如果你也在 怎样代写图论Graph Theory 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。图论Graph Theory有趣的部分原因在于，图可以用来对某些问题中的情况进行建模。这些问题可以在图表的帮助下进行研究(并可能得到解决)。因此，图形模型在本书中经常出现。然而，图论是数学的一个领域，因此涉及数学思想的研究-概念和它们之间的联系。我们选择包含的主题和结果是因为我们认为它们有趣、重要和/或代表主题。

图论Graph Theory通过熟悉许多过去和现在对图论的发展负责的人，可以增强对图论的欣赏。因此，我们收录了一些关于“图论人士”的有趣评论。因为我们相信这些人是图论故事的一部分，所以我们在文中讨论了他们，而不仅仅是作为脚注。我们常常没有认识到数学是一门有生命的学科。图论是人类创造的，是一门仍在不断发展的学科。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Subgraphs

Let $H$ be a graph and $n \geqslant|H|$. How many edges will suffice to force an $H$ subgraph in any graph on $n$ vertices, no matter how these edges are arranged? Or, to rephrase the problem: which is the greatest possible number of edges that a graph on $n$ vertices can have without containing a copy of $H$ as a subgraph? What will such a graph look like? Will it be unique?

A graph $G \nsupseteq H$ on $n$ vertices with the largest possible number of edges is called extremal for $n$ and $H$; its number of edges is denoted by $\operatorname{ex}(n, H)$. Clearly, any graph $G$ that is extremal for some $n$ and $H$ will also be edge-maximal with $H \nsubseteq G$. Conversely, though, edge-maximality does not imply extremality: $G$ may well be edge-maximal with $H \nsubseteq G$ while having fewer than $\operatorname{ex}(n, H)$ edges (Fig. 7.1.1).

As a case in point, we consider our problem for $H=K^r$ (with $r>1$ ). A moment’s thought suggests some obvious candidates for extremality here: all complete $(r-1)$-partite graphs are edge-maximal without containing $K^r$. But which among these have the greatest number of edges? Clearly those whose partition sets are as equal as possible, i.e. differ in size by at most 1: if $V_1, V_2$ are two partition sets with $\left|V_1\right|-\left|V_2\right| \geqslant 2$, we may increase the number of edges in our complete $(r-1)$-partite graph by moving a vertex from $V_1$ to $V_2$.

The unique complete $(r-1)$-partite graphs on $n \geqslant r-1$ vertices whose partition sets differ in size by at most 1 are called Turán graphs; we denote them by $T^{r-1}(n)$ and their number of edges by $t_{r-1}(n)$ (Fig. 7.1.2). For $n<r-1$ we shall formally continue to use these definitions, with the proviso that – contrary to our usual terminologythe partition sets may now be empty; then, clearly, $T^{r-1}(n)=K^n$ for all $n \leqslant r-1$.

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In the context of flows, we have to be able to speak about the ‘directions’ of an edge. Since, in a multigraph $G=(V, E)$, an edge $e=x y$ is not identified uniquely by the pair $(x, y)$ or $(y, x)$, we define directed edges as triples:
$$
\vec{E}:={(e, x, y) \mid e \in E ; x, y \in V ; e=x y} .
$$
Thus, an edge $e=x y$ with $x \neq y$ has the two directions $(e, x, y)$ and $(e, y, x)$; a loop $e=x x$ has only one direction, the triple $(e, x, x)$. For given $\vec{e}=(e, x, y) \in \vec{E}$, we set $\bar{e}:=(e, y, x)$, and for an arbitrary set $\vec{F} \subseteq \vec{E}$ of edge directions we put
$$
\bar{F}:={\bar{e} \mid \vec{e} \in \vec{F}}
$$
Note that $\vec{E}$ itself is symmetrical: $\bar{E}=\vec{E}$. For $X, Y \subseteq V$ and $\vec{F} \subseteq \vec{E}$, define
$$
\vec{F}(X, Y):={(e, x, y) \in \vec{F} \mid x \in X ; y \in Y ; x \neq y},
$$
abbreviate $\vec{F}({x}, Y)$ to $\vec{F}(x, Y)$ etc., and write
$$
\vec{F}(x):=\vec{F}(x, V)=\vec{F}({x}, \overline{{x}}) .
$$
Here, as below, $\bar{X}$ denotes the complement $V \backslash X$ of a vertex set $X \subseteq V$. Note that any loops at vertices $x \in X \cap Y$ are disregarded in the definitions of $\vec{F}(X, Y)$ and $\vec{F}(x)$.

Let $H$ be an abelian semigroup, ${ }^2$ written additively with zero 0 . Given vertex sets $X, Y \subseteq V$ and a function $f: \vec{E} \rightarrow H$, let
$$
f(X, Y):=\sum_{\vec{e} \in \vec{E}(X, Y)} f(\vec{e})
$$

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Perfect graphs

正如第5.2节所讨论的，高色数可能作为一种纯粹的全局现象出现:即使一个图有很大的周长，因此局部看起来像一棵树，它的色数可能是任意高的。由于这种“全局依赖”显然很难处理，人们可能会对不发生这种现象的图感兴趣，即只有在存在局部原因的情况下，其色数才高。
在我们明确这一点之前，让我们注意图$G$的两个定义。最大的整数$r$使得$K^r \subseteq G$是$G$的团数$\omega(G)$，最大的整数$r$使得$\overline{K^r} \subseteq G$(诱导)是$G$的独立数$\alpha(G)$。显然是$\alpha(G)=\omega(\bar{G})$和$\omega(G)=\alpha(\bar{G})$。
如果每个诱导子图$H \subseteq G$都有色数$\chi(H)=\omega(H)$，即$\omega(H)$颜色的平凡下界总是足以为$H$的顶点上色，则称为完美图。因此，虽然证明形式为$\chi(G)>k$的断言通常是困难的，即使在原则上，对于给定的图$G$，它总是可以通过简单地展示一些$K^{k+1}$子图作为具有$k$颜色的不可着色性的“证书”来完成。

乍一看，完美图类的结构似乎有些做作:虽然它在诱导子图下是封闭的(如果仅通过显式定义)，但它在取一般子图或超图时并不封闭，更不用说子图了(例子?)然而，完美性在图论中是一个重要的概念:图的几个基本类是完美的(似乎是侥幸)，这一事实可能是这一点的表面迹象。 ${ }^3$

那么，什么样的图表是完美的呢?例如，二部图。不那么平凡的是，二部图的补也是完美的，这一事实等价于König的对偶定理2.1.1(练习36)。所谓的可比性图是完美的，区间图也是如此(参见练习);这两种情况在许多应用程序中都会出现。

为了详细地研究至少一个这样的例子，我们在这里证明弦图是完美的:一个图是弦图(或三角图)，如果它的每个长度至少为4的环都有一个弦，即，如果它不包含除三角形以外的诱导环。

为了证明弦图是完美的，我们将首先描述弦图的结构。如果$G$是一个具有诱导子图$G_1, G_2$和$S$的图，例如$G=G_1 \cup G_2$和$S=G_1 \cap G_2$，我们说$G$是由$G_1$和$G_2$通过沿着$S$粘贴在一起而产生的。

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在流动的背景下，我们必须能够谈论边缘的“方向”。由于在多图$G=(V, E)$中，边$e=x y$不是由$(x, y)$或$(y, x)$对唯一标识的，因此我们将有向边定义为三元组:
$$
\vec{E}:={(e, x, y) \mid e \in E ; x, y \in V ; e=x y} .
$$
因此，具有$x \neq y$的边$e=x y$具有$(e, x, y)$和$(e, y, x)$两个方向;一个循环$e=x x$只有一个方向，即三重$(e, x, x)$。对于给定的$\vec{e}=(e, x, y) \in \vec{E}$，我们设置$\bar{e}:=(e, y, x)$，对于任意的边方向集$\vec{F} \subseteq \vec{E}$，我们设置
$$
\bar{F}:={\bar{e} \mid \vec{e} \in \vec{F}}
$$
注意$\vec{E}$本身是对称的:$\bar{E}=\vec{E}$。对于$X, Y \subseteq V$和$\vec{F} \subseteq \vec{E}$，定义
$$
\vec{F}(X, Y):={(e, x, y) \in \vec{F} \mid x \in X ; y \in Y ; x \neq y},
$$
将$\vec{F}({x}, Y)$缩写为$\vec{F}(x, Y)$等，并写上
$$
\vec{F}(x):=\vec{F}(x, V)=\vec{F}({x}, \overline{{x}}) .
$$
下面，$\bar{X}$表示顶点集$X \subseteq V$的补$V \backslash X$。注意，在$\vec{F}(X, Y)$和$\vec{F}(x)$的定义中，顶点$x \in X \cap Y$处的任何循环都将被忽略。

设$H$是一个阿贝尔半群，${ }^2$与0相加。给定顶点集$X, Y \subseteq V$和函数$f: \vec{E} \rightarrow H$，设
$$
f(X, Y):=\sum_{\vec{e} \in \vec{E}(X, Y)} f(\vec{e})
$$

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