如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。
现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。
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数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Modular inverses via Euclid
We have seen in the previous section how modular addition and multiplication works. What about inversion and division? Do expressions like $a^{-1} \bmod m$ and $a / b \bmod m$ make sense, and if so, how can we compute their value? The following theorem gives an answer when the underlying ring $R$ is a Euclidean domain.
THEOREM 4.1.
Let $R$ be a Euclidean domain, $a, m \in R$, and $S=R / m R$. Then $a \bmod m \in S$ is a unit if and only if $\operatorname{gcd}(a, m)=1$. In this case, the modular inverse of $a \bmod m$ can be computed by means of the Extended Euclidean Algorithm.
PROOF. We have
$$
\begin{gathered}
a \text { is invertible modulo } m \Longleftrightarrow \exists s \in R \quad s a \equiv 1 \bmod m \
\quad \Longleftrightarrow \exists s, t \in R \quad s a+t m=1 \Longrightarrow \operatorname{gcd}(a, m)=1 .
\end{gathered}
$$
If, on the other hand, $\operatorname{gcd}(a, m)=1$, then the Extended Euclidean Algorithm provides such $s, t \in R$.
EXAmple 4.2. We let $R=\mathbb{Z}, m=29$, and $a=12$. Then $\operatorname{gcd}(a, m)=1$, and the Extended Euclidean Algorithm computes $5 \cdot 29+(-12) \cdot 12=1$. Thus $(-12) \cdot 12 \equiv$ $17 \cdot 12 \equiv 1 \bmod 29$, and hence 17 is the inverse of 12 modulo 29 .
EXAmple 4.3. Let $R=\mathbb{Q}[x], m=x^3-x+2$, and $a=x^2$. The last row in the Extended Euclidean Algorithm for $m$ and $a$ is
$$
\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2}\right)\left(x^3-x+2\right)+\left(-\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}\right) x^2=1,
$$
and $\left(-x^2-2 x+1\right) / 4$ is the inverse of $x^2$ modulo $x^3-x+2$.
数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Repeated squaring
An important tool for modular exponentiation is repeated squaring (or square and multiply). In fact, this technique works in any set with an associative multiplication, but we will mainly use it in residue class rings.
AlGORITHM 4.8 Repeated squaring.
Input: $a \in R$, where $R$ is a ring with 1 , and $n \in \mathbb{N}_{>0}$.
Output: $a^n \in R$.
${$ binary representation of $n}$
write $n=2^k+n_{k-1} \cdot 2^{k-1}+\cdots+n_1 \cdot 2+n_0$, with all $n_i \in{0,1}$
$$
b_k \longleftarrow a
$$
for $i=k-1, k-2, \ldots, 0$ do
$$
\text { if } n_i=1 \text { then } b_i \longleftarrow b_{i+1}^2 a \text { else } b_i \longleftarrow b_{i+1}^2
$$
return $b_0$
Correctness follows easily from the invariant $b_i=a^{\left\lfloor n / 2^i\right\rfloor}$. This procedure uses $\lfloor\log n\rfloor$ squarings plus $w(n)-1 \leq\lfloor\log n\rfloor$ multiplications in $R$, where log is the binary logarithm and $w(n)$ is the Hamming weight of the binary representation of $n$ (Chapter 7), that is, the number of ones in it. Thus the total cost is at most $2 \log n$ multiplications. For example, the binary representation of 13 is $1 \cdot 2^3+$ $1 \cdot 2^2+0 \cdot 2+1$ and has Hamming weight 3 . Thus $a^{13}$ would be computed as $\left(\left(a^2 \cdot a\right)^2\right)^2 \cdot a$, using three squarings and two multiplications. If $R=\mathbb{Z}_{17}=\mathbb{Z} /\langle 17\rangle$ and $a=8 \bmod 17$, then we compute $8^{13} \bmod 17$ as
$$
\begin{aligned}
8^{13} & \equiv\left(\left(8^2 \cdot 8\right)^2\right)^2 \cdot 8 \equiv\left((-4 \cdot 8)^2\right)^2 \cdot 8 \
& \equiv\left(2^2\right)^2 \cdot 8=4^2 \cdot 8 \equiv-1 \cdot 8=-8 \bmod 17
\end{aligned}
$$
which is much faster than first evaluating $8^{13}=549755813888$ and then dividing by 17 with remainder. This method was already used by Euler (1761). He calculated $7^{160} \bmod 641$ by computing $7^2, 7^4, 7^8, 7^{16}, 7^{32}, 7^{64}, 7^{128}, 7^{160}=7^{128} \cdot 7^{32}$, reducing modulo 641 after each step. (He also listed, unnecessarily, $7^3$.) As another example, starting from $2^{2^3}=2^8=256$, we only need two squarings modulo $5 \cdot 2^7+1=641$ to calculate $\left(\left(2^8\right)^2\right)^2=2^{2^5} \equiv-1 \bmod 641$. This shows that 641 divides the fifth Fermat number $F_5=2^{2^5}+1$, as discovered by Euler (1732/33); see Sections 18.2 and 19.1. Even if we were given the 10 -digit number $2^{2^5}+1=$ 4294967297 , it would seem more laborious to divide it by 641 with remainder rather than to use modular repeated squaring.
现代代数代考
数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Modular inverses via Euclid
在前一节中，我们已经看到了模块化加法和乘法是如何工作的。反转和除法呢?像$a^{-1} \bmod m$和$a / b \bmod m$这样的表达式有意义吗?如果有意义，我们如何计算它们的值?下面的定理给出了当下面的环$R$是欧几里得域时的答案。
定理4.1。
设$R$为欧几里得域，$a, m \in R$和$S=R / m R$。那么$a \bmod m \in S$是一个单位当且仅当$\operatorname{gcd}(a, m)=1$。在这种情况下，可以通过扩展欧几里得算法计算$a \bmod m$的模逆。
证明。我们有
$$
\begin{gathered}
a \text { is invertible modulo } m \Longleftrightarrow \exists s \in R \quad s a \equiv 1 \bmod m \
\quad \Longleftrightarrow \exists s, t \in R \quad s a+t m=1 \Longrightarrow \operatorname{gcd}(a, m)=1 .
\end{gathered}
$$
另一方面，如果$\operatorname{gcd}(a, m)=1$，那么扩展欧几里得算法提供了这样的$s, t \in R$。
例4.2。我们让$R=\mathbb{Z}, m=29$和$a=12$。然后$\operatorname{gcd}(a, m)=1$，扩展欧几里得算法计算$5 \cdot 29+(-12) \cdot 12=1$。因此$(-12) \cdot 12 \equiv$$17 \cdot 12 \equiv 1 \bmod 29$，因此17是12模29的倒数。
例4.3。设$R=\mathbb{Q}[x], m=x^3-x+2$和$a=x^2$。扩展欧几里得算法中$m$和$a$的最后一行是
$$
\left(\frac{1}{4} x+\frac{1}{2}\right)\left(x^3-x+2\right)+\left(-\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}\right) x^2=1,
$$
$\left(-x^2-2 x+1\right) / 4$是$x^2$模$x^3-x+2$的倒数。
数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Repeated squaring
模求幂的一个重要工具是重复平方(或平方乘以)。实际上，这种技术适用于任何具有关联乘法的集合，但我们主要在剩余类环中使用它。
4.8重复平方。
输入:$a \in R$，其中$R$是一个带1的环，$n \in \mathbb{N}_{>0}$。
输出:$a^n \in R$。
${$$n}$的二进制表示
写$n=2^k+n_{k-1} \cdot 2^{k-1}+\cdots+n_1 \cdot 2+n_0$，用所有 $n_i \in{0,1}$
$$
b_k \longleftarrow a
$$
对于$i=k-1, k-2, \ldots, 0$ do
$$
\text { if } n_i=1 \text { then } b_i \longleftarrow b_{i+1}^2 a \text { else } b_i \longleftarrow b_{i+1}^2
$$
返回$b_0$
正确性很容易从不变量$b_i=a^{\left\lfloor n / 2^i\right\rfloor}$得到。这个过程在$R$中使用$\lfloor\log n\rfloor$平方加上$w(n)-1 \leq\lfloor\log n\rfloor$乘法，其中log是二进制对数，$w(n)$是$n$二进制表示的汉明权重(第七章)，即其中的1的个数。因此，总成本最多为$2 \log n$次乘法。例如，13的二进制表示为$1 \cdot 2^3+$$1 \cdot 2^2+0 \cdot 2+1$，其汉明权值为3。因此，使用三次平方和两次乘法，$a^{13}$将被计算为$\left(\left(a^2 \cdot a\right)^2\right)^2 \cdot a$。如果$R=\mathbb{Z}_{17}=\mathbb{Z} /\langle 17\rangle$和$a=8 \bmod 17$，那么我们计算$8^{13} \bmod 17$等于
$$
\begin{aligned}
8^{13} & \equiv\left(\left(8^2 \cdot 8\right)^2\right)^2 \cdot 8 \equiv\left((-4 \cdot 8)^2\right)^2 \cdot 8 \
& \equiv\left(2^2\right)^2 \cdot 8=4^2 \cdot 8 \equiv-1 \cdot 8=-8 \bmod 17
\end{aligned}
$$
这比先求$8^{13}=549755813888$然后除以17余数要快得多。欧拉(1761)已经使用了这种方法。他通过计算$7^2, 7^4, 7^8, 7^{16}, 7^{32}, 7^{64}, 7^{128}, 7^{160}=7^{128} \cdot 7^{32}$来计算$7^{160} \bmod 641$，每一步减少模数641。(他还不必要地列出了$7^3$。)作为另一个例子，从$2^{2^3}=2^8=256$开始，我们只需要两次对$5 \cdot 2^7+1=641$取模来计算$\left(\left(2^8\right)^2\right)^2=2^{2^5} \equiv-1 \bmod 641$。这表明欧拉(1732/33)发现的第五个费马数$F_5=2^{2^5}+1$可以被641整除;参见18.2节和19.1节。即使我们得到10位数$2^{2^5}+1=$ 4294967297，用它除以带余数的641似乎比使用模重复平方更费力。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。