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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。
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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma
This section treats certain estimates that bounded holomorphic functions on the unit disc necessarily satisfy. At first sight, these estimates appear to be restricted to such a specific situation that they are of limited interest. But even this special situation occurs so often that the estimates are in fact very useful. Moreover, it was pointed out by Ahlfors [AHL1] that these estimates can be interpreted as a statement about certain kinds of geometric structures that occur in many different contexts in complex analysis. A treatment of this point of view that is accessible to readers who have reached this point in the present book can be found in [KRA3]. This section presents the classical, analytic viewpoint in the subject.
Proposition 5.5.1 (Schwarz’s lemma). Let $f$ be holomorphic on the unit disc. Assume that
(1) $|f(z)| \leq 1$ for all $z$,
(2) $f(0)=0$.
Then $|f(z)| \leq|z|$ and $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
If either $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$ or if $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$, then $f$ is a rotation: $f(z) \equiv \alpha z$ for some complex constant $\alpha$ of unit modulus.
Proof. Consider the function $g(z)=f(z) / z$. This function is holomorphic on $D(0,1) \backslash{0}$. Also $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. So if we define $g(0)=f^{\prime}(0)$, then $g$ is continuous on $D(0,1)$. By the Riemann removable singularities theorem (Theorem 4.1.1), $g$ is then holomorphic on all of $D(0,1)$.
Restrict attention to the closed $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ for $\epsilon>0$ and small. On the boundary of this disc, $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. The maximum modulus theorem then implies that $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ on this entire disc $D(0,1-\epsilon)$. Letting $\epsilon \rightarrow 0^{+}$then yields that $|g(z)| \leq 1$ on $D=D(0,1)$. In other words, $|f(z)| \leq|z|$. Now $g(0)=f^{\prime}(0)$ so we also see that $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. That completes the proof of the first half of the theorem.
If $|f(z)|=|z|$ for some $z \neq 0$, then $|g(z)|=1$. Since $|g(z)| \leq 1$ on the entire disc, we conclude from the maximum modulus principle that $g(z)$ is a constant of modulus 1 . Let $\alpha$ be that constant. Then $f(z) \equiv \alpha z$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings
Like Chapter 5 , this chapter is concerned primarily with geometric questions. While the proofs that we present will of course be analytic, it is useful to interpret them pictorially. The proofs of the theorems presented here arose from essentially pictorial ideas, and these pictures can still serve to guide our perceptions. In fact geometry is a pervasive part of the subject of complex analysis and will occur in various forms throughout the remainder of the book.
The main objects of study in this chapter are holomorphic functions $h: U \rightarrow V$, with $U, V$ open in $\mathbb{C}$, that are one-to-one and onto. Such a holomorphic function is called a conformal (or biholomorphic) mapping. The fact that $h$ is supposed to be one-to-one implies that $h^{\prime}$ is nowhere zero on $U$ [remember, by Theorem $5.2 .2$, that if $h^{\prime}$ vanishes to order $k \geq 0$ at a point $P \in U$, then $h$ is $(k+1)$-to-1 in a small neighborhood of $P$ ]. As a result, $h^{-1}: V \rightarrow U$ is also holomorphic (see Section 5.2). A conformal map $h: U \rightarrow V$ from one open set to another can be used to transfer holomorphic functions on $U$ to $V$ and vice versa: That is, $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $f \circ h$ is holomorphic on $U$; and $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic if and only if $g \circ h^{-1}$ is holomorphic on $V$.
Thus, if there is a conformal mapping from $U$ to $V$, then $U$ and $V$ are essentially indistinguishable from the viewpoint of complex function theory. On a practical level, one can often study holomorphic functions on a rather complicated open set by first mapping that open set to some simpler open set, then transferring the holomorphic functions as indicated.
复分析代写
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Schwarz Lemma
本节处理单位圆盘上的有界全纯函数必须满足的某些估计。乍一看，这些估计似乎仅限于特定情况，以至于它们的 兴趣有限。但即使是这种特殊情况也经常发生，以至于估计实际上非常有用。此外，Ahlfors [AHL1] 指出，这些估 计可以解释为对复杂分析中许多不同上下文中出现的某些类型的几何结构的陈述。在本书中达到这一点的读者可以 理解对这一观点的处理，可以在 [KRA3] 中找到。本节介绍了该主题的经典分析观点。
命题 5.5.1 (施瓦茨引理) 。让 $f$ 在单位圆盘上是全纯的。假设
(1) $|f(z)| \leq 1$ 对所有人 $z$ ，
(2) $f(0)=0$.
然后 $|f(z)| \leq|z|$ 和 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$.
如果要么 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ 或者如果 $\left|f^{\prime}(0)\right|=1$ ，然后 $f$ 是一个旋转: $f(z) \equiv \alpha z$ 对于一些复杂的常数 $\alpha$ 的单位模量。
证明。考虑函数 $g(z)=f(z) / z$. 这个函数是全纯的 $D(0,1) \backslash 0$. 还 $\lim _{z \rightarrow 0} g(z)=f^{\prime}(0)$. 所以如果我们定义 $g(0)=f^{\prime}(0)$ ，然后 $g$ 是连续的 $D(0,1)$. 由黎曼可移除奇点定理（定理 4.1.1）， $g$ 然后是全纯的 $D(0,1)$.
限制关注封闭 $\operatorname{disc} \bar{D}(0,1-\epsilon)$ 为了 $\epsilon>0$ 和小。在这个圆盘的边界上， $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$. 最大模数定理意味着 $|g(z)| \leq 1 /(1-\epsilon)$ 在整张光盘上 $D(0,1-\epsilon)$. 让 $\epsilon \rightarrow 0^{+}$然后产生 $|g(z)| \leq 1$ 上 $D=D(0,1)$. 换句话说， $|f(z)| \leq|z|$. 现在 $g(0)=f^{\prime}(0)$ 所以我们也看到 $\left|f^{\prime}(0)\right| \leq 1$. 这样就完成了定理前半部分的证明。
如果 $|f(z)|=|z|$ 对于一些 $z \neq 0$ ，然后 $|g(z)|=1$. 自从 $|g(z)| \leq 1$ 在整个圆盘上，我们根据最大模量原理得出结 论： $g(z)$ 是模数 1 的常数。让 $\alpha$ 保持不变。然后 $f(z) \equiv \alpha z$.
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Holomorphic Functions as Geometric Mappings
与第 5 章一样，本章主要关注几何问题。虽然我们提供的证明当然是分析性的，但以图形方式解释它们是有用的。 这里提出的定理的证明基本上来自于图像的想法，这些图像仍然可以用来指导我们的感知。事实上，几何是复分析 主题中普遍存在的一部分，并且将在本书的其余部分以各种形式出现。
本章的主要研究对象是全纯函数 $h: U \rightarrow V$ ，和 $U, V$ 打开 $\mathbb{C}$ ，这是一对一的。这种全纯函数称为共形 (或双全 纯）映射。事实是 $h$ 应该是一对一的意味着 $h^{\prime}$ 无处为零 $U$ [记住，由定理5.2.2，如果 $h^{\prime}$ 按订单消失 $k \geq 0$ 在某一点 $P \in U$ ，然后 $h$ 是 $(k+1)$-to-1 在一个小社区 $P$ ]。因此， $h^{-1}: V \rightarrow U$ 也是全纯的（见第 $5.2$ 节) 。保形贴图 $h: U \rightarrow V$ 从一个开放集到另一个开放集可以用来传递全纯函数 $U$ 至 $V$ 反之亦然: 也就是说， $f: V \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯 的当且仅当 $f \circ h$ 是全纯的 $U$; 和 $g: U \rightarrow \mathbb{C}$ 是全纯的当且仅当 $g \circ h^{-1}$ 是全纯的 $V$.
因此，如果从 $U$ 至 $V$ ，然后 $U$ 和 $V$ 从复函数论的观点来看，本质上是无法区分的。在实践层面上，人们通常可以通 过首先将该开集映射到一些更简单的开集，然后按照指示转移全纯函数来研究相当复杂的开集上的全纯函数。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。