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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels in the Schrodinger picture
Let $\mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right)$ and $\mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ be the collections of quantum states on $\mathbb{H}_A$ and $\mathbb{H}_B$, respectively. The definition and basic properties of quantum channels in Schrodinger picture are given below.
Definition 5.2.1. A linear completely positive trace-preserving map $\Phi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right), \rho_B=\Phi\left(\rho_A\right)$, is called a quantum channel from system $A$ to system $B$. In this case, $\rho_A \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right)$ will be called an input state and $\rho_B \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ will be called the output state of the channel.
The collection of quantum channels from system $A$ to system $B$ will be denoted by $\mathfrak{Q C}(A, B)$. When $\mathbb{H}_A=\mathbb{H}_B$, we will simply write $\mathfrak{Q C}(A, B)$ as $\mathfrak{Q C}(A)$.
In functional analysis, a partial isometry (see also Theorem 1.8.11 for a description) is a linear map $\Upsilon$ between Hilbert spaces $\mathbb{H}$ and $\mathbb{K}$ such that $\Upsilon$ is an isometry between $(\operatorname{ker}(\Upsilon))^{\perp} \subset \mathbb{H}$ and range $(\Upsilon) \subset \mathbb{K}$, where $(\operatorname{ker}(\Upsilon))^{\perp}$ (the orthogonal complement of its kernel) is called the initial subspace and range( $Y$ (the range of $Y$ ) is called the final subspace of the map. The concept of partial isometry can be defined in other equivalent ways. If $\mathbf{U}$ is an isometric map defined on a closed subset $\mathbb{H}_0$ of a Hilbert space $\mathbb{H}$, then we can define an extension $\mathbf{W}$ of $\mathbf{U}$ to all of $\mathbb{H}$ by the condition that $\mathbf{W}$ be zero on $\mathbb{H}_0^{\perp}$ (the orthogonal complement of $\mathbb{H}_0$ ). Thus, a partial isometry is also sometimes defined as a closed partially defined isometric map.
Definition 5.2.2 (Isometrical equivalence). Let $A, B$ and $B^{\prime}$ be quantum systems represented by the separable complex Hilbert spaces $\mathbb{H}A, \mathbb{H}_B$ and $\mathbb{H}{B^{\prime}}$, respectively. The (extended) quantum channels $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}B\right)$ and $\Phi^{\prime}: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}{B^{\prime}}\right)$ are said to be isometrically equivalent if there exists a partial isometry $\mathbf{W}: \mathbb{H}_B \rightarrow \mathbb{H}{B^{\prime}}$ such that
$$
\Phi^{\prime}(\rho)=\mathbf{W} \Phi(\rho) \mathbf{W}^, \quad \Phi(\rho)=\mathbf{W}^ \Phi^{\prime}(\rho) \mathbf{W}, \quad \forall \rho \in \mathfrak{T}\left(\mathbb{H}A\right) $$ The notion of isometrical equivalence is very close to the notion of unitary equivalence. Indeed, the isometrical equivalence of the channels $\Phi$ and $\Phi^{\prime}$ means unitary equivalence of these channels with the output spaces $\mathbb{H}_B$ and $\mathbb{H}{B^{\prime}}$ replaced by their subspaces $\mathbb{H}B^{\Phi}=\mathrm{V}{\rho \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}A\right)} \operatorname{supp}(\Phi(\rho))$ and $\mathbb{H}{B^{\prime}}^{\Phi^{\prime}}=\mathrm{V}_{\rho \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right)} \operatorname{supp}\left(\Phi^{\prime}(\rho)\right)$. We use the notion of isometrical equivalence, since dealing with a given representation of a quantum channel $\Phi$ it not easy in general to determine the corresponding subspace $\mathbb{H}_B^{\Phi}$. Some examples of quantum channels are given below.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels in the Heisenberg picture
Without loss generality, we can and often consider the extended version of channel $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_B\right)$ in place of the channel $\Phi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ itself. In this case, $\Phi^*$, the adjoint of the (extended) quantum channel $\Phi$ is a map from $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$ to $\mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$. This is because $\mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right)$ and $\mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_B\right)$ are preduals of $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_A\right)$ and $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$, respectively.
Definition 5.2.3. Let $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathrm{H}_B\right)$ be an (extended) quantum channel from $A$ to $B$. The adjoint operator of $\Phi, \Phi^*: \mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_B\right) \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$ is called the dual channel of $\mathrm{D}$.
The class of dual channels is denoted by $\mathfrak{E Q C}^(B, A)$, and similarly $\mathfrak{E Q} \mathscr{C}^(B, A)$ as $\mathfrak{E Q C} \mathcal{C}^*(A)$ if $A=B$
The (extended) quantum channels $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}B\right)$ implicitly assume the Schrodinger picture in which the states of the system are evolved while the observables of the system are kept fixed. On the other hand, the dual channel $\Phi^: \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right) \rightarrow$ $\mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$ is in the Heisenberg picture and it implies that the states of the system are fixed and the observables evolve in time. The (extended) quantum channel $\Phi$ and its associated dual channel $\Phi^$, however, satisfy the following duality relation:
$$
\operatorname{tr}\left[\Phi\left(\rho_A\right) \mathbf{0}_B\right]=\operatorname{tr}\left[\rho_A \Phi^\left(\mathbf{0}_B\right)\right], \quad \forall \rho_A \in \mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \text { and } \forall \mathbf{0}_B \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right) $$ Notice also that in the duality relation the concatenation of channels goes in reversed order in the Schrodinger picture. That is, given (extended) channels $\Phi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathrm{H}A\right) \rightarrow$ $\mathfrak{T}{+}\left(\mathrm{H}B\right)$ and $\Psi: \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}B\right) \rightarrow \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}C\right)$, we have $$ (\Psi \circ \Phi)^=\Phi^* \circ \Psi^*
$$
A physical interpretation of the dual quantum channel $\Phi^: \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right) \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_A\right)$ is the following: when the system is initially in the state $\rho \in \mathfrak{T}{+}\left(\mathbb{H}_A\right)$, the expectation value of the measurement of the observable $\mathbf{B} \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$ at the output side of the channel is given in terms of $\Phi$ by $\operatorname{tr}\left[\rho \Phi^(\mathbf{B})\right]$.
The following result characterizes the dual channel $\Phi^*$ of $\Phi$, which can be viewed as the quantum channel $\Phi$ in the Heisenberg picture.
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels in the Schrodinger picture
让 $\mathcal{S}\left(\mathbb{H}A\right)$ 和 $\mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 是量子态的集合 $\mathbb{H}_A$ 和 $\mathbb{H}_B$ ，分别。下面给出辠定谔图中量子通道的定义和基本性 质。 定义 5.2.1。一种线性完全正的保迹图 $\Phi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right), \rho_B=\Phi\left(\rho_A\right)$, 被称为系统的量子信道 $A$ 到系统 $B$. 在这种情况下， $\rho_A \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right)$ 将被称为输入状态和 $\rho_B \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 将被称为通道的输出状 态。 从系统中收集量子通道 $A$ 到系统 $B$ 将被表示为 $\mathfrak{Q} \mathfrak{C}(A, B)$. 什么时候 $\mathbb{H}_A=\mathbb{H}_B$ ，我们将简单地写 $\mathfrak{Q C}(A, B)$ 作为 $\mathfrak{Q C}(A)$ 之间的等距 $(\operatorname{ker}(\Upsilon))^{\perp} \subset \mathbb{H}$ 和范围 $(\Upsilon) \subset \mathbb{K}$ ，在哪里 $(\operatorname{ker}(\Upsilon))^{\perp}$ (其内核的正交补集) 称为初始子 空间和范围 $(Y$ (的范围 $Y$ ) 称为映射的最终子空间。部分等距的概念可以用其他等效方式定义。如果 $U$ 是 $\mathbf{W}$ 为零 $H_0^{\perp}$ (的正交补 $\mathbb{H}_0$ ). 因此，部分等轴测图有时也被定义为封闭的部分定义等轴测图。 定义 5.2.2 (等距等值) 。让 $A, B$ 和 $B^{\prime}$ 是由可分离复数桸尔伯特空间表示的量子系统 $\mathbb{H} A, \mathbb{H}_B$ 和 $\mathbb{H} B^{\prime}$ ， 分别。(扩展的) 量子通道 $\Phi: \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}+(\mathbb{H} B)$ 和 $\Phi^{\prime}: \mathfrak{T}+(\mathbb{H} A) \rightarrow \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H} B^{\prime}\right)$ 如果存在部 分等距，则称为等距等价 $\mathbf{W}: \mathbb{H}_B \rightarrow \mathbb{H} B^{\prime}$ 这样 等距等价的概念非常接近酉等价的概念。实际上，通道的等距等效性 $\Phi$ 和 $\Phi^{\prime}$ 表示这些通道与输出空间的单 一等价 $\mathbb{H}_B$ 和 $\mathbb{H} B^{\prime}$ 替换为它们的子空间 $\mathbb{H} B^{\Phi}=\operatorname{V} \rho \in \mathcal{S}(\mathbb{H} A) \operatorname{supp}(\Phi(\rho))$ 和 $\mathbb{H} B^{\prime \Phi^{\prime}}=V{\rho \in \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right)} \operatorname{supp}\left(\Phi^{\prime}(\rho)\right)$. 我们使用等距等价的概念，因为处理量子通道的给定表示 $\Phi$ 一般不 容易确定对应的子空间 $\mathbb{H}_B^{\Phi}$. 下面给出了一些量子信道的例子。
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels in the Heisenberg picture
不失一般性，我们可以并且经常考虑通道的扩展版本 $\Phi: \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_B\right)$ 代替频道
$\Phi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 本身。在这种情况下， $\Phi^* ，\left(\right.$ (扩展) 量子通道的伴随 $\Phi$ 是一张地图 $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 到 $\mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$. 这是因为 $\mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right)$ 和 $\mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 是 $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_A\right)$ 和 $\mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$ ， 分别。
定义 5.2.3。让 $\Phi: \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}+\left(\mathrm{H}_B\right)$ 是一个 (扩展的) 量子通道 $A$ 到 $B$. 的伴随算子 $\Phi, \Phi^: \mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_B\right) \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$ 被称为双通道D. 双通道的类别表示为 $\mathfrak{E Q C}(B, A)$ ，同样地 $\mathfrak{E Q} \mathscr{C}(B, A)$ 作为 $\mathfrak{E Q C C} \mathcal{C}^(A)$ 如果 $A=B$
(扩展的) 量子通道 $\Phi: \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathfrak{T}+(\mathbb{H} B)$ 隐含地假设系统状态在演化而系统的可观测值保持固 定的薛定谔图。另一方面，双通道 $\Phi: \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right) \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathrm{H}_A\right)$ 是在海森堡的图片中，它意味着系统的状态是 固定的，可观察到的是随时间演化的。（扩展的）量子通道 $\Phi$ 及其关联的双通道\披人，然而，满足以下对 偶关系：
$$
\operatorname{tr}\left[\Phi\left(\rho_A\right) \mathbf{0}_B\right]=\operatorname{tr}\left[\rho_A \Phi^{\left(0_B\right)}\right], \quad \forall \rho_A \in \mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \text { and } \forall \mathbf{0}_B \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)
$$
还请注意，在对偶关系中，通道的串联在薛定谔图中按相反的顺序进行。也就是说，给定 (扩展) 频道 $\Phi: \mathfrak{T}+(\mathrm{H} A) \rightarrow \mathfrak{T}+(\mathrm{H} B)$ 和 $\Psi: \mathfrak{T}+(\mathbb{H} B) \rightarrow \mathfrak{T}+(\mathbb{H} C)$ ，我们有
$$
(\Psi \circ \Phi)^{=} \Phi^* \circ \Psi^*
$$
双量子通道的物理解释 $\Phi: \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right) \rightarrow \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_A\right)$ 如下：当系统最初处于状态时 $\rho \in \mathfrak{T}+\left(\mathbb{H}_A\right)$, 可观测测 量的期望值 $\mathbf{B} \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_B\right)$ 在通道的输出端是根据 $\Phi$ 经过 $\operatorname{tr}[\rho \Phi(\mathbf{B})]$.
以下结果表征了双通道 $\Phi^*$ 的 $\Phi$ ，可以看作是量子信道 $\Phi$ 在海森堡的画中。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。