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代数数论是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
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数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries on Noetherian rings
All rings in this section are commutative.
Proposition 2.1.1. – Let $R$ be a ring, and $M$ be an $R$-module. The following statements are equivalent:
- Every submodule of $M$ (including $M$ itself) is finitely generated.
- For any increasing chain of ideals $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots \subseteq N_n \subseteq N_{n+1} \subseteq \cdots$, there exists an integer $m$ such that $N_n=N_{n+1}$ for all $n \geq m$.
- Every non-empty subset $\mathcal{S}$ of submodules of $M$ contains a maximal element $N$ under inclusion, i.e. if $N^{\prime} \in \mathcal{S}$ contains $N$, then $N=N^{\prime}$.
Proof. – We prove first (1) $\Longrightarrow$ (2). Given an increasing chain of submodules $N_1 \subseteq N_2 \subseteq$ $\cdots N_n \subseteq \cdots$, put $N_{\infty}=\cup_{n \geq 1} N_n$. Write $N_{\infty}=\left(x_1, \cdots, x_r\right)$. If $m \geq 1$ is large enough so that all $x_i \in N_m$, then $N_n=N_{\infty}$ for all $n \geq m$.
For (2) $\Longrightarrow$ (3), we assume that $\mathcal{S}$ does not contain any maximal element. Take an arbitrary $N_1 \in \mathcal{S}$. Since $N_1$ is not maximal, there exists $N_2 \in \mathcal{S}$ such that $N_1 \subsetneq N_2$. Continuing this process, we produce an increasing chain of ideals $N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \cdots N_n \subsetneq$ $N_{n+1} \subsetneq \cdots$, whose existence contradicts with (2).
Finally, we prove (3) $\Longrightarrow$ (1). It is enough to prove that $M$ is finitely generated, since the same arguments apply with $M$ replaced by any submodule $N \subseteq M$. Consider the set $\mathcal{S}$ consisting of all finitely generated submodules of $M$. Then $\mathcal{S}$ is non-empty, because $(0) \in \mathcal{S}$. Let $N \in \mathcal{S}$ be a maximal element. For any $x \in M, N^{\prime}=N+R \cdot x$ is also finitely generated and $N \subseteq N^{\prime}$. Then one has $N=N^{\prime}$ by the maximality of $N$. This implies that $x \in N$, i.e. $N=M$.
Definition 2.1.2. – (1) We say an $R$-module $M$ is Noetherian if it satisfies the equivalent conditions in the previous Proposition.
(2) We say a ring $R$ is Noetherian, if $R$ itself is Noetherian as an $R$-module.
Proposition 2.1.3. – Let $0 \rightarrow M_1 \rightarrow M \rightarrow M_2 \rightarrow 0$ be a short exact sequence of $R$-modules. Then $M$ is Noetherian if and only if both $M_1$ and $M_2$ are Noetherian.
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Dedekind domains
Definition 2.2.1. – An integral domain $A$ is called a Dedekind domain if it is Noetherian and integrally closed, and every non-zero prime is maximal.
Example 2.2.2. – (1) Every principal ideal domain is a Dedekind domain, e.g. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{F}_p[X], \mathbb{C}[X]$.
(2) For any number field $K, \mathcal{O}_K$ is a Dedekind domain.
(3) Let $k$ be a field, $F(x, y) \in k[x, y]$ such that $F(x, y), F_x^{\prime}(x, y)$ and $F_y^{\prime}(x, y)$ has no common zeros. Then $k[x, y] /(F(x, y))$ is a Dedekind domain.
Definition 2.2.3. – Let $A$ be a domain with fractional field $K$. Then a fractional ideal $I$ of $A$ is a sub- $A$-module of $K$ such that there exists $d \in A$ with $d I \subset A$.
If $I$ and $J$ are both fractional ideals of $A$, then
$$
I+J={x \in K \mid x=a+b, a \in I, b \in J}, \quad I \cdot J=\left{x=\sum_i a_i b_i \mid a_i \in I, b_i \in J\right}
$$
are both fractional ideals.
The main result of this section is the following
Theorem 2.2.4. – Let A be a Dedekind domain. Every ideal I of A has a factorization $I=\mathfrak{p}1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}$ where $\mathfrak{p}_i$ are distinct prime ideals and $a_i \in \mathbb{Z}{\geq 0}$; moreover, the factorization of $I$ is unique up to order, i.e. if I has two such factorizations $\mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}=\mathfrak{q}_1^{b_1} \cdots \mathfrak{q}_s^{b_s}$, then $r=s$ and for each $1 \leq i \leq r$, there exists a unique $j$ such that $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{q}_j$ and $a_i=b_j$.
To prove this theorem, we need some preparation.
Lemma 2.2.5. – Let $A$ be a Noetherian ring. Then every ideal $I \neq 0$ of A contains a product of prime ideals.
Proof. – Let $\mathcal{S}$ be the set of ideals that do not contain any product of prime ideals. Suppose that $\mathcal{S}$ is non-empty. Since $A$ is Noetherian, $\mathcal{S}$ admits a maximal element, say $I$. Then $I$ must not be a prime ideal. Thus there exist $a, b \in R$ such that $a, b \notin I$ but $a b \in I$. Then consider $I_1=I+(a)$ and $I_2=I+(b)$. Then $I \subsetneq I_i$ for $i=1,2$. By the maximality of $I$, both $I_1$ and $I_2$ will contain a product of prime ideals. But it follows from
$$
I_1 I_2 \subseteq(a b)+a I+b I+I^2 \subseteq I
$$
that $I$ should also contain a product of prime ideals. This is a contradiction.
代数数论代考
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Preliminaries on Noetherian rings
本节中的所有环都是可交换的。
提案 2.1.1。-让 $R$ 是一个戒指，并且 $M$ 豆 $R$-模块。以下语句是等效的:
- 每个子模块 $M$ （包含 $M$ 本身）是有限生成的。
- 对于任何递增的理想链 $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots \subseteq N_n \subseteq N_{n+1} \subseteq \cdots$, 存在一个整数 $m$ 这样 $N_n=N_{n+1}$ 对所 有人 $n \geq m$.
- 每个非空子集 $\mathcal{S}$ 的子模块 $M$ 包含最大元素 $N$ 包含在内，即如果 $N^{\prime} \in \mathcal{S}$ 包含 $N$ ，然后 $N=N^{\prime}$.
证明。- 我们首先证明 (1) $\Longrightarrow$ (2). 鉴于子模块链不断增加 $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots N_n \subseteq \cdots$ ，放 $N_{\infty}=\cup_{n \geq 1} N_n$. 写 $N_{\infty}=\left(x_1, \cdots, x_r\right)$. 如果 $m \geq 1$ 足够大，所以所有 $x_i \in N_m$ ， 然后 $N_n=N_{\infty}$ 对所有人 $n \geq m$.
对于 (2) $\Longrightarrow(3)$ ，我们假设 $\mathcal{S}$ 不包含任何最大元素。采取任意 $N_1 \in \mathcal{S}$. 自从 $N_1$ 不是最大的，存在 $N_2 \in \mathcal{S}$ 这 样 $N_1 \subsetneq N_2$. 继续这个过程，我们产生了越来越多的理想链 $N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \cdots N_n \subsetneq N_{n+1} \subsetneq \cdots$ ， 其存在与 (2) 矛盾。
最后，我们证明 (3) $\Longrightarrow(1)$. 足以证明 $M$ 是有限生成的，因为相同的论点适用于 $M$ 被任何子模块替换 $N \subseteq M$ .考虑集合 $\mathcal{S}$ 由所有有限生成的子模块组成 $M$. 然后 $\mathcal{S}$ 是非空的，因为 $(0) \in \mathcal{S}$. 让 $N \in \mathcal{S}$ 是一个极大的元素。对 于任何 $x \in M, N^{\prime}=N+R \cdot x$ 也是有限生成的，并且 $N \subseteq N^{\prime}$. 然后一个有 $N=N^{\prime}$ 的最大值 $N$. 这意味若 $x \in N, \mathrm{IE} N=M$.
定义 2.1.2。 – (1) 我们说一个 $R$-模块 $M$ 如果它满足前面命题中的等价条件，则它是 Noetherian。
(2) 我们说一个环 $R$ 是诺特式的，如果 $R$ 本身是诺特的 $R$-模块。
提案 2.1.3。-让0 $\rightarrow M_1 \rightarrow M \rightarrow M_2 \rightarrow 0$ 是一个简短的精确序列 $R$-模块。然后 $M$ 是诺特式当且仅当两者 $M_1$ 和 $M_2$ 是诺特主义者。
数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Dedekind domains
定义 2.2.1。-一个完整的域 $A$ 如果它是 Noetherian 并且是整闭的，并且每个非零素数都是最大的，则称为 Dedekind 域。
示例 2.2.2。-(1) 每个主理想域都是 Dedekind 域，例如 $\mathbb{Z} ， \mathbb{F}_p[X], \mathbb{C}[X]$.
(2) 对于任意数字字段 $K, \mathcal{O}_K$ 是戴德金域。
(3) 请注意 $k$ 成为一个领域， $F(x, y) \in k[x, y]$ 这样 $F(x, y), F_x^{\prime}(x, y)$ 和 $F_y^{\prime}(x, y)$ 没有共同的零点。然后 $k[x, y] /(F(x, y))$ 是戴德金域。
定义 2.2.3。-让 $A$ 是一个带小数域的域 $K$. 然后是一个分数理想 $I$ 的 $A$ 是一个子 $A$-模块的 $K$ 这样就存在 $d \in A$ 和 $d I \subset A$.
如果 $I$ 和 $J$ 都是分数理想 $A$ ，然后
都是分数理想。
本节的主要结果是下面的
定理2.2.4。-设 A 为 Dedekind 域。 $\mathrm{A}$ 的每个理想I 都有一个因式分解 $I=\mathfrak{p} 1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_T}$ 在哪里 $\mathfrak{p}_i$ 是不同的素理 想和 $a_i \in \mathbb{Z} \geq 0$; 此外，因式分解 $I$ 根据顺序是唯一的，即如果我有两个这样的因式分解
$\mathfrak{p}_1^{a_1} \cdots \mathfrak{p}_r^{a_r}=\mathfrak{q}_1^{b_1} \cdots \mathfrak{q}_s^{b_s}$ ，然后 $r=s$ 并为每个 $1 \leq i \leq r$ ，存在唯一的 $j$ 这样 $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{q}_j$ 和 $a_i=b_j$.
为了证明这个定理，我们需要做一些准备。
引理 2.2.5。-让 $A$ 成为诺特环。那么每一个理想 $I \neq 0$ A 包含素理想的乘积。
证明。-让 $\mathcal{S}$ 是不包含任何素理想乘积的理想集。假设 $\mathcal{S}$ 是非空的。自从 $A$ 是诺特主义者， $\mathcal{S}$ 承认一个最大的元 素，比如说 $I$. 然后 $I$ 一定不是素理想。因此存在 $a, b \in R$ 这样 $a, b \notin I$ 但 $a b \in I$. 然后考虑 $I_1=I+(a)$ 和 $I_2=I+(b)$. 然后 $I \subsetneq I_i$ 为了 $i=1,2$. 通过最大值 $I$ ，两个都 $I_1$ 和 $I_2$ 将包含主要理想的产物。但它遵循
$$
I_1 I_2 \subseteq(a b)+a I+b I+I^2 \subseteq I
$$
那 $I$ 还应该包含素理想的产物。这是一个矛盾。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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