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经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Variance Reduction: Antithetic Variates
As we have seen, obtaining sufficiently accurate results from a Monte Carlo experiment can often require that a great many replications be computed. This is not always feasible. In some cases, the number of replications that is needed can be substantially reduced by using certain techniques for reducing the variance of experimental results. In the econometric literature, the variance reduction techniques which have achieved prominence are the use of antithetic variates and control variates. We discuss the former method in this section and the latter method in the next one.
The idea of antithetic variates is to calculate two different estimates of the quantity of interest in such a way that the two estimates are negatively correlated. Their average will then be substantially more accurate than either of them individually. Suppose that we wish to estimate some quantity $\theta$, and that in a single Monte Carlo experiment we can obtain two different unbiased estimators of $\theta$, say $\dot{\theta}$ and $\grave{\theta}$. These are the antithetic variates. Then the pooled estimator
$$
\bar{\theta}=\frac{1}{2}(\dot{\theta}+\grave{\theta})
$$
has variance
$$
V(\bar{\theta})=\frac{1}{4}(V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta})+2 \operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta}))
$$
where $V(\dot{\theta})$ and $V(\grave{\theta})$ denote the variances of $\dot{\theta}$ and $\grave{\theta}$. If $\operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})$ is negative, $V(\bar{\theta})$ will be smaller than $\frac{1}{4}(V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta}))$, which is the variance that we would have obtained using the same number of replications to estimate $\theta$ from two independent experiments. The extent to which we can gain by using antithetic variates thus depends on how strong the negative correlation is between $\dot{\theta}$ and $\grave{\theta}$
One might ask why $\dot{\theta}$ and $\grave{\theta}$ should receive equal weight in computing $\bar{\theta}$. Let us therefore consider the weighted estimator
$$
\ddot{\theta} \equiv w \dot{\theta}+(1-w) \dot{\theta}
$$
Differentiating the variance of $\ddot{\theta}$ with respect to $w$ and setting the result to zero, we find that
$$
w=\frac{V(\grave{\theta})-\operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})}{V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta})-2 \operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})}
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Variance Reduction: Control Variates
The second widely used technique for variance reduction is to employ control variates. A control variate is a random variable of which the distribution (or at least certain properties of the distribution) is known and that is correlated with the estimator(s) or test statistic(s) which are being investigated. The principal property that a control variate must have is a known population mean. The divergence between the sample mean of the control variate in the experiment and its known population mean is then used to improve the estimates from the Monte Carlo experiment. This obviously works best if the control variate is highly correlated with the estimators or test statistics with which the experiment is concerned.
Typically, control variates are statistics which could never be computed in practice but which can be calculated in the context of a Monte Carlo experiment, because the DGP is known. For example, suppose the experiment concerns the estimates of $\boldsymbol{\beta}$ from a nonlinear regression model with normal errors,
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim N\left(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}\right),
$$
where $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ depends only on $\boldsymbol{\beta}$ and on regressors that are fixed or least independent of $\boldsymbol{u}$. We saw in Section 5.4 that
$$
n^{1 / 2}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{\beta}_0\right)=\left(n^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1} n^{-1 / 2} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{u}+o(1) .
$$
Thus it is natural to consider using the vector
$$
\ddot{\boldsymbol{\beta}}=\left(\boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{u}
$$
as a source of control variates. This vector will evidently be normally distributed with mean vector zero and covariance matrix $\sigma_0^2\left(\boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1}$. It would be impossible to compute $\ddot{\boldsymbol{\beta}}$ from a real data set, but in the context of a Monte Carlo experiment, it is perfectly easy to do so. We know $\boldsymbol{\beta}_0$ and hence $\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$. Using these and the error vector $\boldsymbol{u}^j$ that we generate at each replication, we can easily compute $\ddot{\boldsymbol{\beta}}^j$.
计量经济学代考
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Variance Reduction: Antithetic Variates
正如我们所见，从蒙特卡洛实验中获得足够准确的结果通常需要计算大量重复。这并不总是可行的。在 某些情况下，通过使用某些技术来减少实验结果的方差，可以大大减少所需的重复次数。在计量经济学 文献中，取得显著成果的方差减少技术是对立变量和控制变量的使用。我们在本节讨论前一种方法，在 下一节讨论后一种方法。
对立变量的想法是以两种估计值负相关的方式计算感兴趣数量的两个不同估计值。然后，他们的平均值 将比他们中的任何一个单独地准确得多。假设我们希望估计一些数量 $\theta$ ，并且在单个蒙特卡罗实验中，我 们可以获得两个不同的无偏估计量 $\theta$ ，说 $\dot{\theta}$ 和 $\dot{\theta}$. 这些是对立变量。然后合并估计器
$$
\bar{\theta}=\frac{1}{2}(\dot{\theta}+\grave{\theta})
$$
有方差
$$
V(\bar{\theta})=\frac{1}{4}(V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta})+2 \operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta}))
$$
在哪里 $V(\dot{\theta})$ 和 $V(\grave{\theta})$ 表示方差 $\dot{\theta}$ 和 $\grave{\theta}$. 如果 $\operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})$ 是负的， $V(\bar{\theta})$ 会小于 $\frac{1}{4}(V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta}))$ ，这是 我们使用相同数量的重复估计获得的方差 $\theta$ 来自两个独立的实验。因此，我们可以通过使用对立变量获得 的程度取决于两者之间的负相关有多强 $\dot{\theta}$ 和 $\grave{\theta}$
有人可能会问为什么 $\dot{\theta}$ 和 $\dot{\theta}$ 应该在计算中获得同等的权重 $\bar{\theta}$. 因此让我们考虑加权估计
$$
\ddot{\theta} \equiv w \dot{\theta}+(1-w) \dot{\theta}
$$
微分的方差 $\ddot{\theta}$ 关于 $w$ 并将结果设置为零，我们发现
$$
w=\frac{V(\grave{\theta})-\operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})}{V(\dot{\theta})+V(\grave{\theta})-2 \operatorname{Cov}(\dot{\theta}, \grave{\theta})}
$$
经济代写|计量经济学代写Econometrics代考|Variance Reduction: Control Variates
第二种广泛使用的方差减少技术是使用控制变量。控制变量是一个随机变量，其分布（或至少分布的某 些属性) 是已知的，并且与正在研究的估计量或检验统计量相关。控制变量必须具有的主要属性是已知 的总体均值。然后使用实验中控制变量的样本均值与其已知总体均值之间的差异来改进蒙特卡洛实验的 估计值。如果控制变量与实验所涉及的估计量或检验统计量高度相关，这显然效果最好。
通常，控制变量是在实践中永远无法计算但可以在蒙特卡洛实验的上下文中计算的统计数据，因为 DGP 是已知的。例如，假设实验涉及对 $\beta$ 来自具有正态误差的非线性回归模型，
$$
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{u}, \quad \boldsymbol{u} \sim N\left(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}\right)
$$
在哪里 $\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\beta})$ 只取决于 $\boldsymbol{\beta}$ 以及固定的或最不独立的回归量 $\boldsymbol{u}$. 我们在第 5.4 节中看到
$$
n^{1 / 2}\left(\hat{\boldsymbol{\beta}}-\boldsymbol{\beta}_0\right)=\left(n^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1} n^{-1 / 2} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{u}+o(1)
$$
因此很自然地考虑使用向量
$$
\ddot{\boldsymbol{\beta}}=\left(\boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1} \boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{u}
$$
作为控制变量的来源。该向量显然服从均值向量零和协方差矩阵的正态分布 $\sigma_0^2\left(\boldsymbol{X}_0^{\top} \boldsymbol{X}_0\right)^{-1}$. 无法计算 $\ddot{\boldsymbol{\beta}}$ 来自真实数据集，但在蒙特卡罗实验的背景下，这样做非常容易。我们知道 $\boldsymbol{\beta}_0$ 因此 $\boldsymbol{X}_0 \equiv \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{\beta}_0\right)$. 使用这些和误差向量 $\boldsymbol{u}^j$ 我们在每次复制时生成的，我们可以很容易地计算 $\ddot{\boldsymbol{\beta}}^j$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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