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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quadratic Convergence of Newton’s Method
Newton’s method generates, under appropriate conditions, a sequence $\left{x_n\right}_{n=0}^{\infty}$ with the property that $x_n$ tends to a zero $x^$ of the function $f$ as $n \rightarrow \infty$. But this is a theoretical result; will it still hold true on a computer, with finite precision arithmetic and a finite amount of time? The finite precision arithmetic is not so much of an issue with Newton’s method, since if we are in the interval in which convergence is guaranteed, a small round-off error will likely leave us in that interval and convergence is still assured from that point. What we need is a convergence criterion (or stopping criterion) for the method, so that we know how to choose an $n$ sufficiently large that $x_n$ is approximately equal to the limit $x^$ of the sequence. For bisection this was easily handled, since the width of the current bracket was a measure of the uncertainty in our knowledge of the root. More generally, we define the absolute error in an approximation $x_n$ to a (typically unknown) true value $x^$ to be the quantity $$ \alpha=\left|x^-x_n\right|
$$
and we define the relative error in $x_n$ as an approximation to $x^*$ to be the quantity $$
\rho=\left|x^-x_n\right| /\left|x^\right|
$$
if $x^$ is nonzero. This may be a more useful measure of the error when $\left|x^\right|$ is far from unity, since it’s generally unreasonable to ask for an absolute error of $10^{-8}$ when the answer is on the order of millions, for example. If $\rho$ is about $10^{-k}$ then the computed value $x_n$ is correct to about $k$ decimal places.
For the secant method and Newton’s method we do not have a bracket and so we cannot estimate $\alpha$ or $\rho$ with certainty. Ideally we would like to terminate the algorithm when $\alpha$ (or $\rho$ ) is less than some tolerance $\tau$ (say, relative error of no more than $1 \%$, that is, $\rho=.01$. It is tempting to use the residual error $\left|f\left(x_n\right)\right|$ as that is already computed by the algorithm,
$$
\left|f\left(x_n\right)\right|<\tau
$$
but it is possible for this to be small even though $x$ is far from $x^$ (see Fig. 1, where $x^=6$ ). Because of this the criterion $|f(x)|<\tau$ should be used only in conjunction with at least one other criterion, or when there is sufficient knowledge of the $f$ in question to be sure that this is a safe convergence criterion.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Modifications of Newton’s Method
Although we could construct a method with order of convergence higher than that of Newton’s method, it’s usually pointless to do so. Once Newton’s method gets a few decimal places of accuracy it will only take a small number of additional iterations to get all the accuracy one might need. Even if the asymptotic error constant $M$ is large, Newton’s method is still as fast as one is likely to need a method to be to solve nonlinear equations in one variable in a practical situation. Of course, it could take a long time for the method to get this close to the solution, but Newton’s method is an extraordinarily robust root-finder.
However, note that bisection, inverse linear interpolation, and the secant method each require us to compute a single new value of $f(x)$ each iteration, whereas Newton’s method requires both a new value of $f(x)$ and a new value of $f^{\prime}(x)$. Typically the computation of $f(x)$ (and $f^{\prime}(x)$ ) is the most time-consuming step, by far, of any of these methods, and the time required for the other arithmetic operations performed in combining those values is negligible. If this is not the case-if $f(x)$ is cheap (in terms of computation time) to evaluate-virtually any method will be acceptable. But is not uncommon for values of $f(x)$ to be computed by another program, that could easily take as much as several minutes to solve an ODE or PDE numerically or to perform a simulation in order to produce a single value of $f(x)$. When $f(x)$ is expensive to compute, Newton’s method might be less attractive than a method that uses more iterations but for which the total number of function evaluations required to achieve a desired tolerance is smaller overall. Focusing only on number of iterations, as we have thus far, can be misleading! A method that converges of order 3 or higher will typically require higher-order derivatives and will use more function evaluations per iteration. This means that such a method often is not actually an improvement over Newton’s method in terms of run-time, even though it would use fewer iterations. Additionally such methods are usually more difficult to code.
Newton’s method has other advantages. One which we will not pursue here that if $x_0$ is complex then Newton’s method can converge to complex roots of $f(x)=0$, which can be useful when such roots are desired. One of the biggest advantages of Newton’s method is that it generalizes in a natural way to nonlinear systems of equations. If we must solve a nonlinear system such as
$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=0 \
& g(x, y)=0
\end{aligned}
$$
for a simultaneous root $\left(x^, y^\right)$ of $f$ and $g$, then attempting to bracket it is going to be quite difficult, but Newton’s method (using partial derivatives with respect to $x$ and $y$ ) works fine. While there are many choices for a one-dimensional (that is, single variable) zero-finding algorithm, in several dimensions a nonlinear rootfinding problem is typically solved by some variant of Newton’s method. For this reason we will now discuss several such variants. You should bear in mind that the real need for, and advantages of, these variants are most apparent in the several variables case (discussed later in the text).
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Quadratic Convergence of Newton’s Method
$n \rightarrow \infty$. 但这是理论上的结果；它在计算机上是否仍然适用，具有有限精度的算法和有限的时间? 有 限精度算法对于牛顿法来说并不是什么大问题，因为如果我们处于保证收敛的区间内，一个小的舍入误 差可能会使我们留在该区间内，并且从该点开始仍然可以保证收敛。我们需要的是该方法的收敛准则 (或停止准则)，以便我们知道如何选择一个 $n$ 足够大 $x_n$ 约等于极限 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 的顺序。对于二分法，这很容 易处理，因为当前括号的宽度是我们对根知识的不确定性的度量。更一般地，我们在近似中定义绝对误 差 $x_n$ 到一个 (通常末知的) 真值 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是数量
$$
\alpha=\left|x^{-} x_n\right|
$$
我们定义相对误差 $x_n$ 作为近似值 $x^*$ 是数量
如果 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是非零的。这可能是一个更有用的错误衡量标准 是不合理的 $10^{-8}$ 例如，当答案大约为数百万时。如果 $\rho$ 是关于 $10^{-k}$ 然后是计算值 $x_n$ 大约是正确的 $k$ 小 数位。
对于割线法和牛顿法，我们没有括号，所以我们无法估计 $\alpha$ 或者 $\rho$ 确定无疑。理想情况下，我们布望在 以下情况下终止算法 $\alpha$ (或者 $\rho$ ) 小于一定公差 $\tau$ (比如说，相对误差不超过 $1 \%$ ，那是， $\rho=.01$. 使用 残差很诱人 $\left|f\left(x_n\right)\right|$ 因为已经由算法计算，
$$
\left|f\left(x_n\right)\right|<\tau
$$
但它有可能很小，即使 $x$ 远缡 $\mathrm{x}^{\wedge}$ (见图 1，其中 $x^{=}=6$ ). 因为这个标准 $|f(x)|<\tau$ 应仅与至少一项其他 标准结合使用，或者在充分了解 $f$ 有问题以确保这是一个安全的收敛标准。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Modifications of Newton’s Method
虽然我们可以构造一个收敛阶数高于牛顿法的方法，但这样做通常毫无意义。一旦牛顿法获得了小数点 后几位的精度，它只需要少量的额外迭代就可以获得可能需要的所有精度。即使渐近误差常数 $M$ 很 大，但牛顿法仍然像在实际情况下可能需要一种方法来求解一个变量的非线性方程一样快。当然，该方 法可能需要很长时间才能接近解，但牛顿法是一种非常强大的求根方法。
但是，请注意二分法、逆线性揷值法和正割法都需要我们计算一个新的值 $f(x)$ 每次迭代，而牛顿法都 需要一个新值 $f(x)$ 和一个新的价值 $f^{\prime}(x)$. 通常计算 $f(x)$ （和 $\left.f^{\prime}(x)\right)$ 是迄今为止所有这些方法中最耗 时的步㡜，并且在组合这些值时执行的其他算术运算所需的时间可以忽略不计。如果不是这样一一如果 $f(x)$ 评估成本低 (就计算时间而言) ――几乎任何方法都可以接受。但对于值的情况并不少见 $f(x)$ 由 另一个程序计算，这可能很容易花费几分钟来以数值方式求解 ODE 或 PDE 或执行模拟以产生单个值 $f(x)$. 什么时候 $f(x)$ 由于计算成本高昂，牛顿法可能不如使用更多迭代但实现所需容差所需的函数评 估总数总体较小的方法更具吸引力。到目前为止，只关注迭代次数可能会产生误导! 收敛 3 阶或更高 阶的方法通常需要更高阶的导数，并且每次迭代将使用更多的函数评估。这意味着这种方法在运行时间 方面通常并不是对牛顿方法的改进，尽管它会使用更少的迭代次数。此外，此类方法通常更难编码。
牛顿法还有其他优点。我们不会在这里追求的一个，如果 $x_0$ 是复杂的，那么牛顿法可以收敛到复根 $f(x)=0$ ，这在需要这样的根时很有用。牛顿法的最大优点之一是它可以自然地推广到非线性方程 组。如果我们必须求解一个非线性系统，例如
$$
f(x, y)=0 \quad g(x, y)=0
$$
作正常。虽然一维 (即单变量) 找零算法有多种选择，但在多个维度上，非线性求根问题通常通过牛顿 法的某些变体来解决。出于这个原因，我们现在将讨论几个这样的变体。您应该记住，这些变体的真正 需要和优势在多变量情况下最为明显 (稍后在文本中讨论)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。