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自适应算法是一种在运行时根据可用信息和先验定义的奖励机制（或标准）改变其行为的算法。
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
计算机代写|自适应算法代写Adaptive algorithm代考|Control of Time Steps
Step size control is an important and necessary means to increase the efficiency of a time integration method. In fact, a constant time step is often not adequate to reach a given accuracy, since it would require a huge number of small steps. The discretization sequence, first time then space, permits us to consider naturally the spatial discretization as a perturbation of the time integration process. We assume for the moment that the spatial perturbation is always kept below a certain level and does not affect mainly the step size selection procedure. Thus, the generated time step sequence $\left{\tau_j\right}_{j=0,1, \ldots}$ is supposed to be nearly the same as in the case of no perturbation.
The local truncation error $\delta_\tau(t)$ is defined as the error after a single step of length $\tau$ starting with the exact local solution $u(t)$. Using the short notation $u_{n+1}=\Phi\left(u_n\right)$ for the Rosenbrock method (II.18)-(II.19), we have at $t=t_n$ with time step $\tau_n=t_{n+1}-t_n$
$$
\delta_{\tau_n}\left(t_n\right)=\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)-u\left(t_n+\tau_n\right) .
$$
The asymptotic behaviour of the local error for an order $p$ method can be described by
$$
\delta_{\tau_n}\left(t_n\right)=\phi\left(t_n\right) \tau_n^{p+1}+o\left(\tau_n^{p+2}\right), \quad \tau_n \rightarrow 0 .
$$
Assuming appropriate temporal regularity of the mapping $F(t, u(t))$ in (II.4), the coefficient vector $\phi(t)$ is a smooth function of $t$.
The global error $e_{n+1}:=u_{n+1}-u\left(t_{n+1}\right)$ at the forward time level $t=t_{n+1}$ can be seen to satisfy
$$
e_{n+1}=\Phi\left(e_n+u\left(t_n\right)\right)-\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)+\delta_{\tau_n}\left(t_n\right) .
$$
Consequently, this error is the sum of the local error and the difference of the actual Rosenbrock step $\Phi\left(u_n\right)$ and the hypothetical step $\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)$ taken from the exact solution $u\left(t_n\right)$. To measure the errors we introduce an appropriate norm III $\cdot$ II which is often a mixed absolute-relative norm in practical computations for reason of robustness (see Chapter V.\$4). It is now a fundamental property of a stable one-step integration method that
$$
||\left|e_{n+1}\right|\left|\leq I|| e_n\left|\left|+||\left|\delta_{\tau_n}\left(t_n\right)\right|\right| \leq\right||| e_0||\left|+\sum_{j=0}^n\right||| \delta_{\tau_j}\left(t_j\right) \mid\right|,
$$
showing that the global error consists of propagated and accumulated local truncation errors. Estimating and controlling the latter within an automatic step size selection procedure ensure that the step sizes $\tau_j$ are chosen sufficiently small to have the desired precision, but they have to be also sufficiently large to avoid unnecessary computational work.
计算机代写|自适应算法代写Adaptive algorithm代考|Estimation of Spatial Errors
Since the pioneering works of BABUS̆KA and RHEINBOLDT $[11,12]$ quite a lot of a posteriori error estimates have been developed for mastering finite element calculations. Now they are widely used in the mesh-controlled solution of partial differential equations. A good survey is given in [10] and more recently in [161], where also a substantial bibliography on the subject can be found.
We deal with a posteriori error estimators based on the use of hierarchical basis functions. Such estimators have been accepted to provide efficient and reliable assessment of spatial errors and to form a basis of adaptive local mesh refinement $[173,54,19,36]$. Our aim is the extension of the hierarchical bases technique to time-dependent nonlinear problems within the setting of linearly implicit time integrators. The crucial point herein is the construction of robust estimators for the fully discretized equations (III.16) which are singularly perturbed by the presence of the (variable) time step. A robust estimator has to yield upper and lower bounds on the error uniformly in the time step $\tau \geq 0$. In general, a straightforward application of standard adaptive finite element solvers runs into troubles in the limit case $\tau \rightarrow 0$. For selfadjoint scalar problems robust estimators were constructed in $[33,162]$. Our analysis takes into account the abstract framework of [19].
Analogously to Chapter IV.§1 we are interested in analyzing the local error behaviour. The spatial discretization is considered as a perturbation of the time integration process. Starting with the Rosenbrock solution $u_n$ at $t=t_n$, we will estimate the error $u_{n+1}-u_{h, n+1}$ caused by the spatial approximation of all stage values $K_{h, n i}^{\prime} \in \mathcal{V}h$. Although system (III.16) is linear the nonlinearity on the right-hand side gives rise to a nonlinear spatial error transport. Let us consider a hierarchical decomposition $$ \overline{\mathcal{V}}_h=\mathcal{V}_h \oplus \mathcal{Z}_h, $$ where $\mathcal{Z}_h$ is the subspace that corresponds to the span of all additional basis functions needed to enrich the space $\mathcal{V}_h$ to higher order. Consequently, any function $\bar{v} \in \overline{\mathcal{V}}_h$ has the unique decomposition $\bar{v}=v+z$, where $v \in \mathcal{V}_h$ and $z \in \mathcal{Z}_h$. The hierarchical basis error estimator tries to bound the spatial error by evaluating its components in the space $\mathcal{Z}_h$, i.e., $$ C_1||\left|E{h, n+1}\right|\left||\leq|\left|u_{n+1}-u_{h, n+1}\right|\right| \leq C_2||\left|E_{h, n+1} |\right|,
$$
where $E_{h, n+1} \in \mathcal{Z}_h$ is the computed a posteriori error estimate.
自适应算法代考
计算机代写|自适应算法代写Adaptive algorithm代考|Control of Time Steps
步长控制是提高时间积分方法效率的重要且必要的手段。事实上，恒定的时间步长通常不足以达到给 定的精度，因为它需要大量的小步长。离散化序列，先是时间，然后是空间，使我们可以自然地将空 间离散化视为时间积分过程的扰动。我们暂时假设空间扰动始终保持在一定水平以下，并且主要不影 相同。
局部截断错误 $\delta_\tau(t)$ 定义为单步长度后的误差 $\tau$ 从精确的本地解决方案开始 $u(t)$. 使用短符号 $u_{n+1}=\Phi\left(u_n\right)$ 对于 Rosenbrock 方法(II.18)-(II.19)，我们有 $t=t_n$ 随看时间步长 $\tau_n=t_{n+1}-t_n$
$$
\delta_{\tau_n}\left(t_n\right)=\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)-u\left(t_n+\tau_n\right) .
$$
订单局部误差的渐近行为 $p$ 方法可以描述为
$$
\delta_{\tau_n}\left(t_n\right)=\phi\left(t_n\right) \tau_n^{p+1}+o\left(\tau_n^{p+2}\right), \quad \tau_n \rightarrow 0 .
$$
假设映射具有适当的时间规律性 $F(t, u(t))$ 在 (II.4) 中，系数向量 $\phi(t)$ 是一个光滑的函数 $t$.
全局错误 $e_{n+1}:=u_{n+1}-u\left(t_{n+1}\right)$ 在前向时间水平 $t=t_{n+1}$ 可以看出满足
$$
e_{n+1}=\Phi\left(e_n+u\left(t_n\right)\right)-\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)+\delta_{\tau_n}\left(t_n\right) .
$$
因此，该误差是局部误差与实际 Rosenbrock 步长之差的总和 $\Phi\left(u_n\right)$ 和假设的步㡜 $\Phi\left(u\left(t_n\right)\right)$ 取自精 确解 $u\left(t_n\right)$. 为了衡量错误，我们引入了一个适当的标准 III·|I 出于稳健性的原因，在实际计算中通常是 混合的绝对-相对范数（参见第 $\mathrm{V}$ 章 $\$ 4$ ）。现在，稳定的一步积分方法的一个基本属性是
$$
\left|\left|e_{n+1}\right|\left|\leq I\left|e_n\right|+\right||| \delta_{\tau_n}\left(t_n\right)\right| \leq|| e_0\left|\left|+\sum_{j=0}^n\right|\right| \delta_{\tau_j}\left(t_j\right)||,
$$
表明全局误差由传播和㽧积的局部截断误差组成。在自动步长选择程序中估计和控制后者确保步长 $\tau_j$ 选择足够小以获得所需的精度，但它们也必须足够大以避免不必要的计算工作。
计算机代写|自适应算法代写Adaptive algorithm代考|Estimation of Spatial Errors
自从 BABUS̆KA 和 RHEINBOLDT 的开创性工作以来 $[11,12]$ 为了掌握有限元计算，已经开发了相当多 的后验误差估计。现在它们被广泛应用于偏微分方程的网格控制求解中。[10] 和最近的 [161] 中给出 了一个很好的调查，其中还可以找到关于该主题的大量参考书目。
我们处理基于层次基函数使用的后验误差估计。这种估计器已被接受以提供有效和可靠的空间误差评 估，并形成自适应局部网格细化的基础 $[173,54,19,36]$. 我们的目标是将层次基技术扩展到线性隐式 时间积分器设置内的时间相关非线性问题。这里的关键点是为完全离散化的方程 (III.16) 构造鲁棒估计 量，这些方程因 (可变) 时间步长的存在而受到奇异的扰动。稳健的估计器必须在时间步长内统一产 生误差的上限和下限 $\tau \geq 0$. 一般来说，标准自适应有限元求解器的直接应用在极限情况下会遇到麻烦 $\tau \rightarrow 0$. 对于自伴随标量问题，构建了稳健的估计量 $[33,162]$. 我们的分析考虑了 [19] 的抽象框架。 类似于第 IV.\$1 章，我们有兴趣分析局部错误行为。空间离散化被认为是时间积分过程的扰动。从 Rosenbrock 解决方案开始 $u_n$ 在 $t=t_n$ ，我们将估计误差 $u_{n+1}-u_{h, n+1}$ 由所有阶段值的空间近似引 起 $K_{h, n i}^{\prime} \in \mathcal{V} h$. 尽管系统 (III.16) 是线性的，但右侧的非线性会导致非线性空间误差传输。让我们考虑 层次分解
$$
\overline{\mathcal{V}}h=\mathcal{V}_h \oplus \mathcal{Z}_h, $$ 在哪里 $\mathcal{Z}_h$ 是对应于丰富空间所需的所有附加基函数跨度的子空间 $\mathcal{V}_h$ 到更高阶。因此，任何函数 $\bar{v} \in \overline{\mathcal{V}}_h$ 有独特的分解 $\bar{v}=v+z$ ，在哪里 $v \in \mathcal{V}_h$ 和 $z \in \mathcal{Z}_h$. 层次基础误差估计器试图通过评估空间 中的组件来限制空间误差 $\mathcal{Z}_h$ ，那是， $$ C_1||E h, n+1|| \leq\left|u{n+1}-u_{h, n+1}\right| \leq C_2\left|\mid E_{h, n+1}\right|,
$$
在哪里 $E_{h, n+1} \in \mathcal{Z}_h$ 是计算的后验误差估计。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。