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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Timelimited Signals
If $f(t)$ is also timelimited to $[-T / 2, T / 2]$, then the non-zero terms in (2.10) occur only bandlimited and timelimited signal is finite, and it is given by the Nyquist number ${ }^{3}$
$$
N_{0}=\Omega T / \pi .
$$
It follows that a waveform $f(t)$, viewed in a simple environment such as the real plane, can be replaced by a simpler entity such as a point, viewed in a complex environment such as an $N_{0}$-dimensional space. In the context of communication, this means that using signals bandlimited to $\Omega$ one can transmit only $N_{0}$ real numbers in time $T$, and these numbers can be used to completely identify any one signal of duration $T$.
This remarkable intuition, due to Shannon $(1948,1949)$, allows engineers to treat continuous signals as discrete ensembles corresponding to their coordinates in an $N_{0}$-dimensional space, and is the essential idea supporting today’s digital communication technology. As powerful as it is, the intuition is nevertheless imprecise, and it requires a great deal of mathematical argument to make it stand on solid ground.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Impossibility of Time–Frequency Limiting
The first problem that we encounter is that the only signal that is both bandlimited and timelimited is the trivial always-zero signal. A mathematical proof of the above statement is the following: consider the complex extension of $f(t)$ defined in (2.3) to the upper complex half-plane, by taking ${t=x+j y: y>0, x, y \in \mathbb{R}}$. If $F(\omega)$ is bandlimited to $\Omega$, then by the Paley-Wiener theorem stated in Appendix A.1, this extension is an entire function of exponential type $\Omega$. Such a function is holomorphic over the whole complex plane and therefore it equals its own Taylor series everywhere. Now, if $f(t)=0$ in an interval, then all of its derivatives would also be zero inside this interval and the Taylor expansion would require it to be zero everywhere. The above proof uses tools from analysis; the solution to Problem $2.10$ provides a more elementary derivation.
It follows that the perfect reconstruction formula (2.10) is only valid if one observes bandlimited signals over an infinite time, and this is not possible in practice. Signals of finite time support cannot be rigorously identified by $N_{0}$ numbers, and if one attempts to use this finite number of samples then a certain reconstruction error must occur. This interpolation error is due to the missing samples of the tails of the signals in the time domain. On the other hand, a timelimited signal cannot be bandlimited and its reconstruction from $N_{0}$ samples has an aliasing error due to the overlaps of the tails of the replicas in the spectral domain. The situation is depicted in Figure 2.2, and creates a problem in defining precisely the amount of information that is carried by the transmitted signals.
One possible way around these issues is to argue that signals can be, if not perfectly timelimited and bandlimited, at least approximately so. The aliasing and interpolation errors can then be neglected, if the approximation is sufficiently accurate. The problem is then to appropriately define the meaning of the term “approximately” and to relate this definition to the quality of the reconstruction. After Shannon’s breakthrough proposal, this objective kept communication engineers busy for a long time building rigorous foundations for their methods.
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Timelimited Signals
如果 $f(t)$ 也有时间限制 $[-T / 2, T / 2]$ ，那么 (2.10) 中的非零项只出现带限和限时信号是有限的，它由奈奎斯特数 给出 3
$$
N_{0}=\Omega T / \pi .
$$
由此得出一个波形 $f(t)$ ，在真实平面等简单环境中查看，可以用点等更简单的实体代替，在复杂环境中查看，例 如 $N_{0}$ 维空间。在通信环境中，这意味着使用带宽受限的信号 $\Omega$ 一个只能传输 $N_{0}$ 时间上的实数 $T$ ，并且这些数字 可以用来完全识别任何一个持续时间的信号 $T$.
这种非凡的直觉，归功于香农 $(1948,1949)$ ，允许工程师将连续信号视为与它们的坐标相对应的离散集合 $N_{0}$ 维 空间，是支㨷当今数字通信技术的基本理念。尽管直觉很强大，但它并不精确，它需要大量的数学论证才能使其 站稳㑢跟。
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Impossibility of Time–Frequency Limiting
我们遇到的第一个问题是，唯一既受带宽限制又受时间限制的信号是微不足道的始终为零的信号。上述陈述的数 学证明如下: 考虑复杂的扩展 $f(t)$ 在 (2.3) 中定义的上复半平面，通过取 $t=x+j y: y>0, x, y \in \mathbb{R}$. 如果 $F(\omega)$ 带宽限制为 $\Omega$ ，则由附录 A.1 中所述的 Paley-Wiener 定理，这个扩展是指数型的整函数 $\Omega$. 这样的函数在 整个复平面上是全纯的，因此它在任何地方都等于它自己的泰勒级数。现在，如果 $f(t)=0$ 在一个区间内，那么 它的所有导数在这个区间内也将为零，并且泰勒展开式将要求它在任何地方都为零。上述证明使用了分析工具； 问题的解决方案 $2.10$ 提供了更基本的推导。
因此，完美的重建公式 (2.10) 只有在无限时间内观察带限信号时才有效，而这在实践中是不可能的。有限时间 支持的信号不能被严格识别 $N_{0}$ 数字，如果试图使用这个有限数量的样本，那么一定会出现一定的重建错误。这 种揷值误差是由于时域中信号尾部的样本丟失造成的。另一方面，时限信号不能是带限的，它的重构来自 $N_{0}$ 由 于谱域中副本尾部的重哻，样本具有混昰误差。这种情况如图 $2.2$ 所示，在精确定义传输信号所承载的信息量方 面产生了问题。
解决这些问题的一种可能方法是认为信号可以是，如果不是完全有时间限制和带宽限制，至少大致如此。如果近 似值足够准确，则可以忽略混咠和揷值误差。然后问题是适当地定义术语“近似”的含义并将该定义与重建的质量 相关联。在香农的突破性提议之后，这个目标让通信工程师们忙了很长时间，为他们的方法建立了严格的基础。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。