding area $r^{2} d \Omega$ ) in quantum mechanics is therefore ${ }^{3}$
$$
\left(\hat{k} \cdot \vec{S}{\text {inc }}\right) d \sigma=\left(\hat{r} \cdot \vec{S}{\mathrm{scatt}}\right) r^{2} d \Omega
$$
With the incident and scattered wave functions in Eq. (4.21), one has
$$
\begin{aligned}
\hat{k} \cdot \vec{S}{\text {inc }} &=\frac{\hbar k}{m} \ \hat{r} \cdot \vec{S}{\text {scatt }} &=\frac{\hbar k}{m r^{2}}|f(k, \theta)|^{2}
\end{aligned}
$$
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|High Energy
Let us look at the other scattering limit of high energy where very many partial waves contribute to the scattering amplitude. Recall that in electrostatics if we have the electrostatic potential satisfying
$$
\nabla^{2} \Phi=-\frac{1}{\varepsilon_{0}} \rho
$$
where $\rho$ is the charge density, then the potential is obtained by summing over the Coulomb interaction with each small charge element
$$
\Phi(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}
$$
Here, we want to solve the equation
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \psi=v \psi \quad ; v=\frac{2 m}{\hbar^{2}} V(r)
$$
In direct analogy, we can obtain the scattered wave by summing over the outgoing wave from each little source element ${ }^{4}$
$$
\psi_{\mathrm{scatt}}(\vec{r})=-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} v\left(r^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}
$$
With the inclusion of $\psi_{\text {inc }}$, which satisfies the homogeneous differential equation, the whole wave function then looks like
$$
\psi(\vec{r})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{e^{i k\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|} v\left(r^{\prime}\right) \psi\left(\vec{r}^{\prime}\right) d^{3} r^{\prime}
$$
量子力学代考
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Scattering Boundary Condition
我们首先注意到从原点发出的球面波是薛定谔方程的解，就像在方程中一样。(4.11),
(∇2+ķ2)和一世ķrr=0; 出波
现在，基于物理原因，我们要求对远离电位的散射问题的解决方案应包括入射波和出射散射波
ψ=ψ公司 +ψ散点 ;r→∞
这称为散射边界条件。详细地说，这说明
ψ(X→)=和一世ķ→⋅X→+F(ķ,θ)和一世ķrr;r→∞
; 散射 bc
出射散射波的幅度F(ķ,θ)被称为散射幅度。
让我们看看这对我们的 s 波散射是如何工作的。为了满足这个边界条件，我们必须为幅度选择一个特定的形式一个在方程中的势之外的波函数。(4.16)
在出去 (r)=和一世d在ķ罪(ķr+d在);r>d ψ(r)=在出去 (r)r
现在看看
ψ散点 (r)=ψ(r)−ψ公司 (r);r>d
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Cross-Section
散射或反应截面的经典概念如下：准备一束粒子，具有一定的入射通量我一世nC，其中入射通量是每单位时间穿过单位横向区域的粒子数。横截面是横向区域的一个小元素，因此如果一个粒子穿过它，就会发生某种事件。因此，此类事件的发生率是
我一世nCdσF一世= 事件数 一世→F 每单位时间
在量子力学中，我们处理概率及其速率和通量。三个维度的概率通量来自方程式。(3.10) 为
小号→(X→)=⁇2一世米[ψ⋆∇→ψ−(∇→ψ)∗ψ]
这可以解释为每单位时间流过单位横向区域的概率量。弹性散射截面
dσ用于将粒子散射成立体角dΩ（及对应区域r2dΩ) 因此在量子力学中是3
(ķ^⋅小号→公司 )dσ=(r^⋅小号→sC一个吨吨)r2dΩ
方程中的入射和散射波函数。(4.21)，一个有
ķ^⋅小号→公司 =⁇ķ米 r^⋅小号→散点 =⁇ķ米r2|F(ķ,θ)|2
物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|High Energy
让我们看看高能的另一个散射极限，其中非常多的分波对散射幅度有贡献。回想一下，如果我们的静电势满足
∇2披=−1e0ρ
在哪里ρ是电荷密度，然后通过与每个小电荷元素的库仑相互作用求和来获得电势
披(r→)=14圆周率e0∫1|r→−r→′|ρ(r→′)d3r′
在这里，我们要解方程
(∇2+ķ2)ψ=在ψ;在=2米⁇2在(r)
直接类比，我们可以通过对每个小源元素的出射波求和来获得散射波4
ψsC一个吨吨(r→)=−14圆周率∫和一世ķ|r→−r→′||r→−r→′|在(r′)ψ(r→′)d3r′
随着包括ψ公司 ，满足齐次微分方程，整个波函数看起来像
ψ(r→)=和一世ķ→⋅r→−14圆周率∫和一世ķ|r→−r→′||r→−r→′|在(r′)ψ(r→′)d3r′
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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