金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|MATH424

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期权定价理论通过分配一个价格,也就是溢价,根据计算出的合同在到期时完成货币(ITM)的概率来估计期权合同的价值。

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  • Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|MATH424

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|PAYOFFS

(i) A call option on a commodity is a contract which gives the holder of the option the right to buy a unit of the commodity for a fixed price $X$ (the strike price). The key feature of this contract is that while it confirms the right, it does not impose an obligation. If it were a contract which both allowed and obligated the option holder to buy, we would have a forward contract rather than an option. The difference is that the option holder only exercises his right if it is profitable to do so. For example, suppose an option holder has a call option with $X=\$ 10$. If the price of the commodity in the market is $\$ 12$, the option can be exercised for $\$ 10$ and the underlying commodity sold for $\$ 12$, to yield a profit of $\$ 2$; on the other hand, if the market price is $\$ 8$, the option will not be exercised.

The outcome of this type of option contract can be summarized mathematically as follows:
$$
\text { Payoff }=\max \left[0,\left(S_T-X\right)\right] \quad \text { or } \quad\left(S_T-X\right)^{+}
$$
which means that the payoff equals $S_T-X$, but only if this is positive; otherwise it is zero.
The payoff may equally be regarded as the value of the call option at exercise $C_{\text {payoff. }}$. Much of this book is dedicated to the following problem: if we know $C_{\text {payoff }}$, how can we calculate the value of the option now?

A put option gives the holder the right (hut not the ohligation) to sell a unit of a commodity for a strike price $X$. This type of option is completely analogous to the call option. The payoff (option value at exercise) can be written
$$
P_{\text {payoff }}=\max \left[0,\left(X-S_T\right)\right] \quad \text { or } \quad\left(X-S_T\right)^{+}
$$
(ii) The payoff of a call, a put and a forward contract are shown in Figure 2.1. These are the socalled “hockey-stick” diagrams which show the value at exercise or payoff of the instruments as a function of the price of the underlying commodity.
(iii) An option is an asset with value greater than or equal to zero. If we buy an option we own an asset; but someone out there has a corresponding liability. He is the option writer and is said to be short an option in the jargon of Section 1.1.

金融代写|期权理论代写Mathematical Introduction to Options代考|OPTION PRICES BEFORE MATURITY

(i) Put-Call Parity for European Options: Consider the following two portfolios:

  • A forward contract to buy one share of stock in time $T$ for a price $X$.
  • Long one call option and short one put option each on one share of stock, both with strike price $X$ and maturity $T$.

The values of the portfolios now and at maturity are shown in Table 2.1. It is clear that whatever the maturity value of the underlying stock, the two portfolios have the same payoff value. Therefore, by the no-arbitrage proposition $1.2$ (ii), the two portfolios must have the same value now. This important relationship is known as put-call parity and may be expressed as
$$
f_{0 T}=C_0(X, T)-P_0(X, T)
$$
or equivalently
$$
P_0(X, T)+S_0=C_0(X, T)+X \mathrm{e}^{-r T}
$$
If dividends are taken into account, the last equation may be written
$$
\begin{array}{lr}
P_0+\left(S_0-d \mathrm{e}^{-r \tau}\right)=C_0+X \mathrm{e}^{-r T} & \text { discrete dividend at } \tau \
P_0+S_0 \mathrm{e}^{-q T}=C_0+X \mathrm{e}^{-r T} & \text { continuous dividend rate } q
\end{array}
$$
i) Consider the value of a put option prior to expiry, if the stock price is much larger than the strike price. Clearly the value of this asset cannot be less than zero since it involves no obligation; on the other hand, its value must be very small if $S_0 \rightarrow \infty$, since the chance of its being exercised is small. The same reasoning applies to a call option for which $S_0 \rightarrow 0$. These can be summarized as
$$
\lim {S_0 \rightarrow \infty} P_0 \rightarrow 0 ; \quad \lim {S_0 \rightarrow 0} C_0 \rightarrow 0
$$
Using both these results in the put-call parity relationship of equation (2.1) gives the following general result for European options without dividends:
$$
\lim {S_0 \rightarrow \infty} C_0 \rightarrow f{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T} ; \quad \lim {S_0 \rightarrow 0} P_0 \rightarrow-f{0 T}=X \mathrm{e}^{-r T}-S_0
$$
These results are illustrated in Figure 2.3. The dotted lines and the $x$-axes provide the asymptotes for the graphs of $C_0$ and $P_0$ against $S_0$, for European options.

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期权理论代写

金融代写|期权理论代写期权数学介绍代考|收益

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一种商品的看涨期权是一种合同,它赋予期权持有者以固定价格$X$(执行价格)购买一单位商品的权利。该合同的关键特征是,虽然它确认了权利,但它不强加义务。如果这是一份既允许又有义务让期权持有者购买的合约,我们就会有远期合约而不是期权。不同之处在于,期权持有者只有在有利可图的情况下才行使自己的权利。例如,假设期权持有人拥有一个带有$X=\$ 10$的看涨期权。如果该商品在市场上的价格是$\$ 12$,则该期权可以执行$\$ 10$,而标的商品卖出$\$ 12$,获得$\$ 2$的利润;另一方面,如果市场价格为$\$ 8$,则期权将不被行权


这类期权合约的结果可以用数学方法总结如下:
$$
\text { Payoff }=\max \left[0,\left(S_T-X\right)\right] \quad \text { or } \quad\left(S_T-X\right)^{+}
$$
,这意味着收益等于$S_T-X$,但只有当它为正时;否则就是零。在执行$C_{\text {payoff. }}$时,收益可以同等地被视为看涨期权的价值。本书的大部分内容致力于解决以下问题:如果我们知道$C_{\text {payoff }}$,我们现在如何计算期权的价值?


看跌期权赋予持有者以执行价格$X$卖出一单位商品的权利(而不是义务)。这种类型的期权完全类似于看涨期权。收益(执行时的期权价值)可以写成
$$
P_{\text {payoff }}=\max \left[0,\left(X-S_T\right)\right] \quad \text { or } \quad\left(X-S_T\right)^{+}
$$
(ii)看涨、看跌和远期合约的收益如图2.1所示。这就是所谓的“曲棍球杆”图,它显示了工具的执行价值或支付作为相关商品价格的函数。如果我们买了期权,我们就拥有了资产;但有些人有相应的负债。他是期权作者,用1.1节的行话来说,他被称为做空期权

金融代写|期权理论代写期权数学介绍代考|到期前的期权价格

(i)欧洲期权的看跌期权平价:考虑以下两个组合

  • 一种及时购买一股股票的远期合约 $T$ 付出一定的代价 $X$买入一份股票的看涨期权,做空一份看跌期权,均有执行价 $X$ 成熟度 $T$.

现在和到期时的投资组合的值如表2.1所示。很明显,无论标的股票的到期价值是多少,这两个投资组合的回报价值是相同的。因此,通过无套利命题$1.2$ (ii),两个投资组合现在必须具有相同的价值。这个重要的关系被称为看跌看涨期权平价,可以表示为
$$
f_{0 T}=C_0(X, T)-P_0(X, T)
$$
或等价地
$$
P_0(X, T)+S_0=C_0(X, T)+X \mathrm{e}^{-r T}
$$
如果考虑到股息,最后一个等式可以写成
$$
\begin{array}{lr}
P_0+\left(S_0-d \mathrm{e}^{-r \tau}\right)=C_0+X \mathrm{e}^{-r T} & \text { discrete dividend at } \tau \
P_0+S_0 \mathrm{e}^{-q T}=C_0+X \mathrm{e}^{-r T} & \text { continuous dividend rate } q
\end{array}
$$
i)考虑一个看跌期权在到期前的价值,如果股票价格远远大于执行价格。显然,这种资产的价值不可能小于零,因为它不涉及任何债务;另一方面,如果$S_0 \rightarrow \infty$,它的值一定很小,因为它被执行的机会很小。同样的道理也适用于$S_0 \rightarrow 0$。这些结果可以总结为
$$
\lim {S_0 \rightarrow \infty} P_0 \rightarrow 0 ; \quad \lim {S_0 \rightarrow 0} C_0 \rightarrow 0
$$
将这两个结果应用到方程(2.1)的看跌期权-看涨期权奇偶关系中,可以得到没有分红的欧洲期权的一般结果:
$$
\lim {S_0 \rightarrow \infty} C_0 \rightarrow f{0 T}=S_0-X \mathrm{e}^{-r T} ; \quad \lim {S_0 \rightarrow 0} P_0 \rightarrow-f{0 T}=X \mathrm{e}^{-r T}-S_0
$$
这些结果在图2.3中得到了说明。虚线和$x$轴提供了$C_0$和$P_0$相对于$S_0$(欧洲期权)的图形的渐近线。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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MATLAB代写方差分析与试验设计代写
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