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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Power series
Until now we have not discussed any specific examples of functions of a complex variable. Of course, there are the standard functions that you probably encountered already in your undergraduate studies: polynomials, rational functions, $e^z$, the trigonometric functions, etc. But aside from these examples, it would be useful to have a general way to construct a large family of functions. Of course, there is such a way: power series, which-nonobviously-turn out to be essentially as general a family of functions as one could hope for.
To make things precise, a power series is a function of a complex variable $z$ that is defined by
$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n
$$
where $\left(a_n\right){n=0}^{\infty}$ is a sequence of complex numbers, or more generally by $$ g(z)=f\left(z-z_0\right)=\sum{n=0}^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n
$$
where $\left(a_n\right)_{n=0}^{\infty}$ is again a a sequence and $z_0$ is some fixed complex number. These functions are defined wherever the respective series converge.
For which values of $z$ does this formula make sense? It is not hard to see that it converges absolutely precisely for $0 \leq|z|<R$, where the value of $R$ is given by
$$
R=\left(\limsup {n \rightarrow \infty}\left|a_n\right|^{1 / n}\right)^{-1} . $$ $R$ is called the radius of convergence of the power series. Proof. Assume $00$, we have that $\left|a_n\right|<\left(\frac{1}{R}+\epsilon\right)^n$ if $n$ is large enough, and $R$ is the minimal number with that property. Let $z \in D_R(0)$. Since $|z|0$ chosen small enough. That implies that for $n>N$ (for some large enough $N$ as a function of $\epsilon$ ), $$ \sum{n=N}^{\infty}\left|a_n z^n\right|<\sum_{n=N}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{R}+\epsilon\right)|z|\right]^n
$$
so the series is dominated by a convergent geometric series, and hence converges.
Conversely, if $|z|>R$, then, $|z|\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)>1$ for some small enough fixed $\epsilon>0$. Taking a subsequence $\left(a_{n_k}\right){k=1}^{\infty}$ for which $\left|a{n_k}\right|>\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)^{n_k}$ (guaranteed to exist by the definition of $R$ ), we see that
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n z^n\right| \geq \sum_{k=1}^{\infty}\left[|z|\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)\right]^{n_k}=\infty
$$
so the power series diverges.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Contour integrals
We now introduce contour integrals, which are another fundamental building block of the theory.
Contour integrals, like many other types of integrals, take as input a function to be integrated and a “thing” (or “place”) over which the function is integrated. In the case of contour integrals, the “thing” is a contour, which is (for our current purposes at least) a kind of planar curve. We start by developing some terminology to discuss such objects. First, there is the notion of a parametrized curve, which is simply a continuous function $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$. The value $\gamma(a)$ is called the starting point and $\gamma(b)$ is called the ending point. Two curves $\gamma_1:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma_2:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$ are called equivalent, which is denoted $\gamma_1 \sim \gamma_2$, if $\gamma_2(t)=\gamma_1(I(t))$ where $I:[c, d] \rightarrow[a, b]$ is a continuous, one-to-one, onto, increasing function. A “curve” is an equivalence class of parametrized curves with respect to this equivalence relation.
In practice, we will usually refer to parametrized curves as “curves”, which is the usual abuse of terminology that one sees in various places in mathematics, in which one blurs the distinction between equivalence classes and their members, remembering that various definitions, notation, and proof arguments need to “respect the equivalence” in the sense that they do not depend of the choice of member. (Meta-exercise: think of 2-3 other examples of this phenomenon.)
For our present context of developing the theory of complex analysis, we shall assume all our curves are piecewise continuously differentiable. More generally, one can assume them to be rectifiable, but we will not bother to develop that theory. There are yet more general contexts in which allowing curves to be merely continuous is beneficial (and indeed some of the ideas we will develop in a complex-analytic context can be carried over to that more general setting), but we will not pursue such distractions either.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Power series
到目前为止，我们还没有讨论复变函数的任何具体例子。当然，还有一些你可能在本科学习中已经遇到过 的标准函数：多项式、有理函数、 $e^z$ ，三角函数等。但是除了这些例子，有一个通用的方法来构造一个大 的函数族是很有用的。当然，有这样一种方式：幂级数，它一一不明显地一一本质上是人们所希望的一般 函数族。
为了精确起见，幂级数是复变量的函数 $z$ 定义为
$$
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n
$$
在哪里 $\left(a_n\right) n=0^{\infty}$ 是一个复数序列，或者更一般地由
$$
g(z)=f\left(z-z_0\right)=\sum n=0^{\infty} a_n\left(z-z_0\right)^n
$$
在哪里 $\left(a_n\right){n=0}^{\infty}$ 又是一个序列，并且 $z_0$ 是一些固定的复数。这些函数在相应级数收敛的任何地方定义。 对于哪些值 $z$ 这个公式有意义吗? 不难看出它绝对精确地收敛于 $0 \leq|z|N$ (对于一些足够大的 $N$ 作为 函数 $\epsilon$ ， $$ \sum n=N^{\infty}\left|a_n z^n\right|<\sum{n=N}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{R}+\epsilon\right)|z|\right]^n
$$
所以该级数由收敛的几何级数支配，因此收敛。
相反，如果 $|z|>R ＼mathrm{~ ， 然 后 ， ~}|z|\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)>1$ 对于一些足够小的固定 $\epsilon>0$. 采取子序列 $\left(a_{n_k}\right) k=1^{\infty}$ 为了哪个 $\left|a n_k\right|>\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)^{n_k}$ (保证存在的定义 $R$ )，我们看到
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n z^n\right| \geq \sum_{k=1}^{\infty}\left[|z|\left(\frac{1}{R}-\epsilon\right)\right]^{n_k}=\infty
$$
所以幂级数发散。
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Contour integrals
我们现在介绍轮廓积分，这是该理论的另一个基本组成部分。
与许多其他类型的积分一样，轮廓积分将要积分的函数和函数积分的“事物” (或“地点”) 作为输入。在等高 线积分的情况下，“事物”是等高线，它是 (至少对于我们目前的目的而言) 一种平面曲线。我们首先开发 一些术语来讨论这些对象。首先，有参数化曲线的概念，它只是一个连续函数 $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$. 价值 $\gamma(a)$ 称为起点，并且 $\gamma(b)$ 称为终点。两条曲线 $\gamma_1:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \gamma_2:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$ 被称为等价的，表示为 $\gamma_1 \sim \gamma_2$ ，如果 $\gamma_2(t)=\gamma_1(I(t))$ 在哪里 $I:[c, d] \rightarrow[a, b]$ 是一个连续的、一对一的、递增的函数。 “曲线”是关于该等价关系的参数化曲线的等价类。
在实践中，我们通常将参数化曲线称为“曲线”，这是人们在数学中的各个地方看到的术语的常见滥用，其 中模糊了等价类及其成员之间的区别，记住各种定义，符号，证明论证需要“尊重等价性”，因为它们不依 赖于成员的选择。（元练习：想出 2-3 个这种现象的其他例子。）
对于我们目前发展复分析理论的背景，我们将假设所有曲线都是分段连续可微的。更一般地说，人们可以 假设它们是可纠正的，但我们不会费心去发展那个理论。还有更多的一般情况下，允许曲线只是连续的是 有益的（事实上，我们将在复杂分析环境中发展的一些想法可以转移到更一般的情况下)，但我们不会追 求这样的分心任何一个。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。