数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MAST90029
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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。
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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Differentials on Polynomial Algebras
We start by looking at examples close to classical geometry, where $A$ is the algebra of polynomials in some number of variables or a quotient of this by additional relations, in other words in the setting of affine algebraic geometry. In the case of the affine line, there is an additive structure and we are particularly interested in translation-invariant differentials. We will formalise this notion using Hopf algebras in Chap. 2 but here it just means with respect to translation on the underlying additive group.
Example $1.10$ (Affine Line) For $A=\mathbb{C}[x]$ the algebra of polynomials in 1 variable $x$, irreducible translation-invariant $\Omega^{1}$ are parametrised by $\lambda \in \mathbb{C}$ and take the form
$$
\Omega^{1}=\mathbb{C}[x] \mathrm{d} x, \quad \mathrm{~d} x \cdot f(x)=f(x+\lambda) \mathrm{d} x, \quad \mathrm{~d} f=\frac{f(x+\lambda)-f(x)}{\lambda} \mathrm{d} x .
$$
Only the Newton-Leibniz calculus at $\lambda=0$ has $[\mathrm{d} x, f]=0$. The calculus is a -calculus with $x^{}=x$ if and only if $\lambda \in \mathrm{i}$, which real form we denote by $\mathbb{C}_{\lambda}[\mathbb{R}]$. It is inner if and only if $\lambda \neq 0$, with $\theta=\lambda^{-1} \mathrm{~d} x$, and is connected for all $\lambda$.
Proof Here $\Omega^{1}$ is defined as having a left-module basis $\mathrm{d} x$. The second equation then specifies the right module structure. In that case $\mathrm{d} x^{n}=\mathrm{d} x \cdot x^{n-1}+x \cdot \mathrm{d} x^{n-1}=$ $(x+\lambda)^{n-1} \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} x^{n-1}$ gives the formula for $\mathrm{d}$ on monomials by induction and one can then check that it obeys the derivation rule. For a $$-calculus we need $(\mathrm{d} x \cdot x)^{}=$ $((x+\lambda) \cdot \mathrm{d} x)^{}=\mathrm{d} x \cdot\left(x+\lambda^{}\right)=\left(x+\lambda+\lambda^{}\right) \cdot \mathrm{d} x$ to equal $x^{} \cdot \mathrm{d} x^{*}=x \cdot \mathrm{d} x$ which forces $\lambda$ to be imaginary, and one can easily check that this then works in general. Finally, if $\mathrm{d} f=0$ we have $f(x+\lambda)=f(x)$, which for polynomials implies $f \in \mathbb{C}$ 1. The converse direction, that these are the only translation-invariant calculi that have no further quotients, will depend on results in Chap. 2. The inner case is clear from the commutation relations.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Quantum Metrics and Laplacians
One can already start to do a bit of geometry knowing only $\Omega^{1}$ on an algebra A. Specifically in this book we will be very interested in the metric and the first ingredient for this is a bimodule inner product, i.e., a bimodule map
$$
\left(\text {, ) }: \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1} \rightarrow A .\right.
$$
Explicitly, this means a bilinear map such that
$$
(\omega \cdot a, \eta)=(\omega, a . \eta), \quad a(\omega, \eta)=(a \cdot \omega, \eta), \quad(\omega, \eta) a=(\omega, \eta \cdot a)
$$
for all $a \in A, \omega, \eta \in \Omega^{1}$. The first condition tells us that the map descends to a welldefined map on $\Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1}$ and the second two identities say that it is a bimodule map. These properties in the classical case of $A=C^{\infty}(M)$ just tell us that we have a 2-tensor like $g^{\mu v}(x)$ : the first identity says that the functional-dependence on $x$ can be associated equally well with either index while the second identities are essential to the role of metrics to contract consistently with other tensors, e.g. for an expression like $g^{\mu \nu} T_{\zeta \mu \nu}$ to make sense as a composition (id $\left.\otimes(,)\right)(T$, where $T \in \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1}$. So what we are asking for is the noncommutative version of tensoriality. In fact, Lemma $1.16$ below shows that this can be quite restrictive if we also want invertibility, so we will also consider a more general approach where we drop the first condition, see $\S 8.4$.
In the $$-algebra case it is normal to impose a compatibility condition $$ (\omega, \eta)^{}=\left(\eta^{}, \omega^{}\right)
$$
which in the case of a real manifold would be symmetry. Or in the complexified case, if we know that $(,$, is symmetric, then the condition could be seen as a reality condition. Classically, we would normally also want $($, ) to be nondegenerate or, in the nicest case, the associated tensor printwise-invertihle, and we would tend to call this inverse the metric or if we have not imposed symmetry then the ‘generalised metric’. This leads us to focus on the following.
黎曼几何代考
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Differentials on Polynomial Algebras
我们首先查看接近经典几何的例子,其中 $A$ 是多项式在一些变量中的代数,或者是通过附加关系得到的商,换句话 说,在仿射代数几何的设置中。在仿射线的情况下,有一个加法结构,我们对平移不变微分特别感兴趣。我们将在 第一章中使用 Hopf 代数形式化这个概念。2 但在这里它仅意味着关于基础附加组的翻译。
例子 $1.10$ (仿射线) 对于 $A=\mathbb{C}[x] 1$ 个变量的多项式代数 $x$ ,不可约平移不变 $\Omega^{1}$ 被参数化 $\lambda \in \mathbb{C}$ 并采取形式
$$
\Omega^{1}=\mathbb{C}[x] \mathrm{d} x, \quad \mathrm{~d} x \cdot f(x)=f(x+\lambda) \mathrm{d} x, \quad \mathrm{~d} f=\frac{f(x+\lambda)-f(x)}{\lambda} \mathrm{d} x .
$$
只有牛顿-莱布尼茨微积分 $\lambda=0$ 有 $[\mathrm{d} x, f]=0$. 微积分是一个-微积分 $x=x$ 当且仅当 $\lambda \in \mathrm{i}$ ,我们用哪个实数表 示 $\mathbb{C}_{\lambda}[\mathbb{R}]$. 当且仅当它是内在的 $\lambda \neq 0$ ,和 $\theta=\lambda^{-1} \mathrm{~d} x$ ,并为所有连接 $\lambda$.
证明在这里 $\Omega^{1}$ 被定义为具有左模基础 $\mathrm{d} x$. 然后第二个等式指定正确的模块结构。在这种情况下 $\mathrm{d} x^{n}=\mathrm{d} x \cdot x^{n-1}+x \cdot \mathrm{d} x^{n-1}=(x+\lambda)^{n-1} \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} x^{n-1}$ 给出公式d通过归纳法对单项式进行归纳,然 后可以检查它是否符合推导规则。对于 $\$$-calculus,我们需要 $(\mathrm{d} x \cdot x)=$
$((x+\lambda) \cdot \mathrm{d} x)=\mathrm{d} x \cdot(x+\lambda)=(x+\lambda+\lambda) \cdot \mathrm{d} x$ 等于 $x \cdot \mathrm{d} x^{*}=x \cdot \mathrm{d} x$ 这迫使 $\lambda$ 是想象的,并且可以很 容易地检查这是否可以正常工作。最后,如果 $\mathrm{d} f=0$ 我们有 $f(x+\lambda)=f(x)$ , 这对于多项式意味着 $f \in \mathbb{C} 1$. 相 反的方向,即这些是唯一没有进一步商的平移不变演算,将取决于第 1 章中的结果。2. 内格从对易关系上一目了然。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Quantum Metrics and Laplacians
一个人已经可以开始做一点几何知识了 $\Omega^{1}$ 关于代数 A. 特别是在这本书中,我们将对度量非常感兴趣,并且第一个 要素是双模内积,即双模映射
$$
(,): \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1} \rightarrow A \text {. }
$$
明确地说,这意味着一个双线性映射,使得
$$
(\omega \cdot a, \eta)=(\omega, a . \eta), \quad a(\omega, \eta)=(a \cdot \omega, \eta), \quad(\omega, \eta) a=(\omega, \eta \cdot a)
$$
对所有人 $a \in A, \omega, \eta \in \Omega^{1}$. 第一个条件告诉我们地图下降到定义明确的地图 $\Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1}$ 而后两个恒等式表示它 是一个双模图。这些属性在经典情况下 $A=C^{\infty}(M)$ 告诉我们我们有一个像 2-tensorg $g^{\mu v}(x)$ : 第一个恒等式表 示功能依赖于 $x$ 可以与任一索引同样良好地关联,而第二个身份对于度量与其他张量一致收缩的作用是必不可少 的,例如,对于像这样的表达式 $g^{\mu \nu} T_{\zeta \mu \nu}$ 作为一个组合有意义 $(\mathrm{id} \otimes(,))\left(\right.$, , 在哪里 $T \in \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1} \otimes_{A} \Omega^{1}$. 所以我们要求的是张量的非交换版本。事实上,引理 $1.16$ 下面表明,如果我们还想要可逆性,这可能会受到很大 限制,因此我们还将考虑一种更通用的方法,即我们放弃第一个条件,请参见 $\$ 8.4$.
在里面
-algebracaseitisnormaltoimposeacompatibilitycondition $\$ \$$
在实流形的情况下是对称的。或者在复杂的情况下,如果我们知道 (,, 是对称的,则该条件可以看作是现实条件。 经典地,我们通常也会想要 $($ , 是非退化的,或者在最好的情况下,是相关的张量 printwise-invertihle,我们倾向 于将此逆称为度量,或者如果我们没有施加对称性,则称为“广义度量”。这导致我们关注以下内容。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。