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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Mergelyan Approximation in L2-Spaces
In his thesis from 2015, S. Gubkin [88] investigated Mergelyan approximation in $L^2$ spaces of holomorphic functions on pseudoconvex domains in $\mathbb{C}^n$ :
$$
H^2(\Omega)=\mathscr{O}(\Omega) \cap L^2(\Omega) .
$$
The following theorem generalizes both his main results [88, Theorems $4.2 .2$ and $4.3 .3]$; in the first one the domain is assumed to have $\mathscr{C}^{\infty}$-smooth boundary, and in the second one it is assumed to admit a $\mathscr{C}^2$ plurisubharmonic defining function. We only assume that the closure of the domain is a Stein compact.
Theorem 26 Assume that $X$ is a Stein manifold and $\Omega \Subset X$ is a relatively compact pseudoconvex domain with $\mathscr{C}^1$ boundary whose closure $\bar{\Omega}$ is a Stein compact. Then for any $f \in H^2(\Omega)$ there exists a sequence $f_j \in \mathscr{O}(\bar{\Omega})$ such that $\lim {j \rightarrow \infty} | f_j-$ $f |{L^2(\Omega)}=0$.
Proof As in the proof of Theorem 24, we find an open cover $\left{W_j\right}_{j=0}^l$ of $\bar{\Omega}{1 / m_0}$ for some $m_0 \in \mathbb{N}$ such that (22) holds. (This only requires that $b \Omega$ is of class $\mathscr{C}^1$.) Let $\left{\chi_j\right}{j=0}^l$ be a smooth partition of unity subordinate to $\left{W_j\right}_{j=0}^l$. Given an integer $m \geq m_0$ we define the cover $\left{U_{m, j}\right}_{j=0}^l$ and the functions $\left(f_{m, j}\right){j=0}^l$ by (23) and (24), respectively. Consider the function $$ g_m=\sum{j=0}^l \chi_j f_{m, j} \in L^2\left(\Omega_{1 / m}\right)
$$
Fix $\delta>0$. Since $|f|_{L^2(\Omega)}<\infty$, there exists a compact subset $K \subset \Omega$ such that
$$
|f|_{L^2(\Omega \backslash K)}<\delta .
$$
Choose a compact set $K^{\prime} \subset \Omega$ such that
$$
K \cup \operatorname{supp}\left(\chi_0\right) \subset \stackrel{\circ}{K}^{\prime} .
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Carleman Approximation in Several Variables
Carleman approximation on the totally real affine subspace $M=\mathbb{R}^n \subset \mathbb{C}^n$ was proved by S. Scheinberg [147] in 1976. Such spaces are obviously polynomially convex, and, although less obviously so, they satisfy the following condition (compare with Definition 2). For any compact set $C \subset \mathbb{C}^n$ we set
$$
h(C):=\overline{\widehat{C} \backslash C} .
$$
Definition 6 A closed set $M \subset \mathbb{C}^n$ has the bounded exhaustion hulls property if for any polynomially convex compact set $K \subset \mathbb{C}^n$ there exists $R>0$ such that for any compact set $L \subset M$ we have that
$$
h(K \cup L) \subset \mathbb{B}^n(0, R) .
$$
Clearly, it suffices to test this condition on any increasing sequence of compact sets $K_j$ increasing to $\mathbb{C}^n$. This notion extends in an obvious way to closed sets in an arbitrary complex manifold $X$, replacing polynomial hulls by $\mathscr{O}(X)$-convex hulls. For closed sets $M$ in $\mathbb{C}$, this notion is equivalent to the one in Definition 2, and to the condition that $\mathbb{C P}^1 \backslash M$ is locally connected at infinity. (This is precisely the condition under which Arakelian’s Theorem 10 holds.)
To see that $M=\mathbb{R}^n$ has bounded exhaustion hulls in $\mathbb{C}^n$, we consider compact sets of the form
$$
K_r=\left{z \in \mathbb{C}^n:\left|x_j\right| \leq r,\left|y_j\right| \leq r, j=1, \ldots n\right} .
$$
Let us first look at a point $\tilde{z}=\tilde{x}+i \tilde{y} \in \mathbb{C}^n \backslash \mathbb{R}^n$ with $\left|\tilde{x}j\right|>(\sqrt{n}+1) r$ for some $j$. Consider the pluriharmonic polynomial $$ f(z)=-\Re\left((z-\tilde{x})^2\right)=\sum{i=1}^n\left(y_i^2-\left(x_i-\tilde{x}_i\right)^2\right), \quad z \in \mathbb{C}^n .
$$
A simple calculation shows that $f(z)<0$ holds for any point $z \in K_r$, and we clearly have $f \leq 0$ on $\mathbb{R}^n$ and $f(\tilde{z})=(\tilde{y})^2>0$. This shows that
$$
h\left(K_r \cup \mathbb{R}^n\right) \subset\left{z \in \mathbb{C}^n:\left|x_j\right| \leq(\sqrt{n}+1) r, j=1, \ldots, n\right} .
$$
Clearly we also have $h\left(K_r \cup \mathbb{R}^n\right) \subset\left{z \in \mathbb{C}^n:\left|y_j\right| \leq r, j=1, \ldots, n\right}$, and (29) follows.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Mergelyan Approximation in L2-Spaces
在他 2015 年的论文中，S. Gubkin [88] 研究了 Mergelyan 近似 $L^2$ 伪凸域上的全纯函数空间 $\mathbb{C}^n$ :
$$
H^2(\Omega)=\mathscr{O}(\Omega) \cap L^2(\Omega) .
$$
下面的定理概括了他的两个主要结果 [88，Theorems $4.2 .2$ 和 $4.3 .3]$; 在第一个域中假定有 $\mathscr{C}^{\infty}$-平滑边 界，在第二个边界中，假定允许一个 $\mathscr{C}^2$ 多次谐波定义函数。我们只假设域的闭包是 Stein 契约。
定理 26 假设 $X$ 是斯坦因流形并且 $\Omega \Subset X$ 是一个相对紧凑的伪凸域 $\mathscr{C}^1$ 封闭的边界 $\bar{\Omega}$ 是斯坦因紧凑型。然 后对于任何 $f \in H^2(\Omega)$ 存在一个序列 $f_j \in \mathscr{O}(\bar{\Omega})$ 这样 $\lim j \rightarrow \infty\left|f_j-f\right| L^2(\Omega)=0$.
证明 与定理 24 的证明一样，我们找到一个开覆盖 $\backslash$ left $\left{W_{-} j \backslash i g h t\right}_{-}{j=0} \wedge \wedge$ 的 $\bar{\Omega} 1 / m_0$ 对于一些 $m_0 \in \mathbb{N}$ 使 $\left(f_{m, j}\right) j=0^l$ 分别由 (23) 和 (24)。考虑函数
$$
g_m=\sum j=0^l \chi_j f_{m, j} \in L^2\left(\Omega_{1 / m}\right)
$$
使固定 $\delta>0$. 自从 $|f|{L^2(\Omega)}<\infty$, 存在一个紧凑的子集 $K \subset \Omega$ 这样 $$ |f|{L^2(\Omega \backslash K)}<\delta
$$
选择桑凑的套装 $K^{\prime} \subset \Omega$ 这样
$$
K \cup \operatorname{supp}\left(\chi_0\right) \subset \stackrel{\circ}{K}
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Carleman Approximation in Several Variables
全实仿射子空间上的 Carleman 近似 $M=\mathbb{R}^n \subset \mathbb{C}^n$ S. Scheinberg [147] 在 1976 年证明了这一点。这 样的空间显然是多项式凸的，并且尽管不太明显，但它们满足以下条件 (与定义 2 比较)。对于任何紧集 $C \subset \mathbb{C}^n$ 我们设置
$$
h(C):=\overline{\widehat{C} \backslash C}
$$
定义 6 闭集 $M \subset \mathbb{C}^n$ 如果对于任何多项式凸紧凑集，则具有有界耗尽包属性 $K \subset \mathbb{C}^n$ 那里存在 $R>0$ 这 样对于任何紧集 $L \subset M$ 我们有那个
$$
h(K \cup L) \subset \mathbb{B}^n(0, R) .
$$
显然，在任何递增的紧集序列上测试这个条件就足够了 $K_j$ 增加到 $\mathbb{C}^n$. 这个概念以一种明显的方式扩展到 任意复流形中的闭集 $X$ ，将多项式外壳替换为 $\mathscr{O}(X)$-凸壳。对于闭集 $M$ 在 $\mathbb{C}$ ，这个概念等同于定义 2 中的 概念，并且条件是 $\mathbb{C P}^1 \backslash M$ 在无穷远处局部连通。（这正是 Arakelian 定理 10 成立的条件。)
看到那个 $M=\mathbb{R}^n$ 有有限的疲㽞船体 $\mathbb{C}^n$ ，我们考虑形式的紧凑集
让我们先来看一个点 $\tilde{z}=\tilde{x}+i \tilde{y} \in \mathbb{C}^n \backslash \mathbb{R}^n$ 和 $|\tilde{x} j|>(\sqrt{n}+1) r$ 对于一些 $j$. 考虑多项式
$$
f(z)=-\Re\left((z-\tilde{x})^2\right)=\sum i=1^n\left(y_i^2-\left(x_i-\tilde{x}_i\right)^2\right), \quad z \in \mathbb{C}^n
$$
一个简单的计算表明 $f(z)<0$ 对任何一点都成立 $z \in K_r$ ，我们显然有 $f \leq 0$ 在 $\mathbb{R}^n$ 和 $f(\tilde{z})=(\tilde{y})^2>0$ .这表明
显然我们也有
hhleft(K r \cup \mathbb ${R}^{\wedge} n \backslash$ ight) $\backslash$ subset $\backslash$ eft $\left{z \backslash\right.$ in $\backslash m a t h b b{C}^{\wedge} n$ :
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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