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数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|q-ary Lattices and the Z-Shape
Recall that both NTRU and LWE give rise to $q$-ary lattices. These lattices always contain the vector $(q, 0, \ldots, 0)$ and all its permutations. These so-called ‘ $q$-vectors’ can be considered short, depending on the parameters of the instance being considered, and might be shorter than what we would expect to obtain following predictions such as the GSA or the TGSA. Furthermore, some of those $q$-vectors naturally appear in the typical basis construction of $q$-ary lattices. Even when this is not the case, they can be made explicit by computing the Hermite Normal Form.
To predict lattice reduction on such bases, we may observe that one of the guarantees of the LLL algorithm is that the first vector $\mathbf{b}_0$ never gets longer. For certain parameters this can contradict the GSA. In fact, if $\mathbf{b}_i^$ does not change for all $i$ cannot become longer either, which means that after the reduction algorithm has completed we may still have many such $q$-vectors at the beginning of our basis, unaffected by the reduction. It is therefore tempting to predict a piecewise linear profile, with two pieces. It should start with a flat line at $\lg q$, followed by a sloped portion following the predicted GSA slope.
In fact, the shape has three pieces, and this is easy to argue for LLL, since LLL is a self-dual algorithm. ${ }^2$ This means in particular that the last GramSchmidt vector cannot get shorter, and following the same argument, we can conclude that the basis must end with a flat piece of 1-vectors. All in all, the basis should follow a Z-shape, and this is indeed experimentally the case [280, 625], as depicted in Figure 2.5, where we picked a small $q$ to highlight the effect. We shall call such a prediction $[169,625]$ the ZGSA.
It is tempting to extend such a ZGSA model to other algorithms beyond LLL and this has been used for example in [169]. We might also attempt to refine it to a ZTGSA model, where we put an HKZ tail just before the flat section of Gram-Schmidt vectors of norm 1. However, this is a questionable way of reasoning, because BKZ, unlike LLL, is not self-dual. However, it is worth noting that it seems possible to force BKZ to behave in such a way, simply by restricting BKZ to work on the indices up $i<j$, where $j$ is carefully calibrated so that $\left|\mathbf{b}_j^{\star}\right| \approx 1$. This is not self-dual, but up to the tail of BKZ, it would produce a $Z$-shape as well.
Yet, we could also let BKZ work freely on the whole basis, and wonder what would happen. In other words, we may ask whether it is preferable to apply such a restriction to $\mathrm{BKZ}$ or not. A natural approach to answering this question would be to simply use the CN11 simulator, however, it appears that the $Z$-shape is very poorly simulated. Indeed, while the simulator can easily maintain $q$-vectors when they are shorter than the one locally predicted by the Gaussian heuristic, the phenomenon on the right end of the $Z$ seems more complicated: some 1-vectors are replaced by Gram-Schmidt vectors of norm strictly less than 1, but not all, see Figure 2.6. Thus, we see the Z-shape known from the literature but with the addition of a kink in the tail block.
数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Random Blocks
The heuristic analysis of $\mathrm{BKZ}$ is based on the assumption that each sublattice considered by the algorithm ‘behaves like a random lattice’ (strong version), or at least that the expectation or distribution of its shortest vector is the same as for a random lattice (weak version).
More formally, we would have to define the notion of a random lattice,invoking the Haar measure. However, we can nevertheless interrogate this heuristic without going into those details here. Indeed, as we can see in Figure $2.2$, the predicted slopes below dimension 30 are far from the actual behaviour. In fact, the predictions for small block sizes are nonsensical as they predict a flatter slope as $\beta$ decreases below 30 and even an inversion of the slope below block size $\approx 10$.
Although we can observe the prediction and the observation converging for block sizes above 50 , what level of precision do we attribute to those predictions? Given the phenomena perturbing the GSA surveyed in this chapter (heads, tails, ripples), how pertinent are the data from Figure 2.2? Pushing experimental evidence a bit further would be reassuring here: although we do not expect surprises, it would be good to replace this expectation with experimental evidence.
But, more conceptually, we note that making the strong version of the heuristic assumption (each block behaves like a random lattice) is self-contradictory. Indeed, the model leads us to conclude that the shape is essentially a line, at least when $\beta \ll d$ and the considered block $\mathbf{B}{[\kappa: \kappa+\beta]}$ is far from the head and the tail, i.e., $\kappa \gg \beta, d-\kappa \gg \beta$. But this block, like all other blocks, is fully HKZ-reduced: since $\mathbf{b}{\kappa+i}^{\star}$ is a shortest vector of $\Lambda\left(\mathbf{B}{[\kappa+i: k+i+\beta]}\right)$, it is also a shortest vector of $\Lambda\left(\mathbf{B}{[\kappa+i: k+\beta]}\right)$. Yet, HKZ-reduced bases of random lattices have a concave shape not a straight slope.
密码学代写
数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|q-ary Lattices and the Z-Shape
回想一下，NTRU 和 LWE 都会产生q-元格。这些格子总是包含向量(q,0,…,0)及其所有排列。这些所谓的“q-vectors’ 可以被认为是短的，这取决于所考虑的实例的参数，并且可能比我们期望获得的以下预测更短，例如 GSA 或 TGSA。此外，其中一些q-向量自然出现在典型的基础结构中q-元格。即使不是这种情况，也可以通过计算厄米范式来明确它们。
为了在这种基础上预测晶格缩减，我们可以观察到 LLL 算法的保证之一是第一个向量b0永远不会变长。对于某些参数，这可能与 GSA 相矛盾。事实上，如果\mathbf{b}_i^\mathbf{b}_i^对所有人都没有改变一世也不能变得更长，这意味着在减少算法完成后，我们可能仍然有很多这样的q-我们基础开头的向量，不受减少的影响。因此，很容易预测具有两部分的分段线性轮廓。它应该从一条平线开始LGq，然后是跟随预测的 GSA 斜率的倾斜部分。
事实上，形状有三块，这很容易为 LLL 争论，因为 LLL 是一种自对偶算法。2这特别意味着最后一个 GramSchmidt 向量不能变短，并且根据相同的论证，我们可以得出结论，基础必须以平坦的 1-向量结束。总而言之，基础应该遵循 Z 形，这确实是实验上的情况 [280, 625]，如图 2.5 所示，我们选择了一个小的q来突出效果。我们称这样的预测[169,625]ZGSA。
将这样的 ZGSA 模型扩展到 LLL 之外的其他算法是很诱人的，这已在 [169] 中使用过。我们也可以尝试将其细化为 ZTGSA 模型，我们将 HKZ 尾部放在范数为 1 的 Gram-Schmidt 向量的平坦部分之前。但是，这是一种有问题的推理方式，因为 BKZ 与 LLL 不同，它不是自偶。然而，值得注意的是，似乎可以强制 BKZ 以这种方式运行，只需限制 BKZ 在指数上运行一世<j， 在哪里j经过仔细校准，以便|bj⋆|≈1. 这不是自对偶，但是直到 BKZ 的尾巴，它会产生一个从-形状也是如此。
然而，我们也可以让BKZ在整个基础上自由发挥，看看会发生什么。换句话说，我们可能会问，将这样的限制应用于乙钾从或不。回答这个问题的自然方法是简单地使用 CN11 模拟器，但是，看起来从-形状模拟得非常差。事实上，虽然模拟器可以轻松维护q-当向量比高斯启发式局部预测的向量短时，向量右端的现象从看起来更复杂：一些 1-向量被范数严格小于 1 的 Gram-Schmidt 向量代替，但不是全部，见图 2.6。因此，我们看到了文献中已知的 Z 形，但在尾部块中增加了一个扭结。
数学代写|密码学作业代写Cryptography & Cryptanalysis代考|Random Blocks
的启发式分析乙钾从是基于这样的假设，即算法考虑的每个子格“表现得像一个随机格”（强版本），或者至少其最短向量的期望或分布与随机格（弱版本）相同。
更正式地说，我们必须定义随机格的概念，调用 Haar 测度。然而，我们仍然可以在不讨论这些细节的情况下询问这个启发式。确实，如图所示2.2，维度 30 以下的预测斜率与实际行为相去甚远。事实上，对小块大小的预测是无意义的，因为它们预测更平坦的斜率b减少到 30 以下，甚至在块大小以下的斜率反转≈10.
虽然我们可以观察到块大小大于 50 的预测和观察收敛，但我们将这些预测归因于什么级别的精度？鉴于本章调查的干扰 GSA 的现象（正面、反面、波纹），图 2.2 中的数据有多相关？进一步推动实验证据在这里会让人放心：虽然我们不期待惊喜，但最好用实验证据取代这种期望。
但是，从概念上讲，我们注意到进行启发式假设的强版本（每个块的行为就像一个随机格）是自相矛盾的。事实上，该模型使我们得出结论，该形状本质上是一条线，至少当b≪d和考虑的块乙[钾:钾+b]远离头部和尾部，即钾≫b,d−钾≫b. 但是这个块，和所有其他块一样，是完全 HKZ 约简的：因为b钾+一世⋆是的最短向量大号(乙[钾+一世:k+一世+b])，它也是最短的向量大号(乙[钾+一世:k+b]). 然而，随机格的 HKZ 约化基具有凹形而不是直斜坡。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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