### 金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|ICEFE2022

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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Lyapunov Stability Approach

The Lyapunov method analyzes the stability of a dynamical system without the need to compute explicitly the trajectories of the state vector $x=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^T$.
Theorem: The system described by the relation $\dot{x}=f(x)$ is asymptotically stable in the vicinity of the equilibrium $x_0=0$ if there is a function $V(x)$ such that
(i) $V(x)$ to be continuous and to have a continuous first order derivative at $x_0$
(ii) $V(x)>0$ if $x \neq 0$ and $V(0)=0$
(iii) $\dot{V}(x)<0, \forall x \neq 0$.
The Lyapunov function is usually chosen to be a quadratic (and thus positive) energy function of the system however there in no systematic method to define it.

Assume now, that $\dot{x}=f(x)$ and $x_0=0$ is the equilibrium. Then the system is globally asymptotically stable if for every $\varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0$, such that if $|x(0)|<\delta$ then $|x(t)|<\varepsilon, \forall t \geq 0$.

This means that if the state vector of the system starts in a disc of radius $\delta$ then as time advances it will remain in the disc of radius $\varepsilon$, as shown in Fig. 1.3. Moreover, if $\lim _{t \rightarrow \infty}|x(t)|=x_0=0$ then the system is globally asymptotically stable.
Example 1: Consider the system
$$\begin{gathered} \dot{x}_1=x_2 \ \dot{x}_2=-x_1-x_3^2 \end{gathered}$$
The following Lyapunov function is defined
$$V(x)-x_1^2+x_2^2$$

The equilibrium point is $\left(x_1=0, x_2=0\right)$. It holds that $V(x)>0 \forall\left(x_1, x_2\right) \neq(0,0)$ and $V(x)=0$ for $\left(x_1, x_2\right)=(0,0)$. Moreover, it holds
$$\begin{gathered} \dot{V}(x)=2 x_1 \dot{x}1+2 x_2 \dot{x}_2=2 x_1 x_2+2 x_2\left(-x_1-x_2^3\right) \Rightarrow \ \dot{V}(x)=-2 x_2^4<0 \forall\left(x_1, x_2\right) \neq(0,0) \end{gathered}$$ Therefore, the system is asymptotically stable and $\lim {t \rightarrow \infty}\left(x_1, x_2\right)=(0,0)$.

## 金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Local Stability Properties of a Nonlinear Model

Local stability of a nonlinear model can be studied round the associated equilibria. Local linearization can be performed round equilibria, using the set of differential equations that describe the nonlinear model $\dot{x}=h(x)$ and performing Taylor series expansion, that is $\dot{x}=h(x) \Rightarrow \dot{x}=\left.h\left(x_0\right)\right|_{x_0}+\nabla_x h\left(x-x_0\right)+\cdots$.
The nonlinear model is taken to have the generic form
$$\left(\begin{array}{l} \dot{x}_1 \ \dot{x}_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} f\left(x_1, x_2\right) \ g\left(x_1, x_2\right) \end{array}\right)$$
where $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1+x_2^2$ and $g\left(x_1, x_2\right)=x_1^2+2 x_2$. The fixed points of this model are computed from the condition $\dot{x}_1=0$ and $\dot{x}_2=0$. Using these relations one finds the equilibria $\left(x_1^, x_2^\right)=(0,0)$ and $\left(x_1^, x_2^\right)=(0,0)$
The Jacobian matrix $\nabla_x h=M$ is given by
$$M=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} \ \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} \end{array}\right)$$
which results into the matrix
$$J=\left(\begin{array}{cc} 2 & 2 x_2 \ 2 x_1 & 2 \end{array}\right)$$
The eigenvalues of matrix $M$ define stability round fixed points (stable or unstable fixed point). To this end, one has to find the roots of the associated characteristic polynomial that is given by $\operatorname{det}(\lambda I-J)=0$ where $I$ is the identity matrix.

## 金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Lyapunov Stability Approach

Lyapunov 方法分析动力系统的稳定性，无需显式计算状态向量的轨迹
$$x=\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^T \text {. }$$

(i) $V(x)$ 是连续的，并且有一个连续的一阶导数在 $x_0$
(二) $V(x)>0$ 如果 $x \neq 0$ 和 $V(0)=0$
(三) $\dot{V}(x)<0, \forall x \neq 0$. Lyapunov 函数通常被选择为系统的二次 (因此是正) 能量函数，但是没有系统的方法来定义 它。 现在假设， $\dot{x}=f(x)$ 和 $x_0=0$ 是平衡点。那么系统是全局渐近稳定的如果对于每个 $\varepsilon>0, \exists \delta(\varepsilon)>0$, 这样如果 $|x(0)|<\delta$ 然后 $|x(t)|<\varepsilon, \forall t \geq 0$. 这意味着如果系统的状态向量开始于半径为 $\delta$ 然后随着时间的推移它将保留在半径的圆盘中 $\varepsilon$ ， 如图1.3所示。此外，如果 $\lim _{t \rightarrow \infty}|x(t)|=x_0=0$ 那么系统是全局渐近稳定的。 示例 1：考虑系统 $$\dot{x}_1=x_2 \dot{x}_2=-x_1-x_3^2$$ 定义了以下 Lyapunov 函数 $$V(x)-x_1^2+x_2^2$$ 平衡点是 $\left(x_1=0, x_2=0\right)$. 它认为 $V(x)>0 \forall\left(x_1, x_2\right) \neq(0,0)$ 和 $V(x)=0$ 为了 $\left(x_1, x_2\right)=(0,0)$. 此外， 它持有
$$\dot{V}(x)=2 x_1 \dot{x} 1+2 x_2 \dot{x}_2=2 x_1 x_2+2 x_2\left(-x_1-x_2^3\right) \Rightarrow \dot{V}(x)=-2 x_2^4<0 \forall\left(x_1, x_2\right)$$

## 金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Local Stability Properties of a Nonlinear Model

left $\left(x_{-} 1 \wedge, x_{-} _2 \wedge\right.$ right $)=(0,0)$

$$M=\left(\begin{array}{llll} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} \end{array}\right)$$

$$J=\left(\begin{array}{lll} 2 & 2 x_2 2 x_1 & 2 \end{array}\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。