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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Structure Theorem
In this work, we give several proofs of the local structure theorem for finitely generated projective modules. The shortest path to the solution of this question is that provided by Fitting ideals. This is the object of this section.
There is a lightning method based a kind of magic formula given in Exercise X-3. This miracle solution is actually directly inspired by another approach to the problem, based on a “dynamic reread” of the local freeness lemma (p. 483). This dynamic reread is explained on p. 860 in Sect. XV-5.
However, we consider a more enlightening approach is that based entirely on projection matrices and on the more structural explanations involving the systematic use of the determinant of the endomorphisms of finitely generated projective modules. This will be done in Chap. X.
6.1 Theorem (Local structure and Fitting ideals of a finitely generated projective module, 1)
- A finitely presented $\mathbf{A}$-module $P$ is finitely generated projective if and only if its Fitting ideals are (generated by) idempotents.
- More precisely for the converse, suppose that a finitely presented $\mathbf{A}$-module $P$ has idempotents Fitting ideals, and that $G \in \mathbf{A}^{q \times n}$ is a presentation matrix of $P$, corresponding to a system of $q$ generators.
Let $f_h$ be the idempotent that generates $\mathcal{F}h(P)$, and $r_h:=f_h-f{h-1}$.
a. $\left(r_0, \ldots, r_q\right)$ is a fundamental system of orthogonal idempotents.
b. Let $t_{h, j}$ be a minor of order $q-h$ of $G$, and $s_{h, j}:=t_{h, j} r_h$. Then, the $\mathbf{A}\left[1 / s_{h, j}\right]$ module $P\left[1 / s_{h, j}\right]$ is free of rank $h$.
c. The elements $s_{h, j}$ are comaximal.
d. We have $r_k=1$ if and only if the matrix $G$ is of rank $q-k$.
e. The module $P$ is finitely generated projective. - In particular, a finitely generated projective module becomes free after localization at a finite number of comaximal elements.
D Theorem 2.3 tells us that the module $P$ presented by the matrix $G$ is projective if and only if the matrix $G$ is locally simple. We then apply the characterization of locally simple matrices by their determinantal ideals given in Theorem II-5.26, as well as the precise description of the structure of the locally simple matrices given in this theorem (items 5 and 7 of the theorem).
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Explicit Computations
The fundamental polynomial of an endomorphism $\varphi$ is easier to use than the characteristic polynomial. This comes from the fact that the fundamental polynomial is invariant when we add “as a direct sum” a null endomorphism to $\varphi$. This allows us to systematically and easily reduce the computation of a fundamental polynomial to the case where the projective module is free. Precisely, we are able to compute the previously defined polynomials by following the lemma stated below.
8.7 Lemma (Explicit computation of the determinant, of the fundamental polynomial, of the characteristic polynomial, of the rank polynomial and of the cotransposed endomorphism) Let $P \simeq \operatorname{Im} F$ be an $\mathbf{A}$-module with $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}_n(\mathbf{A})$. Let $Q=\operatorname{Ker}(F)$, such that $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^n$, and $\mathrm{I}_n-F$ is the matrix of the projection $\pi_Q$ over $Q$ parallel to $P$. An endomorphism $\varphi$ of $P$ is characterized by the matrix $H$ of the endomorphism $\varphi_0=\varphi \oplus 0_Q$ of $\mathbf{A}^n$. Such a matrix $H$ is subjected to the unique restriction $F \cdot H \cdot F=H$. Let $G=\mathrm{I}_n-F+H$.
- Computation of the determinant:
$$
\operatorname{det}(\varphi)=\operatorname{det}\left(\varphi \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}(G)
$$ - Therefore also
$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left(X \operatorname{Id}{P[X, Y]}+Y \varphi\right) & =\operatorname{det}\left(\left(X \operatorname{Id}{P[X, Y]}+Y \varphi\right) \oplus \operatorname{Id}_Q\right)= \
\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F+X F+Y H\right) & =\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+(X-1) F+Y H\right) .
\end{aligned}
$$ - Computation of the rank polynomial of $P$ :
$$
\mathrm{R}P(1+X)=\operatorname{det}\left((1+X) \operatorname{Id}{P[X]}\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+X F\right),
$$
in particular,
$$
\mathrm{R}_P(0)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F\right)
$$
and $\mathrm{R}_P(1+X)=1+u_1 X+\cdots+u_n X^n$, where $u_h$ is the sum of the principal minors of order h of the matrix $F$.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local Structure Theorem
在这项工作中，我们给出了有限生成射影模的局部结构定理的几个证明。解决这个问题的最短路径是由 Fitting ideals 提供的。这是本节的对象。
练习 X-3 中给出了一种基于一种神奇公式的闪电方法。这个神奇的解决方案实际上直接受到另一种解决问 题的方法的启发，该方法基于对局部自由引理的“动态重读”（第 483 页）。此动态重读在第 13 页上进行 了解释。 860 在教派。XV-5。
然而，我们认为一个更有启发性的方法是完全基于投影矩阵和更多的结构解释，包括系统地使用有限生成 的投影模块的自同态的行列式。这将在第 1 章中完成。X.
6.1 定理（有限生成射影模的局部结构和拟合理想，1）
- 有限呈现 $\mathbf{A}$-模块 $P$ 是有限生成的射影当且仅当其拟合理想是幂等的（生成的）。
- 更准确地说，相反，假设一个有限呈现的 $\mathbf{A}$-模块 $P$ 具有幂等拟合理想，并且 $G \in \mathbf{A}^{q \times n}$ 是表示矩阵 $P ，$ 对应于一个系统 $q$ 发电机。
让 $f_h$ 是生成的幂等 $\mathcal{F} h(P)$ ，和 $r_h:=f_h-f h-1$.
A。 $\left(r_0, \ldots, r_q\right)$ 是正交幂等元的基本系统。
b. 让 $t_{h, j}$ 末成年人 $q-h$ 的 $G ，$ 和 $s_{h, j}:=t_{h, j} r_h$. 然后， $\mathbf{A}\left[1 / s_{h, j}\right]$ 模块 $P\left[1 / s_{h, j}\right]$ 没有排名 $h$.
C。要素 $s_{h, j}$ 是共最大的。
d. 我们有 $r_k=1$ 当且仅当矩阵 $G$ 是等级 $q-k$.
e. 模组 $P$ 是有限生成的射影。 - 特别是，有限生成的投影模块在定位到有限数量的共最大元素后变得自由。
$\mathrm{D}$ 定理 2.3 告诉我们模 $P$ 由矩阵表示 $G$ 是射影的当且仅当矩阵 $G$ 局部简单。然后，我们通过定理 II-5.26
中给出的行列式理想来应用局部简单矩阵的特征，以及该定理中给出的局部简单矩阵结构的精确描述（定 理的第 5 项和第 7 项) 。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Some Explicit Computations
自同态的基本多项式 $\varphi$ 比特征多项式更容易使用。这是因为当我们“作为直和”添加一个零自同态时，基本 多项式是不变的 $\varphi$. 这使我们能够系统地且轻松地将基本多项式的计算减少到投影模块自由的情况。准确 地说，我们能够通过遵循下面陈述的引理来计算先前定义的多项式。
8.7 引理（行列式、基本多项式、特征多项式、秩多项式和互转自同态的显式计算） 令 $P \simeq \operatorname{Im} F$ 豆 $\mathbf{A}$ 模块与 $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}_n(\mathbf{A})$. 让 $Q=\operatorname{Ker}(F)$ ， 这样 $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^n$ ，和 $\mathrm{I}_n-F$ 是投影矩阵 $\pi_Q Q$ 超过 $Q$ 平行 $P$. 自同态 $\varphi$ 的 $P$ 由矩阵表征 $H$ 自同态 $\varphi_0=\varphi \oplus 0_Q$ 的 $\mathbf{A}^n$. 这样的矩阵 $H$ 受到独特的限制 $F \cdot H \cdot F=H$. 让 $G=\mathrm{I}_n-F+H$.
- 行列式的计算:
$$
\operatorname{det}(\varphi)=\operatorname{det}\left(\varphi \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}(G)
$$ - 因此也
$$
\operatorname{det}(X \operatorname{Id} P[X, Y]+Y \varphi)=\operatorname{det}\left((X \operatorname{Id} P[X, Y]+Y \varphi) \oplus \operatorname{Id}_Q\right)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F+X F+Y H\right.
$$ - 的秩多项式的计算 $P$ :
$$
\mathrm{R} P(1+X)=\operatorname{det}((1+X) \operatorname{Id} P[X])=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n+X F\right),
$$
尤其，
$$
\mathrm{R}_P(0)=\operatorname{det}\left(\mathrm{I}_n-F\right)
$$
和 $\mathrm{R}_P(1+X)=1+u_1 X+\cdots+u_n X^n$ ， 在哪里 $u_h$ 是矩阵的阶主次要的总和 $F$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。