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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximative Centre Manifold
This section describes how the evolution of solutions of a stochastic PDE subject to additive forcing is determined by an approximate centre manifold. This was briefly discussed in [Blö03] for the first order approximation. There the manifold is just
the vector space $\mathcal{N}$. It attracts solutions up to errors of order $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$, and the flow along $\mathcal{N}$ is given on the slow time-scale by the amplitude equation.
Here, we first state the results of Section $4.1$ in [BH05], which relies on the second order correction introduced in [BH04] to describe the distance from $\mathcal{N}$, too. Therefore we need nonlinear stability, in order to bound moments. That is why we restrict ourselves in the following to nonlinear stable equations given by Assumption $2.7$.
The key difference from results on random invariant manifolds (cf. for example [DLS03] or [MZZ07; DLS04; DW06b]) is that we obtain in first order $\mathcal{O}(\varepsilon)$ a fixed object, instead of a random set that is moving in time. Our result allows to control this dynamics at least to order $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$ or $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{3}\right)$. We pay for that qualitative description, by having all statements just with high probability, and not almost surely.
Our main result shows that in first order the flow of solutions of the SPDE (1.2) along $\mathcal{N}$ is well approximated by $\varepsilon a\left(\varepsilon^{2} t\right)$, where $a$ is the solution of the amplitude equation. In second order $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{2}\right)$, the distance from $\mathcal{N}$ is given by fast oscillations, which is given as a stationary Ornstein-Uhlenbeck process $\varepsilon^{2} \psi^{\star}(t)$. Thus the solutions are attracted by an $\mathcal{O}\left(\varepsilon^{3-\kappa}\right)$-neighbourhood of $\varepsilon^{2} \psi^{\star}(t)+\mathcal{N}$. Note that everything is valid only with high probability. Note that the setting for multiplicative noise is simpler, as the deterministic fixed point 0 is available. Therefore local results on the structure of invariant manifolds were obtained much earlier in that case (cf. for example [CLR01]). In Figure $3.2$ the typical behaviour of solutions is given.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Random Fixed Points
Let us discuss the dynamics of random fixed points for random dynamical systems induced by the SPDE. At this point we do not give a precise definition of random dynamical systems (see [Arn98] for details) or random fixed points (see for example [Sch98]). In this section it is enough to know that a random fixed point induces a stationary solution for the SPDE, if we start the SPDE in the random fixed point.
Theorem 3.7 Suppose Assumptions 2.5, 2.7, and $2.8$ are true, and let $u^{}(t)$ be a stationary mild solution in $X$ of (1.2). Let a be the solution of (1.5) with $a(0)=\varepsilon^{-1} P_{c} u^{}(0)$. Furthermore let $\psi^{\star}$ be the stationary Ornstein-Uhlenbeck given by (3.25).
Then there is a constant $c_{0}>0$ such that for all $T_{0}>0$ any small $\kappa \in(0,1)$, and all $p \geq 1$, there exists a constant $C>0$, such that
$$
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[c{0} \ln (1 / \varepsilon), T_{0} / \varepsilon^{2}\right]}\left|u^{}(t)-\varepsilon a\left(t \varepsilon^{2}\right)-\varepsilon^{2} \psi^{\star}(t)\right|_{X}^{p}\right)^{1 / p} \leq C \varepsilon^{3-\kappa} . $$ This result is an extension of the result for invariant measures (cf. Theorem 3.1), as the law of the stationary solution is at a fixed time $t$ exactly an invariant measure. Here we can control the time-evolution, too. Idea of proof: First we start the approximation result with initial condition $u^{}\left(-T_{a} \varepsilon^{-2}\right)$ for some $T_{a}>0$. This implies first for $t=0$, but then due to stationarity for all $t$, that
$$
\left(\mathbb{E}\left|u^{}(t)\right|^{p}\right)^{1 / p} \leq C \varepsilon \quad \text { and } \quad\left(\mathbb{E}\left|P_{s} u^{}(t)\right|^{p}\right)^{1 / p} \leq C \varepsilon^{2} .
$$
Thus, we can start the approximation result in 0 . and get
$$
\mathbb{E}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} / \varepsilon^{2}\right]}\left|u^{}(t)-\varepsilon a\left(t \varepsilon^{2}\right)-\varepsilon^{2} \psi(t)\right|_{X}^{p}\right)^{1 / p} \leq C \varepsilon^{3-\kappa}, $$ where $\psi$ is the OU-process with initial condition $\psi(0)=\varepsilon^{-2} P_{s} u^{}(0)$.
After a time scale of oder $\mathcal{O}(\ln (1 / \varepsilon))$ we can approximate $\psi$ with $\psi^{}$ as $$ \psi(t)=\mathrm{e}^{t L}\left(\psi(0)-\psi^{}(0)\right)+\psi^{*}(t)
$$
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Random Set Attractors
Let us extend our result for random fixed points (cf. Section 3.3.1) to random attractors. We do not present the result in full detail, but rather focus on a brief description of all steps necessary. Most steps are just quite technical but straightforward extensions of the estimates necessary for the residual, attractivity, and approximation. The key point is to rely on path-wise estimates, and take expectations in the end.
Assumption 3.3 Consider eq. (1.2) fulfilling Assumptions 2.5, 2.7, and 2.8.
The main example, we keep in mind is the stochastic Swift-Hohenberg equation in the space $X=L^{2}(G)$.
First we can use standard a priori estimates relying on nonlinear stability. This is very similar to Theorem $2.8$, but nevertheless, we need to get uniform bounds with respect to the initial conditions
$$
u(0) \in B_{r}:={x \in X:|x| \leq r}
$$
for any fixed $r>0$. For this we establish path-wise bounds for $v=u-\varepsilon^{2} \phi$ with $\phi=W_{L-\varepsilon^{2}}$, which solves the following random PDE (compare (2.87))
$$
\partial_{t} v=L v+\varepsilon^{2}(A v+\phi)+\varepsilon^{4} A \phi+\mathcal{F}\left(v+\varepsilon^{2} \phi\right), \quad v(0)=u(0) .
$$
We use standard deterministic a priori estimates for (3.26), and take expectations in the end. Note that this transformation is not ergodic, in contrast to the usual transformation in the theory of random attractors, where one uses the stationary Ornstein-Uhlenbeck process for $\phi$. For our setting we rely on $\phi$, as we do not want to change initial conditions in (3.26).
The first step is the attractivity. It is similar to the proof of Theorem $2.8$ and follows from standard a priori estimates for $v$ and the stochastic convolution. Note that we rely on nonlinear stability. The result is that for all $r>0$ there is a time $T_{e}=\mathcal{O}\left(\varepsilon^{-2}\right)$ such that for all $p>0$
$$
\mathbb{E}\left(\sup {u(0) \in B{r}}|u(t)|^{p}\right) \leq C \varepsilon^{p} \text { for all } t \geq T_{e} .
$$
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximative Centre Manifold
本节描述了受加性强迫影响的随机 PDE 解的演化如何由近似中心流形确定。这在 [Blö03] 中针对一阶近似进行了简要讨论。那里的歧管只是
向量空间ñ. 它吸引解决订单错误的解决方案这(e2), 和流动ñ由振幅方程在慢时间尺度上给出。
在这里，我们首先陈述一下Section的结果4.1在[BH05]中，它依赖于[BH04]中引入的二阶校正来描述距离ñ， 也。因此，我们需要非线性稳定性，以便约束矩。这就是为什么我们将自己限制在以下由假设给出的非线性稳定方程2.7.
与随机不变流形上的结果（参见例如 [DLS03] 或 [MZZ07; DLS04; DW06b]）的主要区别在于我们在一阶获得这(e)一个固定的对象，而不是随时间移动的随机集合。我们的结果允许至少控制这种动态这(e2)或者这(e3). 我们为这种定性描述付出了代价，因为所有陈述都具有很高的概率，而不是几乎肯定。
我们的主要结果表明，在一阶 SPDE (1.2) 的解流沿着ñ很好地近似于e一种(e2吨)， 在哪里一种是幅度方程的解。在二阶这(e2), 距离ñ由快速振荡给出，它被给出为一个平稳的 Ornstein-Uhlenbeck 过程e2ψ⋆(吨). 因此，解决方案被吸引这(e3−ķ)- 邻里e2ψ⋆(吨)+ñ. 请注意，一切只有在高概率下才有效。请注意，乘性噪声的设置更简单，因为确定性固定点 0 可用。因此，在这种情况下更早地获得了关于不变流形结构的局部结果（参见例如 [CLR01]）。如图3.2给出了解决方案的典型行为。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Random Fixed Points
让我们讨论由 SPDE 引起的随机动力系统的随机不动点的动力学。在这一点上，我们没有给出随机动力系统（详见[Arn98]）或随机固定点（参见例如[Sch98]）的精确定义。在本节中，如果我们在随机不动点中启动 SPDE，则只要知道随机不动点会导致 SPDE 的平稳解就足够了。
定理 3.7 假设假设 2.5、2.7 和2.8是真的，并且让在(吨)是一个平稳的温和溶液X(1.2)。设 a 为 (1.5) 的解一种(0)=e−1磷C在(0). 此外让ψ⋆是由 (3.25) 给出的静止 Ornstein-Uhlenbeck。
然后有一个常数C0>0这样对于所有人吨0>0任何小的ķ∈(0,1)， 和所有p≥1, 存在一个常数C>0, 这样
和(支持吨∈[C0ln(1/e),吨0/e2]|在(吨)−e一种(吨e2)−e2ψ⋆(吨)|Xp)1/p≤Ce3−ķ.该结果是不变测度结果的扩展（参见定理 3.1），因为固定解的定律在固定时间吨完全是一个不变的度量。在这里，我们也可以控制时间演化。证明思路：首先我们以初始条件开始逼近结果在(−吨一种e−2)对于一些吨一种>0. 这意味着首先对于吨=0, 但是由于所有的平稳性吨， 那
(和|在(吨)|p)1/p≤Ce 和 (和|磷s在(吨)|p)1/p≤Ce2.
因此，我们可以从 0 开始近似结果。并得到
和(支持吨∈[0,吨0/e2]|在(吨)−e一种(吨e2)−e2ψ(吨)|Xp)1/p≤Ce3−ķ,在哪里ψ是具有初始条件的 OU 过程ψ(0)=e−2磷s在(0).
经过一段时间的订单这(ln(1/e))我们可以近似ψ和ψ作为ψ(吨)=和吨大号(ψ(0)−ψ(0))+ψ∗(吨)
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Random Set Attractors
让我们将随机固定点的结果（参见第 3.3.1 节）扩展到随机吸引子。我们不会详细介绍结果，而是专注于对所有必要步骤的简要描述。大多数步骤只是对残差、吸引力和近似所必需的估计的技术性但直接的扩展。关键是要依靠路径估计，并最终取得预期。
假设 3.3 考虑等式。(1.2) 满足假设 2.5、2.7 和 2.8。
我们记住的主要例子是空间中的随机 Swift-Hohenberg 方程X=大号2(G).
首先，我们可以使用依赖于非线性稳定性的标准先验估计。这与定理非常相似2.8，但是，我们需要得到关于初始条件的统一界限
在(0)∈乙r:=X∈X:|X|≤r
对于任何固定r>0. 为此，我们为在=在−e2φ和φ=在大号−e2，它解决了以下随机 PDE（比较 (2.87)）
∂吨在=大号在+e2(一种在+φ)+e4一种φ+F(在+e2φ),在(0)=在(0).
我们对 (3.26) 使用标准确定性先验估计，并最终采用期望值。请注意，这种变换不是遍历的，与随机吸引子理论中的通常变换相反，后者使用平稳的 Ornstein-Uhlenbeck 过程φ. 对于我们的设置，我们依赖φ，因为我们不想改变（3.26）中的初始条件。
第一步是吸引力。类似于定理的证明2.8并遵循标准的先验估计在和随机卷积。请注意，我们依赖非线性稳定性。结果是所有人r>0有一段时间吨和=这(e−2)这样对于所有人p>0
和(支持在(0)∈乙r|在(吨)|p)≤Cep 对全部 吨≥吨和.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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