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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective Modules and Schanuel’s Lemma
The notion of a projective module can be defined for modules which are not finitely generated. In the following we will rarely use such modules, but it is however useful to give some precisions on this subject.
2.5 Definition An A-module $P$ (not necessarily finitely generated) is said to be projective if it satisfies the following property.
For all A-modules $M, N$, for every surjective linear map $\psi: M \rightarrow N$ and every linear map $\Phi: P \rightarrow N$, there exists a linear map $\varphi: P \rightarrow M$ such that $\psi \circ \varphi=\Phi$.
Thus, given the characterization (c4) in Theorem 2.1, an A-module is finitely generated projective if and only if it is projective and finitely generated.
In the following fact, the last property resembles the implication $(c 4) \Rightarrow(c 3)$ in this theorem.
A linear map $\varphi: E \rightarrow F$ is called a split surjection if there exists a $\psi: F \rightarrow E$ with $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_F$. In this case we say that $\psi$ is a section of $\varphi$, and we have $E=$ $\operatorname{Ker} \varphi \oplus \psi(F) \simeq \operatorname{Ker} \varphi \oplus F$.
A short exact sequence is said to be split if its surjection is split.
- A free module whose basis is a set in bijection with $\mathbb{N}$ is projective. For example the ring of polynomials $\mathbf{A}[X]$ is a projective $\mathbf{A}$-module.
- Every module that is a direct summand in a projective module is projective.
- If $P$ is projective, every short exact sequence $0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow P \rightarrow 0$ splits.
Comment In constructive mathematics the free modules are not always projective. Furthermore, it seems impossible to represent every module as a quotient of a free and projective module. Similarly it seems impossible to place every projective module as a direct summand in a free and projective module. For more details on this matter consult Exercise VIII-16 and [MRR].
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Category of Finitely Generated Projective Modules
The category of finitely generated projective modules over A can be constructed from the category of free modules of finite rank over A by a purely categorical procedure.
- A finitely generated projective module $P$ is described by a pair $\left(\mathrm{L}P, \operatorname{Pr}_P\right)$ where $L_P$ is a free module of finite rank and $\operatorname{Pr} P \in \operatorname{End}\left(L_P\right)$ is a projector. We have $P \simeq \operatorname{Im} \operatorname{Pr}_P \simeq \operatorname{Coker}\left(\operatorname{Id}{\mathrm{L}_P}-\operatorname{Pr}_P\right)$.
- A linear map $\varphi$ from the module $P$ (described by $\left(\mathrm{L}P, \operatorname{Pr}_P\right)$ ) to the module $Q$ (described by $\left(\mathrm{L}_Q, \operatorname{Pr}_Q\right)$ ) is described by a linear map $\mathrm{L}{\varphi}: \mathrm{L}P \rightarrow \mathrm{L}_Q$ subjected to commutation relations $$ \operatorname{Pr}_Q \circ \mathrm{L}{\varphi}=\mathrm{L}{\varphi}=\mathrm{L}{\varphi} \circ \operatorname{Pr}P . $$ In other words $\mathrm{L}{\varphi}$ is null over $\operatorname{Ker}\left(\operatorname{Pr}_P\right)$ and its image is contained in $\operatorname{Im}(\operatorname{Pr} Q)$.
- The identity of $P$ is represented by $\mathrm{L}_{\mathrm{Id}}=\operatorname{Pr}_P$.
- The sum of two linear maps $\varphi$ and $\psi$ from $P$ to $Q$ represented by $\mathrm{L}{\varphi}$ and $\mathrm{L}\psi$ is represented by $\mathrm{L}{\varphi}+\mathrm{L}\psi$. The linear map $a \varphi$ is represented by $a \mathrm{~L}_{\varphi}$.
- To represent the composition of two linear maps, we compose their representations.
- Finally, a linear map $\varphi$ from $P$ to $Q$ represented by $\mathrm{L}{\varphi}$ is null if and only if $\mathrm{L}{\varphi}=0$.
This shows that the problems relating to the finitely generated projective modules can always be interpreted as problems regarding projection matrices, and often come down to problems about solving systems of linear equations over $\mathbf{A}$.
An equivalent category, better adapted to computations, is the category whose objects are the projection matrices with coefficients in $\mathbf{A}$, a morphism from $F$ to $G$ being a matrix $H$ of a suitable format satisfying the equalities
$$
G H=H=H F .
$$
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective Modules and Schanuel’s Lemma
可以为非有限生成的模块定义射影模块的概念。在下文中，我们将很少使用此类模块，但是在这个主题上 给出一些精确度是有用的。
2.5 定义A模 $P$ (不一定是有限生成的) 如果满足以下属性，则被称为射影。
对于所有 A 模块 $M, N$ ，对于每个满射线性映射 $\psi: M \rightarrow N$ 和每个线性映射 $\Phi: P \rightarrow N$ ，存在一个线 性映射 $\varphi: P \rightarrow M$ 这样 $\psi \circ \varphi=\Phi$.
因此，给定定理 2.1 中的特征 (c4)，A 模是有限生成射影当且仅当它是射影和有限生成的。
在下面的事实中，最后一个属性类似于蕴涵 $(c 4) \Rightarrow(c 3)$ 在这个定理中。
线性映射 $\varphi: E \rightarrow F$ 如果存在 $\psi: F \rightarrow E$ 和 $\varphi \circ \psi=\operatorname{Id}_F$. 在这种情况下，我们说 $\psi$ 是一部分 $\varphi$ ，我们 有 $E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \psi(F) \simeq \operatorname{Ker} \varphi \oplus F$.
如果它的满射被分裂，则称一个短的精确序列被分裂。
- 一个自由模块，其基础是一个双射集合 $\mathbb{N}$ 是投射的。例如多项式环 $\mathbf{A}[X]$ 是一个射影 $\mathbf{A}$-模块。
- 投影模块中直接被加数的每个模块都是投影的。
- 如果 $P$ 是射影的，每个短的精确序列 $0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow P \rightarrow 0$ 分裂。
评论 在构造性数学中，自由模并不总是射影的。此外，似乎不可能将每个模块表示为自由和射影模 块的商。类似地，似乎不可能将每个射影模块作为直接被加数放置在自由射影模块中。有关此问题 的更多详细信息，请参阅练习 VIII-16 和 [MRR]。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Category of Finitely Generated Projective Modules
$A$ 上的有限生成射影模的范畴可以通过纯分类过程从 $A$ 上的有限秩自由模的范畴中构造出来。
- 有限生成的投影模块 $P$ 由一对描述 $\left(\mathrm{L} P, \operatorname{Pr}_P\right)$ 在哪里 $L_P$ 是一个有限秩的自由模块，并且 $\operatorname{Pr} P \in \operatorname{End}\left(L_P\right)$ 是一个投影仪。我们有 $P \simeq \operatorname{Im}_P \operatorname{Pr}_P \simeq \operatorname{Coker}\left(\operatorname{Id}_P-\operatorname{Pr}_P\right)$.
- 线性映射 $\varphi$ 从模块 $P$ (由描述 $\left(\mathrm{L} P, \operatorname{Pr}_P\right)$ ) 到模块 $Q$ (由描述 $\left(\mathrm{L}_Q, \operatorname{Pr}_Q\right)$ ) 由线性映射描述 $\mathrm{L} \varphi: \mathrm{L} P \rightarrow \mathrm{L}_Q$ 服从于交换关系
$$
\operatorname{Pr}_Q \circ \mathrm{L} \varphi=\mathrm{L} \varphi=\mathrm{L} \varphi \circ \operatorname{Pr} P
$$
换句话说L $\varphi$ 结束了 $\operatorname{Ker}\left(\operatorname{Pr}_P\right)$ 它的图像包含在 $\operatorname{Im}(\operatorname{Pr} Q)$. - 的身份 $P$ 代表 $\mathrm{L}_{\mathrm{Id}}=\operatorname{Pr}_P$.
- 两个线性映射的总和 $\varphi$ 和 $\psi 从 P$ 到 $Q$ 代表 $L \varphi$ 和 $\mathrm{L} \psi$ 代表 $\mathrm{L} \varphi+\mathrm{L} \psi$. 线性映射 $a \varphi$ 代表 $a \mathrm{~L}_{\varphi}$.
- 为了表示两个线性映射的组合，我们组合了它们的表示。
- 最后是线性映射 $\varphi$ 从 $P$ 到 $Q$ 代表 $L \varphi$ 为空当且仅当 $L \varphi=0$.
这表明与有限生成射影模相关的问题总是可以解释为与射影矩阵相关的问题，并且通常归结为关于求解线 性方程组的问题.A.
更好地适应计算的等效类别是其对象是系数为的投影矩阵的类别 $\mathbf{A}$, 一个态射来自 $F$ 到 $G$ 是一个矩阵 $H$ 满 足等式的合适格式
$$
G H=H=H F .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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