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金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Pricing
We mentioned in Section 1.2.1 that, unless $\mu=r$, the expected value under the $s u b$ jective probability $\mathbb{P}$ of the discounted payoff of a derivative (1.23) would lead to an opportunity for arbitrage. This is closely related to the fact that the discounted price $\widetilde{X}_t=e^{-r t} X_t$ is not a martingale since, from (1.18),
$$
d \tilde{X}_t=(\mu-r) \tilde{X}_t d t+\sigma \tilde{X}_t d W_t,
$$
which contains a nonzero drift term if $\mu \neq r$.
The main result we want to build in this section is that there is a unique probability measure $\mathbb{P}^$ equivalent to $\mathbb{P}$ such that, under this probability, (i) the discounted price $\widetilde{X}_t$ is a martingale and (ii) the expected value under $\mathbb{P}^$ of the discounted payoff of a derivative gives its no-arbitrage price. Such a probability measure describing a risk-neutral world is called an equivalent martingale measure.
In order to find a probability measure under which the discounted price $\tilde{X}t$ is a martingale, we rewrite (1.43) in such a way that the drift term is “absorbed” into the martingale term: We set $$ d \widetilde{X}_t=\sigma \widetilde{X}_t\left[d W_t+\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right) d t\right] . $$ $$ \theta=\frac{\mu-r}{\sigma}, $$ called the market price of asset risk, and define $$ W_t^{\star}=W_t+\int_0^t \theta d s=W_t+\theta t, $$ so that $$ d \tilde{X}_t=\sigma \tilde{X}_t d W_t^{\star} . $$ Using the characterization (1.3), it is easy to check that the positive random variable $\xi_T^\theta$ defined by $$ \xi_T^\theta=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2} \theta^2 T\right) $$ has an expected value (with respect to $\mathbb{P}$ ) equal to 1 (the Cameron-Martin formula). More generally, it has a conditional expectation with respect to $\mathcal{F}_t$ given by $$ \mathbb{E}\left{\xi_T^\theta \mid \mathcal{F}_t\right}=\exp \left(-\theta W_t-\frac{1}{2} \theta^2 t\right)=\xi_t^\theta \quad \text { for } 0 \leq t \leq T, $$ which defines a martingale denoted by $\left(\xi_t^\theta\right){0 \leq t \leq T}$.
We now introduce the probability measure $\mathbb{P}^{\star}$. It is an equivalent measure to $\mathbb{P}$, meaning that it has the same null sets $\left(\mathbb{P}^*\right.$ and $\mathbb{P}$ agree on which events have zero probability); $\mathbb{P}^{\star}$ has the density $\xi_T^\theta$ with respect to $\mathbb{P}$,
$$
d \mathbb{P}^{\star}=\xi_T^\theta d \mathbb{P} .
$$
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Expectations and Partial Differential Equations
In Section 1.4.4 we used the Markov property of the stock price $\left(X_t\right)$ and, in order to compute $X_T$ knowing that $X_t=x$ at time $t \leq T$, we solved the stochastic differential equation (1.2) between $t$ and $T$. This was a particular case of the general situation where $\left(X_t\right)$ is the unique solution of the stochastic differential equation (1.11). We denote by $\left(X_s^{t, x}\right){s \geq t}$ the solution of that equation, starting from $x$ at time $t$ : $$ X_s^{t, x}=x+\int_t^s \mu\left(u, X_u^{t, x}\right) d u+\int_t^s \sigma\left(u, X_u^{t, x}\right) d W_u, $$ and we assume enough regularity in the coefficients $\mu$ and $\sigma$ for $\left(X_s^{t, x}\right)$ to be jointly continuous in the three variables $(t, x, s)$. The flow property for deterministic differential equations can be extended to stochastic differential equations like (1.11); it says that, in order to compute the solution at time $s>t$ starting at time 0 from point $x$, one can use $$ x \longrightarrow X_t^{0, x} \longrightarrow X_s^{1, X_t^{0, x}}=X_s^{0, x} \quad(\mathbb{P} \text {-a.s.). } $$ In other words, one can solve the equation from 0 to $t$, starting from $x$, to obtain $X_t^{0, x}$. Then we solve the equation from $t$ to $s$, starting from $X_t^{0, x}$. This is the same as solving the equation from 0 to $s$, starting from $x$. The Markov property is a consequence and can be stated as follows: $$ \mathbb{E}\left{h\left(X_s\right) \mid \mathcal{F}_1\right}=\left.\mathbb{E}\left{h\left(X_s^{t \cdot x}\right)\right}\right|{x=X_1},
$$
which is what we have used with $s=T$ to derive (1.55). Observe that the discounting factor could be pulled out of the conditional expection since the interest rate is constant (not random). In the time-homogeneous case ( $\mu$ and $\sigma$ independent of time) we further have $$
\mathbb{E}\left{h\left(X_s^{t, X}\right)\right}=\mathbb{E}\left{h\left(X_{s-t}^{0, X}\right)\right},
$$
which could have been used with $s=T$ to derive (1.57) since $W_{T-t}^*$ is $\mathcal{N}(0, T-t)$ distributed.
波动率模型代考
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Pricing
我们在 1.2.1 节中提到，除非 $\mu=r$ ，下的期望值 $s u b$ 主观概率 $\mathbb{P}$ 衍生品的贴现收益 (1.23) 将带来套利机 会。这与折扣价密切相关 $\widetilde{X}_t=e^{-r t} X_t$ 不是鞅，因为从 (1.18) 开始，
$$
d \tilde{X}_t=(\mu-r) \tilde{X}_t d t+\sigma \tilde{X}_t d W_t,
$$
其中包含一个非零漂移项如果 $\mu \neq r$.
我们要在本节中构建的主要结果是存在唯一的概率度量 $\backslash \mathrm{mathbb}{\mathrm{P}}^{\wedge}$ 相当于 $\mathbb{P}$ 这样，在这个概率下，(i) 折 扣价 $\widetilde{X}_t$ 是一个鞅，并且 (ii) 下的期望值 $\backslash m a t h b b{P} \wedge$ 傠生品的贴现收益给出了它的无套利价格。这种描述 风险中性世界的概率测度称为等价鞅测度。
为了找到折扣价格下的概率测度 $\tilde{X} t$ 是一个鞅，我们重写 (1.43) 使得漂移项被 吸收”到鞅项中：我们设置
$$
\begin{gathered}
d \widetilde{X}_t=\sigma \widetilde{X}_t\left[d W_t+\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right) d t\right] . \
\theta=\frac{\mu-r}{\sigma},
\end{gathered}
$$
称为资产风险的市场价格，定义
$$
W_t^{\star}=W_t+\int_0^t \theta d s=W_t+\theta t
$$
以便
$$
d \tilde{X}_t=\sigma \tilde{X}_t d W_t^{\star} .
$$
使用表征 (1.3)，很容易检查正随机变量 $\xi_T^\theta$ 被定义为
$$
\xi_T^\theta=\exp \left(-\theta W_T-\frac{1}{2} \theta^2 T\right)
$$
有一个期望值 (相对于 $\mathbb{P}$ ) 等于 1 (Cameron-Martin 公式)。更一般地，它对 $\mathcal{F}_t$ 由
它定义了一个鞅，表示为 $\left(\xi_t^\theta\right) 0 \leq t \leq T$.
我们现在引入概率度量 $\mathbb{P}^{\star}$. 这是一个等效的措施 $\mathbb{P}$ ，意味着它具有相同的空集 $\left(\mathbb{P}^*\right.$ 和 $\mathbb{P}$ 就哪些事件的概率为 零达成一致)； $\mathbb{P}^{\star}$ 有密度 $\xi_T^\theta$ 关于 $\mathbb{P}$ ，
$$
d \mathbb{P}^{\star}=\xi_T^\theta d \mathbb{P} .
$$
金融代写|波动率模型代写Market Volatility Modelling代考|Risk-Neutral Expectations and Partial Differential Equations
在 1.4.4 节中，我们使用了股票价格的马尔可夫属性 $\left(X_t\right)$ 并且，为了计算 $X_T$ 知道 $X_t=x$ 在时间 $t \leq T$ ，我们求解了之间的随机微分方程 (1.2) $t$ 和 $T$. 这是一般情况下的一个特例 $\left(X_t\right)$ 是随机微分方程 (1.11) 的唯一解。我们用 $\left(X_s^{t, x}\right) s \geq t$ 该方程的解，从 $x$ 在时间 $t$ :
$$
X_s^{t, x}=x+\int_t^s \mu\left(u, X_u^{t, x}\right) d u+\int_t^s \sigma\left(u, X_u^{t, x}\right) d W_u,
$$
我们假设系数有足够的规律性 $\mu$ 和 $\sigma$ 为了 $\left(X_s^{t, x}\right)$ 在三个变量中是联合连续的 $(t, x, s)$. 确定性微分方程的 流动性可以扩展到随机微分方程，如 (1.11)；它说，为了及时计算解决方案 $s>t$ 从时间 0 开始 $x$ ，可以使 用
$$
x \longrightarrow X_t^{0, x} \longrightarrow X_s^{1, X_t^{0, x}}=X_s^{0, x} \quad(\mathbb{P} \text {-a.s. }) .
$$
从 0 到 $s$ ，从…开始 $x$. 马尔可夫属性是一个结果，可以表述如下:
这是我们用过的 $s=T$ 导出 (1.55)。观察到贴现因子可以从条件预期中提取出来，因为利率是恒定的（不 是随机的）。在时间齐次的情况下 ( $\mu$ 和 $\sigma$ 独立于时间）我们进一步有
Imathbb ${E} \backslash$ eft $\left{h \backslash l\right.$ eft $\left(X_{-} s^{\wedge}{t, X} \backslash\right.$ ight $\left.) \backslash r i g h t\right}=\backslash m a t h b b{E} \backslash l$ eft $\left{h \backslash l\right.$ eft $\left(X_{-}{\right.$st $} \wedge{0, X} \backslash$ ight $) \backslash$ 正确的 $}$ ，
可以与 $s=T$ 导出 (1.57) 因为 $W_{T-t}^*$ 是 $\mathcal{N}(0, T-t)$ 分散式。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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