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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some elementary properties of c.f.s

1. $\psi(0)=1$ and $|\psi(t)|=\left|E e^{i t X}\right| \leq E\left|e^{i t X}\right|=1$ for all $t$.
2. $\psi(t)$ is uniformly continuous in $t \in(-\infty, \infty)$.
   Proof. For any real $t$ and $h \rightarrow 0$,
   $$
   |\psi(t+h)-\psi(t)|=\left|E e^{i(t+h) X}-E e^{i t X}\right|=\left|E\left[e^{i t X}\left(e^{i h X}-1\right)\right]\right| \leq E\left|e^{i h X}-1\right| \rightarrow 0 .
   $$
3. $\psi_{a X} \times b(t)=E e^{i t(a X+b)}=e^{i t b} E e^{i t a X}=e^{i t b} \psi_{X}(a t)$.
4. $\psi-X(t)=\psi_{X}(-t)=\overline{\psi x(t)}$, where $\bar{z}$ denotes the complex conjugate of $z$.
5. $\psi_{X}(t)$ is real iff $X$ is symmetric about zero.
   Proof. If $X$ is symmetric about zero, then $X={ }{d}-X$, which implies that $\psi{X}(t)=\psi_{-X}(t)=$ $\psi_{X}(-t)=\overline{\psi_{X}(t)}$. Then $\psi_{X}(t)$ is real. The above argument can be reversed, but in one of the steps we need the following fact: $\psi_{X}(t)=\psi_{Y}(t)$ implies $X={ }_{d} Y$, which will be proved later.
6. If $X$ and $Y$ are independent r.v.’s, then
   $$
   \psi_{X+Y}(t)=E e^{i t(X+Y)}=E e^{i t X} E e^{i t Y}=\psi_{X}(t) \psi_{Y}(t)
   $$
   In particular, if $\psi(t)$ is a c.f., so is $\psi^{m}(t)$, where $m$ is a positive integer.
7. Let $F_{1}, \ldots, F_{n}$ are d.f.’s with c.f. $\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}$. If $\lambda_{i} \geq 0, \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$, then $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} F_{i}$ is a d.f. with c.f. given by $\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \psi_{i}$ –
8. If $\psi(t)$ is a c.f., so are $|\psi(t)|^{2} \mathrm{~ a n d ~ R e}$
   In particular, $|\psi(t)|^{2}$ is the c.f. of a symmetric r.v. $X-Y$, where $X, Y$ are i.i.d. with c.f. $\psi \mathrm{~ ; ~ R e}$ is the c.f. of the d.f. $\left(F_{X}(x)+F_{-X}(x)\right) / 2$.
   Proof. First, let $X, Y$ be i.i.d. with c.f. $\psi(t)$, then
   $$
   \psi_{X-Y}(t)=\psi_{X}(t) \psi_{Y}(-t)=\psi(t) \overline{\psi(t)}=|\psi(t)|^{2}
   $$
   Secondly, $-X$ has c.f. $\overline{\psi(t)}$. So the d.f. $\left(F_{X}(x)+F_{-X}\right) / 2$ has c.f.
   $$
   \frac{1}{2}(\psi x(t)+\overline{\psi X(t)})=\operatorname{Re} \psi X(t)
   $$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between local and global properties of c.f.

The following theorem is useful in extending local properties of c.f. around the origin to global ones, and visa versa.
THEOREM 10.2.1
$$
\operatorname{Re}(1-\psi(t)) \geq \frac{1}{4} \operatorname{Re}(1-\psi(2 t)) \geq \ldots \geq \frac{1}{4^{n}} \operatorname{Re}\left(1-\psi\left(2^{n} t\right)\right)
$$
In particular, we have
(a) $1-|\psi(t)|^{2} \geq \frac{1}{4}\left(1-|\psi(2 t)|^{2}\right) \geq \cdots \geq \frac{1}{4^{n}}\left(1-\left|\psi\left(2^{n} t\right)\right|^{2}\right)$.
(b) $(1-|\psi(t)|) \geq \frac{1}{8}(1-|\psi(2 t)|) \geq \frac{1}{8^{n}}\left(1-\left|\psi\left(2^{n} t\right)\right|\right)$.
Proof. We prove (2.1) first, which follows by taking expectation to
$$
1-\cos 2 t X=2(\sin (t X))^{2}=2(2 \sin (t X / 2) \cos (t X / 2))^{2} \leq 8 \sin ^{2}(t X / 2)=4(1-\cos t X)
$$
(a) Applying the above to e.f. $|\psi(t)|^{2}$.
(b) Noting $0 \leq|\psi| \leq 1$, we get
$$
\begin{gathered}
1-|\psi(2 t)| \leq(1-|\psi(2 t)|)(1+|\psi(2 t)|) \leq 1-|\psi(2 t)|^{2} \
\leq 4\left(1-|\psi(t)|^{2}\right) \leq 4(1-|\psi(t)|)(1+|\psi(t)|) \leq 8(1-|\psi(t)|)
\end{gathered}
$$
COROLLARY 10.2.1 Suppose that $|\psi(t)| \leq a<1$ for $|t| \geq b>0$. Then
$$
|\psi(t)| \leq 1-c t^{2} \leq e^{-c t^{2}}, \quad \text { for }|t|<b, \text { where } c=\frac{1-a^{2}}{8 b^{2}} .
$$
Proof. Here we know the behavior of $|\psi(t)|$ away from 0 . We would like to find the behavior near 0 . We need to show $1-|\psi(t)| \geq c t^{2}$. (The second inequality follows from $1+x \leq e^{x}$ for all $x$.)
Since $|t| \leq b$, there exists an $m$ such that $b / 2^{m} \leq|t|<2 b / 2^{m}$, i.e., $b \leq\left|2^{m} t\right|<2 b$. Thus,
$$
1-|\psi(t)|^{2} \geq \frac{1}{4^{m}}\left(1-\left|\psi\left(2^{m} t\right)\right|^{2}\right) \geq\left(\frac{1}{2^{m}}\right)^{2}\left(1-a^{2}\right) \geq\left(\frac{t}{2 b}\right)^{2}\left(1-a^{2}\right)=2 c t^{2}
$$
In view of the inequality $(1-x)^{1 / 2} \leq 1-x / 2$ for $|x| \leq 1$, we have
$$
|\psi(t)|=\left(|\psi(t)|^{2}\right)^{1 / 2} \leq\left(1-2 c t^{2}\right)^{1 / 2} \leq 1-c t^{2}
$$

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Since X is nondegenerate

THEOREM 10.2.2 Let $X$ be a nondegenerate r.v. with c. $f \psi$. There exist $\delta>0$ and $\epsilon>0$ such that
$$
|\psi(t)| \leq 1-c t^{2} \quad \text { for }|t| \leq \delta .
$$
Proof. Let $Y$ be an independent copy of $X$, and $Z=X-Y$. Then,
$$
\begin{aligned}
1-|\psi(t)| & \geq(1-|\psi(t)|) \frac{1+|\psi(t)|}{2}=\frac{1}{2}\left(1-|\psi(t)|^{2}\right) \
&=\frac{1}{2}\left(1-\psi_{Z}(t)\right)=\frac{1}{2} E(1-\cos t Z)
\end{aligned}
$$
By Taylor expansion, for $|t|<1$, $$ 1-\cos t=1-\left(1-\frac{t^{2}}{2 !}+\frac{t^{4}}{4 !}-\ldots\right)=\frac{t^{2}}{2 !}-\frac{t^{4}}{4 !}+\ldots \geq \frac{t^{2}}{2 !}-\frac{t^{4}}{4 !}=\frac{t^{2}}{2}\left(1-\frac{t^{2}}{12}\right) $$ Thus, $$ \begin{aligned} E[1-\cos t Z] & \geq \frac{t^{2}}{2} E\left(Z^{2}\left(1-\frac{t^{2} Z^{2}}{12}\right) I{|t Z|<1}\right) \ & \geq \frac{t^{2}}{2}\left(1-\frac{1}{12}\right) E\left(Z^{2} I{|Z|<1 /|t|\}\right) \end{aligned} $$ Since $X$ is nondegenerate, so is $Z$. Therefore, when $|t|$ is small enough, say, $|t| \leq \delta$, we have $$ E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 /|t|\}\right) \geq E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 / \delta\}\right)>0 .
$$
Combining all the above, we have, as $|t| \leq \delta$,
$$
1-|\psi(t)| \geq \frac{1}{2} E(1-\cos t Z) \geq\left(\frac{11}{48} E\left(Z^{2} I{|Z|<1 / \delta}\right)\right) t^{2}=\epsilon t^{2}
$$
THEOREM 10.2.3 For any $t, h \in R$, we have
$$
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} \leq 2(1-R e \psi(h))=2 E[1-\cos (h X)]
$$
Pronf
$$
\begin{aligned}
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} &=\left|E e^{i(t+h) X}-E e^{i t X}\right|^{2}=\left|E\left[e^{i t X}\left(e^{i h X}-1\right)\right]\right|^{2} \
& \leq E\left|e^{i h X}-1\right|^{2}=E\left[\left(e^{i h X}-1\right) \overline{\left(e^{i h X}-1\right)}\right] \
&=E\left[\left(e^{i h X}-1\right)\left(e^{-i h X}-1\right)\right] \
&=E\left(e^{i h X} e^{-i h X}-e^{i h X}-e^{-i h X}+1\right) \
&=2 E[1-\cos (h X)]
\end{aligned}
$$

高等概率论代写

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Some elementary properties of c.f.s

1. ψ(0)=1和|ψ(吨)|=|和和一世吨X|≤和|和一世吨X|=1对所有人吨.
2. ψ(吨)是一致连续的吨∈(−∞,∞).
   证明。对于任何真实的吨和H→0,
   |ψ(吨+H)−ψ(吨)|=|和和一世(吨+H)X−和和一世吨X|=|和[和一世吨X(和一世HX−1)]|≤和|和一世HX−1|→0.
3. ψ一种X×b(吨)=和和一世吨(一种X+b)=和一世吨b和和一世吨一种X=和一世吨bψX(一种吨).
4. ψ−X(吨)=ψX(−吨)=ψX(吨)¯， 在哪里和¯表示的复共轭和.
5. ψX(吨)是真的当且X关于零对称。
   证明。如果X关于零对称，则 $X={ } {d}-X,在H一世CH一世米p一世一世和s吨H一种吨\psi {X}(t)=\psi_{-X}(t)=\psi_{X}(-t)=\overline{\psi_{X}(t)}.吨H和n\psi_{X}(t)一世sr和一种一世.吨H和一种b○v和一种rG你米和n吨C一种nb和r和v和rs和d,b你吨一世n○n和○F吨H和s吨和ps在和n和和d吨H和F○一世一世○在一世nGF一种C吨:\ psi_ {X} (t) = \ psi_ {Y} (t)一世米p一世一世和sX={ }_{d} Y$，后面会证明。
6. 如果X和和是独立的房车，那么
   ψX+和(吨)=和和一世吨(X+和)=和和一世吨X和和一世吨和=ψX(吨)ψ和(吨)
   特别是，如果ψ(吨)是一个cf，所以是ψ米(吨)， 在哪里米是一个正整数。
7. 让F1,…,Fn是df和cfψ1,…,ψn. 如果λ一世≥0,∑一世=1nλ一世=1， 然后∑一世=1nλ一世F一世是一个带有 cf 的 df，由∑一世=1nλ一世ψ一世–
8. 如果ψ(吨)是cf，所以也是|ψ(吨)|2 一种nd R和
   特别是，|ψ(吨)|2是对称 rv 的 cfX−和， 在哪里X,和与 cf 是独立同居的ψ ; R和是df的cf(FX(X)+F−X(X))/2.
   证明。首先，让X,和与cf同住ψ(吨)， 然后
   ψX−和(吨)=ψX(吨)ψ和(−吨)=ψ(吨)ψ(吨)¯=|ψ(吨)|2
   其次，−X有cfψ(吨)¯. 所以df(FX(X)+F−X)/2有cf
   12(ψX(吨)+ψX(吨)¯)=Re⁡ψX(吨)

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between local and global properties of c.f.

以下定理有助于将 cf 围绕原点的局部属性扩展到全局属性，反之亦然。
定理 10.2.1
Re⁡(1−ψ(吨))≥14Re⁡(1−ψ(2吨))≥…≥14nRe⁡(1−ψ(2n吨))
特别是，我们有
(a)1−|ψ(吨)|2≥14(1−|ψ(2吨)|2)≥⋯≥14n(1−|ψ(2n吨)|2).
(二)(1−|ψ(吨)|)≥18(1−|ψ(2吨)|)≥18n(1−|ψ(2n吨)|).
证明。我们首先证明（2.1），然后将期望
1−某物⁡2吨X=2(没有⁡(吨X))2=2(2没有⁡(吨X/2)某物⁡(吨X/2))2≤8没有2⁡(吨X/2)=4(1−某物⁡吨X)
(a) 将上述应用于 ef|ψ(吨)|2.
(b) 注意到0≤|ψ|≤1，我们得到
1−|ψ(2吨)|≤(1−|ψ(2吨)|)(1+|ψ(2吨)|)≤1−|ψ(2吨)|2 ≤4(1−|ψ(吨)|2)≤4(1−|ψ(吨)|)(1+|ψ(吨)|)≤8(1−|ψ(吨)|)
推论 10.2.1 假设|ψ(吨)|≤一种<1为了|吨|≥b>0. 然后
|ψ(吨)|≤1−C吨2≤和−C吨2, 为了 |吨|<b, 在哪里 C=1−一种28b2.
证明。在这里我们知道的行为|ψ(吨)|远离 0 。我们希望找到 0 附近的行为。我们需要展示1−|ψ(吨)|≥C吨2. （第二个不等式来自1+X≤和X对所有人X.)
因为|吨|≤b, 存在一个米这样b/2米≤|吨|<2b/2米， IE，b≤|2米吨|<2b. 因此，
1−|ψ(吨)|2≥14米(1−|ψ(2米吨)|2)≥(12米)2(1−一种2)≥(吨2b)2(1−一种2)=2C吨2
鉴于不平等(1−X)1/2≤1−X/2为了|X|≤1， 我们有
|ψ(吨)|=(|ψ(吨)|2)1/2≤(1−2C吨2)1/2≤1−C吨2

统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Since X is nondegenerate

定理 10.2.2 让X是具有 c 的非退化 rv。Fψ. 存在d>0和ε>0这样
|ψ(吨)|≤1−C吨2 为了 |吨|≤d.
证明。让和成为独立副本X， 和和=X−和. 然后，
1−|ψ(吨)|≥(1−|ψ(吨)|)1+|ψ(吨)|2=12(1−|ψ(吨)|2) =12(1−ψ和(吨))=12和(1−某物⁡吨和)
通过泰勒展开，对于|吨|<1,1−某物⁡吨=1−(1−吨22!+吨44!−…)=吨22!−吨44!+…≥吨22!−吨44!=吨22(1−吨212)因此，$$ \begin{aligned} E[1-\cos t Z] & \geq \frac{t^{2}}{2} E\left(Z^{2}\left(1-\frac{ t^{2} Z^{2}}{12}\right) I{|t Z|<1}\right) \ & \geq \frac{t^{2}}{2}\left(1- \frac{1}{12}\right) E\left(Z^{2} I{|Z|<1 /|t|\}\right) \end{aligned}小号一世nC和$X$一世sn○nd和G和n和r一种吨和,s○一世s$和$.吨H和r和F○r和,在H和n$|吨|$一世ss米一种一世一世和n○你GH,s一种和,$|吨|≤d$,在和H一种v和E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 /|t|\}\right) \geq E\left(Z^{2} I\{|Z|<1 / \delta\} \right)>0 。
C○米b一世n一世nG一种一世一世吨H和一种b○v和,在和H一种v和,一种s$|吨|≤d$,
1-|\psi(t)| \geq \frac{1}{2} E(1-\cos t Z) \geq\left(\frac{11}{48} E\left(Z^{2} I{|Z|<1 / \ delta}\right)\right) t^{2}=\epsilon t^{2}
吨H和○R和米10.2.3F○r一种n和$吨,H∈R$,在和H一种v和
|\psi(t+h)-\psi(t)|^{2} \leq 2(1-R e \psi(h))=2 E[1-\cos (h X)]
磷r○nF
|ψ(吨+H)−ψ(吨)|2=|和和一世(吨+H)X−和和一世吨X|2=|和[和一世吨X(和一世HX−1)]|2 ≤和|和一世HX−1|2=和[(和一世HX−1)(和一世HX−1)¯] =和[(和一世HX−1)(和−一世HX−1)] =和(和一世HX和−一世HX−和一世HX−和−一世HX+1) =2和[1−某物⁡(HX)]
$$

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随机过程代考

在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。

贝叶斯方法代考

贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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机器学习代写

随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。

多元统计分析代考

基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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