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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Algebraic Number Theory, First Steps
Here we give some general applications, in elementary number theory, of the results previously obtained in this chapter. For a glimpse of the many fascinating facets of number theory, the reader should consult the wonderful book [Ireland \& Rosen].
Integral Algebras
We give a few precisions relating to Definition 3.2.
8.1 Definition
- An $\mathbf{A}$-algebra $\mathbf{B}$ is said to be finite if $\mathbf{B}$ is a finitely generated $\mathbf{A}$-module. We also say that $\mathbf{B}$ is finite over $\mathbf{A}$. In the case of an extension, we speak of a finite extension of $\mathbf{A}$.
- Assume $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$. The ring $\mathbf{A}$ is said to be integrally closed in $\mathbf{B}$ if every element of $\mathbf{B}$ integral over $\mathbf{A}$ is in $\mathbf{A}$.
8.2 Fact Let $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ and $x \in \mathbf{B}$. The following properties are equivalent. - The element $x$ is integral over $\mathbf{A}$.
- The subalgebra $\mathbf{A}[x]$ of $\mathbf{B}$ is finite.
- There exists a faithful and finitely generated $\mathbf{A}$-module $M \subseteq \mathbf{B}$ such that $x M \subseteq M$.
D $3 \Rightarrow 1$ (a fortiori $2 \Rightarrow 1$.) Consider a matrix $A$ with coefficients in $\mathbf{A}$ which represents $\mu_{x, M}$ (the multiplication by $x$ in $M$ ) on a finite generator set of $M$. If $f$ is the characteristic polynomial of $A$, we have by the Cayley-Hamilton theorem $0=f\left(\mu_{x, M}\right)=\mu_{f(x), M}$ and since the module is faithful, $f(x)=0$.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Concrete local-global principle
8.9 Concrete local-global principle (Integral elements) Let $S_1, \ldots$, $S_n$ be comaximal of a ring $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$ and $x \in \mathbf{B}$. We have the following equivalences.
- The element $x$ is integral over $\mathbf{A}$ if and only if it is integral over each $\mathbf{A}_{S_i}$.
- Assume $\mathbf{A}$ is integral, then $\mathbf{A}$ is integrally closed if and only if each $\mathbf{A}_{S_i}$ is integrally closed.
D In item 1 we need to prove that if the condition is locally achieved, then it is globally achieved. Consider then some $x \in \mathbf{B}$ which satisfies for each $i$ a relation $\left(s_i x\right)^k=a_{i, 1}\left(s_i x\right)^{k-1}+a_{i, 2}\left(s_i x\right)^{k-2}+\cdots+a_{i, k}$ with $a_{i, h} \in \mathbf{A}$ and $s_i \in S_i$ (we can assume without loss of generality that the degrees are the same). We then use a relation $\sum s_i^k u_i=1$ to obtain an integral dependence relation of $x$ over $\mathbf{A}$.
Kronecker’s theorem easily implies the following lemma.
8.10 Lemma (Kronecker’s theorem, case of an integral ring) Let A be integrally closed, and $\mathbf{K}$ be its quotient field. If we have $f=g h$ in $\mathbf{K}[T]$ with $g$, $h$ monic and $f \in \mathbf{A}[T]$, then $g$ and $h$ are also in $\mathbf{A}[T]$.
8.11 Lemma The ring $\mathbb{Z}$ as well as the ring $\mathbf{K}[X]$ when $\mathbf{K}$ is a discrete field are integrally closed.
D In fact this holds for every ring with an integral gcd A (see Sect. XI-2). Let $f(T)=T^n-\sum_{k=0}^{n-1} f_k T^k$ and $a / b$ be a reduced fraction in the quotient field of $\mathbf{A}$ with $f(a / b)=0$. By multiplying by $b^n$ we obtain
$$
a^n=b \sum_{k=0}^{n-1} f_k a^k b^{n-1-k}
$$
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Algebraic Number Theory, First Steps
在这里，我们给出了本章所得到的结果在初等数论中的一些一般应用。要了解数论的许多迷人方面，读者应该查阅这本精彩的书[Ireland ＆ Rosen]。
积分代数
我们给出一些与定义3.2有关的精度。
8.1定义
如果$\mathbf{B}$是有限生成的$\mathbf{A}$ -模块，则称$\mathbf{A}$ -代数$\mathbf{B}$是有限的。我们也说$\mathbf{B}$对$\mathbf{A}$是有限的。在扩展的情况下，我们说的是$\mathbf{A}$的有限扩展。
假设$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$。如果$\mathbf{B}$积分在$\mathbf{A}$上的每一个元素都在$\mathbf{A}$上，那么我们就说这个环$\mathbf{A}$在$\mathbf{B}$上是整闭的。
8.2事实让$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$和$x \in \mathbf{B}$。以下属性是等价的。
元素$x$对$\mathbf{A}$积分。
$\mathbf{B}$的子代数$\mathbf{A}[x]$是有限的。
存在一个忠实且有限生成的$\mathbf{A}$ -模块$M \subseteq \mathbf{B}$，以便$x M \subseteq M$。
D $3 \Rightarrow 1$(而不是$2 \Rightarrow 1$。)考虑一个矩阵$A$，其系数在$\mathbf{A}$中，它表示在一个有限的发电集$M$上的$\mu_{x, M}$(在$M$中乘以$x$)。如果$f$是$A$的特征多项式，我们有，根据Cayley-Hamilton定理$0=f\left(\mu_{x, M}\right)=\mu_{f(x), M}$由于模块是可靠的，$f(x)=0$。
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8.9具体局部-全局原理(积分元)设$S_1, \ldots$, $S_n$为环的最大值$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$, $x \in \mathbf{B}$。我们有下面的等价物。
元素$x$对$\mathbf{A}$积分当且仅当它对每个$\mathbf{A}_{S_i}$积分。
假设$\mathbf{A}$是整的，那么$\mathbf{A}$是整闭的当且仅当每个$\mathbf{A}_{S_i}$是整闭的。
在第1项中，我们需要证明如果条件在局部得到满足，那么它在全局得到满足。然后考虑一些$x \in \mathbf{B}$，它满足每个$i$与$a_{i, h} \in \mathbf{A}$和$s_i \in S_i$的关系$\left(s_i x\right)^k=a_{i, 1}\left(s_i x\right)^{k-1}+a_{i, 2}\left(s_i x\right)^{k-2}+\cdots+a_{i, k}$(我们可以在不失去一般性的情况下假设度是相同的)。然后，我们使用关系$\sum s_i^k u_i=1$来获得$x$ / $\mathbf{A}$的积分依赖关系。
克罗内克定理很容易推导出以下引理。
8.10引理(Kronecker定理，积分环的情况)设A是整闭的，$\mathbf{K}$是它的商域。如果$\mathbf{K}[T]$中有$f=g h$, $g$, $h$ monic和$f \in \mathbf{A}[T]$，那么$g$和$h$也在$\mathbf{A}[T]$中。
8.11引理当$\mathbf{K}$为离散场时，环$\mathbb{Z}$和环$\mathbf{K}[X]$是整闭的。
设$f(T)=T^n-\sum_{k=0}^{n-1} f_k T^k$和$a / b$是$\mathbf{A}$与$f(a / b)=0$的商域中的约简分数。乘以$b^n$我们得到
$$
a^n=b \sum_{k=0}^{n-1} f_k a^k b^{n-1-k}
$$
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