### 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MATH200

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras

DEFINITION 1.1.-A subset $\mathcal{F}$ of $\mathcal{P}(\Omega)$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$ if
1) $\Omega \in \mathcal{F}$;
2) $\mathcal{F}$ is stable by complementarity: for any $A \in \mathcal{F}$, we have $A^c \in \mathcal{F}$, where $A^c$ denotes the complement of $A$ in $\Omega: A^c=\Omega \backslash A$;
3) $\mathcal{F}$ is stable under a countable union: for any sequence of elements $\left(A_n\right){n \in \mathbb{N}}$ of $\mathcal{F}$, we have $\bigcup{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{F}$.
Elements of a $\sigma$-algebra are called events.
EXAMPLE 1.1.- The set $\mathcal{G}={\emptyset, \Omega}$ is a $\sigma$-algebra and is also the smallest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the trivial $\sigma$-algebra. Indeed, $\mathcal{G}$ is in fact a $\sigma$-algebra since $\Omega \in$ $\mathcal{G}, \emptyset^c=\Omega \in \mathcal{G}, \Omega^c=\emptyset \in \mathcal{G}, \Omega \cup \emptyset=\Omega \in \mathcal{G}$ and by creating unions of $\emptyset$ and $\Omega$ we always obtain $\emptyset \in \mathcal{G}$ or $\Omega \in \mathcal{G}$. Further, for any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$, we clearly have $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$.

EXAMPLE 1.2.- The set $\mathcal{P}(\Omega)$ is the largest $\sigma$-algebra over $\Omega$; it is called the largest $\sigma$-algebra. Indeed, by construction, $\mathcal{P}(\Omega)$ contains all the subsets of $\Omega$, and thus it contains in particular $\Omega$ and it is stable by complementarity and under countable unions. In addition, any other $\sigma$-algebra $\mathcal{F}$ over $\Omega$ is clearly included in $\mathcal{P}(\Omega)$.

DEFINITION 1.2.- Let $\Omega$ be a non-empty set and $\mathcal{F}$ be a $\sigma$-algebra over $\Omega$. The couple $(\Omega, \mathcal{F})$ is called a probabilizable space.

Among the elementary properties of $\sigma$-algebra, we can cite stability through any intersection (countable or not).

Proposition 1.1.-Any intersection of $\sigma$-algebras over a set $\Omega$ is a $\sigma$-algebra over $\Omega$.

Proof.- Let $\left(\mathcal{F}i\right){i \in I}$ be any family of $\sigma$-algebra indexed by a non-empty set $I$. Thus, – first of all, for any $i, \Omega \in \mathcal{F}i$, thus $\Omega \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_i$;

• secondly, if $A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F}i$, then for any $i, A \in \mathcal{F}_i$. As these are $\sigma$-algebras, we have that for any $i, A^c \in \mathcal{F}_i$, thus $A^c \in \cap{i \in I} \mathcal{F}_i$;

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probabilities

A probability measure or probability distribution is a finite measure whose total mass is equal to 1 .

DEFINITION 1.7.-A probability or probability measure, or law of probability or distribution over a probability space $(\Omega, \mathcal{F})$ is a measure with a total mass equal to 1. In other words, a probability over $(\Omega, \mathcal{F})$ is a mapping $\mathbb{P}: \mathcal{F} \longrightarrow \mathbb{R}$ such that – for any $A \in \mathcal{F}, \mathbb{P}(A) \geq 0$,
$-\mathbb{P}(\Omega)=1$,

• for any sequence of pairwise disjoint events in $\mathcal{F}$, denoted by $\left(A_n\right){n \in \mathbb{N}}$, we have $\mathbb{P}\left(\bigcup{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right)$.
The triplet $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is then called a probability space.
EXAMPLE 1.7.- $\Omega$ is endowed with the coarse $\sigma$-algebra $\mathcal{F}={\emptyset, \Omega}$. Thus, the single probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$ is given by:
$$\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \mathbb{P}(A)=\left{\begin{array}{l} 1 \text { if } A=\Omega \ 0 \text { if } A=\emptyset . \end{array}\right.$$
EXAMPLE 1.8.- Let $\Omega=[0,1]$ and $\mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1])$ be the Borel $\sigma$-algebra of $[0,1]$. If $\lambda$ denotes the Lebesgue measure, then the mapping:
$$\mathbb{P}: A \in \mathcal{F} \longmapsto \lambda(A)$$
is a probability measure on $(\Omega, \mathcal{F})$.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Measures and σ-algebras

1) $\Omega \in \mathcal{F}$;
2) $\mathcal{F}$ 通过互补性稳定：对于任何 $A \in \mathcal{F}$ ，我们有 $A^c \in \mathcal{F}$ ， 在哪里 $A^c$ 表示的补码 $A$ 在 $\Omega: A^c=\Omega \backslash A$;
3) $\mathcal{F}$ 在可数并集下是稳定的: 对于任何元素序列 $\left(A_n\right) n \in \mathbb{N}$ 的 $\mathcal{F}$ ，我们有 $\bigcup n \in \mathbb{N} A_n \in \mathcal{F}$.

• 其次，如果 $A \in \cap_{i \in I} \mathcal{F} i$, 那么对于任何 $i, A \in \mathcal{F}_i$. 因为这些是 $\sigma$-代数，我们有任何 $i, A^c \in \mathcal{F}_i$ ，因此 $A^c \in \cap i \in I \mathcal{F}_i ;$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Probabilities

• 对于任何成对不相交的事件序列 $\mathcal{F}$ ，表示为 $\left(A_n\right) n \in \mathbb{N}$ ， 我们有 $\mathbb{P}\left(\bigcup n=0^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(A_n\right)$.
三胞胎 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 则称为概率空间。
示例 1.7. $-\Omega$ 被陚予了粗糙 $\sigma-$ 代数 $\mathcal{F}=\emptyset, \Omega$. 因此，单一概率测度 $(\Omega, \mathcal{F})$ 由以下公式给出: $\$ \$$Imath{P}: A \in \mathcal{F}\longmapsto\math {P}(A)=\backslash l eft { 1 if A=\Omega 0 if A=\emptyset. 佂确的。 EXAMPLE1.8. – Let \ \Omega=[0,1] \ a n d \ \mathcal{F}=\mathcal{B}([0,1]) \betheBorel \ \sigma \$$-algebraof $\$[0,1] \$$. Imathbb {P}: A in \backslash m a t h c a \mid{F} \backslash 0 ongmapsto \backslash a m b d a(A) \ \$$
是概率测度 $(\Omega, \mathcal{F})$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。