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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。
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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Kernel Methods
In a broad sense, kernel methods are at the core of many, if not most, machine learning algorithms [Schölkopf and Smola, 2018]. Given a set of data $\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$, most learning mechanisms rely on extracting the structural data information from direct or indirect pairwise comparisons $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)$ for some affinity metric $\kappa(\cdot, \cdot)$. Gathered in an $n \times n$ matrix $$ \mathbf{K}=\left{\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)\right}{i, j=1}^n
$$
the “cumulative” effect of these comparisons for numerous $(n \gg 1)$ data is at the source of various supervised, semi-supervised, or unsupervised methods such as support vector machines, graph Laplacian-based learning, kernel spectral clustering, and has deep connections to neural networks.
These applications will be thoroughly discussed in Section 4.4. For the moment though, our main interest lies in the spectral characterization of the kernel matrix $\mathbf{K}$ itself for various (classical) choices of affinity functions $\kappa$ and for various statistical models of the data $\mathbf{x}_i$
Clearly, from a purely machine learning perspective, the choice of the affinity function $\kappa(\cdot, \cdot)$ is central to a good performance of the learning method under study. Since real data in general have highly complex structures, a typical viewpoint is to assume that the data points $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_j$ are not directly comparable in their ambient space but that there exists a convenient feature extraction function $\phi: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q(q \in \mathbb{N} \cup{+\infty})$ such that $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)$ and $\phi\left(\mathbf{x}_j\right)$ are more amenable to comparison. Otherwise stated, in the image of $\phi(\cdot)$, the data are more “linear” (or more “linearly separable” if one seeks to group the data in affinity classes). The simplest affinity function between $\mathbf{x}_i$ and $\mathbf{x}_j$ would in this case be $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)=\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)$
Since $q$ may be larger (if not much larger) than $p$, the mere cost of evaluating $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)$ can be deleterious to practical implementation. The so-called kernel trick is anchored in the remark that, for a certain class of such functions $\phi, \phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)=$ $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ or $-f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)$ for some function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ and it thus suffices to evaluate $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2$ or $\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j$ in the ambient space and then apply $f$ in an entrywise manner to evaluate all data affinities, leading to more practically convenient methods.
Although the class of such functions $f$ is inherently restricted by the need for a mapping $\phi$ to exist such that, say, $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)=f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ for all possible $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ pairs (these are sometimes called Mercer kernel functions), ${ }^1$ with time, practitioners have started to use arbitrary functions $f$ and worked with generic kernel matrices of the form
$$
\mathbf{K}=\left{f\left(\left|\mathbf{x}i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)\right}{i, j=1}^n, \quad \text { or } \quad \mathbf{K}=\left{f\left(\mathbf{x}i^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right}{i, j=1}^n,
$$
irrespective of the actual form or even the existence of an underlying feature extraction function $\phi$. There are, in particular, empirical evidences showing that well-chosen “indefinite” (i.e., nonMercer type) kernels, being not associated with a mapping $\phi$, can sometimes outperform conventional nonnegative definite kernels that satisfy the Mercer’s condition [Haasdonk, 2005, Luss and D’Aspremont, 2008].
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As pointed out in Remark $4.1$ and shall become evident from the coming analysis, the small-dimensional intuition according to which $f$ should be a nonincreasing “valid” Mercer function becomes rather meaningless when dealing with large-dimensional data, essentially due to the “curse of dimensionality” and the concentration phenomenon in high dimensions.
To fully capture this aspect, a first important consideration is, as already mentioned in Section 1.1.3, to deal with “nontrivial” relative growth rates of the statistical data parameters with respect to the dimensions $p, n$. By nontrivial, we mean that the underlying classification or regression problem for which the kernel method is designed should neither be impossible nor trivially easy to solve as $p, n \rightarrow \infty$. The reason behind this request is fundamental, and also disrupts from many research works in machine learning which, instead, seek to prove that the method under study performs perfectly in the limit of large $n$ (with $p$ fixed in general): Here, we rather wish to account for the fact that, at finite but large $p, n$, the machine learning methods of practical interest are those which have nontrivial performances; thus, in what follows, ” $n, p \rightarrow \infty$ in nontrivial growth rates” should really be understood as ” $n, p$ are both large and the problem at hand is non-trivially easy or hard to solve.”
In this section, we will mostly focus on the use of kernel methods for classification, and thus the nontrivial settings are given in terms of the growth rate of the “distance” between (the statistics of) data classes. It will particularly appear that the very definition of the appropriate growth rates to ensure the nontrivial character of a machine learning problem to be solved through kernel methods depends on the kernel design itself, and that flagship kernels such as the Gaussian kernel $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)=\exp \left(-\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / 2 \sigma^2\right)$ are in general quite suboptimal.
机器学习代考
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从广义上讲，内核方法是许多 (如果不是大多数) 机器学习算法的核心 [Schölkopf 和 Smola， 2018 年]。给定一组数据 $\mathbf{x} 1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ ，大多数学习机制依赖于从直接或间接的成对比较中提取结构数 据信息 $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)$ 对于一些亲和力指标 $\kappa(\cdot, \cdot)$. 聚集在一个 $n \times n$ 矩阵
这些比较的㽧积”效应对许多 $(n \gg 1)$ 数据是各种监督、半监督或无监督方法的来源，例如支持向量 机、基于图拉普拉斯算子的学习、核谱聚类，并且与神经网络有看深厚的联系。
这些应用程序将在第 $4.4$ 节中详细讨论。不过目前，我们的主要兴趣在于核矩阵的光谱特征KK本身用于 亲和函数的各种（经典）选择 $\kappa$ 以及数据的各种统计模型 $\mathbf{x}_i$
显然，从纯机器学习的角度来看，亲和函数的选择 $\kappa(\cdot, \cdot)$ 是所研究学习方法良好表现的核心。由于真实 数据通常具有高度复杂的结构，一个典型的观点是假设数据点 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ 在它们的环境空间中不能直接比 较，但是存在一个方便的特征提取函数 $\phi: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q(q \in \mathbb{N} \cup+\infty)$ 这样 $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)$ 和 $\phi\left(\mathbf{x}_j\right)$ 更适合比 较。另有说明，在图片中 $\phi(\cdot)$ ，数据更 线性”（或者如果试图将数据分组到亲和类中，则数据更“线性可 分”) 。之间最简单的亲和函数 $\mathbf{x}_i$ 和 $\mathbf{x}_j$ 在这种情况下会是 $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)=\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)$
自从 $q$ 可能比 $p$, 单纯的评估成本 $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)$ 可能不利于实际实施。所谓的内核技巧是基于这样的评 论，对于某一类这样的函数 $\phi, \phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)=f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ 要么 $-f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j\right)$ 对于某些功能 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 因此足以评估 $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2$ 要么 $\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j$ 在环境空间中，然后应用 $f$ 以入方式评估所有数据亲 和力，从而导致更实用的方法。
虽然此类函数 $f$ 本质上受到映射需求的限制 $\phi$ 存在这样的，说， $\phi\left(\mathbf{x}_i\right)^{\top} \phi\left(\mathbf{x}_j\right)=f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2\right)$ 对于 所有可能的 $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$ 对（这些有时称为 Mercer 核函数）， 1 随着时间的推移，从业者开始使用任意函数 $f$ 并使用形式的通用内核矩阵
无论实际形式如何，甚至不考虑底层特征提取函数的存在 $\phi$. 特别是，有经验证据表明，精心挑选的“不确 定” (即非 Mercer 类型) 内核与映射无关 $\phi$ ，有时可以胜过满足 Mercer 条件的传统非负定核 [Haasdonk， 2005, Luss and D’Aspremont, 2008]。
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正如备注中指出的 $4.1$ 并且将从接下来的分析中变得明显，小维度的直觉根据它 $f$ 应该是一个非递增的“有 效”Mercer函数在处理大维数据时变得毫无意义，本质上是由于”维数灾难”和高维集中现象。
为了充分把握这一方面，第一个重要的考虑因素是，如第 $1.1 .3$ 节所述，处理统计数据参数相对于维度的 “非平凡”相对增长率 $p, n$. 非平凡的意思是，设计核方法所针对的基础分类或回归问题既不应该是不可能 的，也不应该很容易解决，因为 $p, n \rightarrow \infty$. 这一要求背后的原因是根本性的，并且与机器学习中的许多 研究工作不同，这些研究工作相反，试图证明所研究的方法在大的限制下完美执行 $n$ （和 $p$ 一般固定）： 在这里，我们宁愿考虑这样一个事实，即在有限但大的情况下 $p, n$ ，具有实际意义的机器学习方法是那 些具有非凡性能的方法；因此，在接下来的内容中， “ $n, p \rightarrow \infty$ 以非平凡的增长率”应该真正理解为” $n, p$ 两者都很大，手头的问题非常容易或难以解决。”
在本节中，我们将主要关注使用核方法进行分类，因此根据数据类别（统计数据）之间“距离“的增长率给 出了重要的设置。特别是，为了确保通过内核方法解决的机器学习问题的非平凡特性，适当增长率的定 义取决于内核设计本身，而高斯内核等旗舰内核 $\kappa\left(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j\right)=\exp \left(-\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / 2 \sigma^2\right)$ 通常是次优的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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