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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Lagrange-Relaxierungen
Wir gehen im Folgenden davon aus, dass das zu lösende Problem in der Form
$$
P: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } A x \leq b, D x \leq d, \quad x \in \mathbb{N}0^n $$ gegeben ist, wobei $D$ über $p$ Zeilen verfügt und $d \in \mathbb{R}^p$ gilt. Weiter setzen wir voraus, dass das hiermit in Verbindung stehende Problem $$ \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \in \mathbb{N}_0^n $$ leicht zu lösen ist. Ein Beispiel für eine solche Beziehung zwischen zwei Problemen stellt das Traveling Salesman Problem in Verbindung mit dem zugehörigen Problem ohne Kurzzyklenbedingungen dar. Das ganzzahlige Problem $$ P{L R}(u): \quad \max c^{\top} x \mid u^{\top}(d \quad D x) \text { o.t. } \quad A x \subseteq b, \quad x \subset \mathbb{N}0^n $$ mit $u \geq 0$ nennt man Lagrange-Relaxierung von $P$ bezüglich $u=\left(u_1, \ldots, u_p\right)^{\top}$. Die einzelnen Komponenten $u_1, \ldots, u_p$ von $u$ bezeichnet man als LagrangeMultiplikatoren (vgl. Abschnitt 7.3). Das Problem $P{L R}(u)$ stellt offensichtlich eine Relaxierung von $P$ dar. Für den optimalen Zielfunktionswert $z_{L R}(u)$ von $P_{L R}(u)$ gilt dann $z_{L R}(u) \geq z_P$ für alle $u \geq 0$, d.h. $z_{L R}(u)$ ist eine obere Schranke für den optimalen Zielfunktionswert $z_P$ von $P$.
Um die beste, d.h. kleinste obere Schranke für $P$ zu finden, muss das sogenannte Lagrange-Dual
$$
L D: \quad \min z_{L R}(u) \quad \text { s.t. } \quad u \geq 0
$$
gelöst werden. Für den optimalen Zielfunktionswert $w_{L D}$ von $L D$ gilt somit $w_{L D} \geq$ $c^{\top} x$ für alle in $P$ zulässigen Punkte $x$.
Das nächste ausführliche Beispiel zeigt am Traveling Salesman Problem den Einsatz der Lagrange-Relaxierung. Man beachte jedoch, dass das Ausgangsproblem dabei ein Minimierungsproblem ist und mit dem Lagrange-Dual deshalb eine größtmögliche untere Schranke bestimmt werden soll.
Beispiel $6.11$ (Lagrange-Relaxierung für das Traveling Salesman Problem).
Zunächst überlegen wir uns eine alternative Formulierung des symmetrischen Traveling Salesman Problems auf einem ungerichteten Graphen $G=[V, E, d]$. In diesem ist jede Rundreise zugleich ein 1-Baum von $G$ (s. Abb. $6.6$ a)), umgekehrt ist aber nicht jeder 1-Baum von $G$ zugleich eine zulässige Rundreise (s. Abb. $6.6$ b)).
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Einführung und Beispiele
Während in linearen Optimierungsproblemen die Zielfunktion und alle Nebenbedingungen durch lineare Funktionen modelliert werden, treten in vielen praktischen Anwendungen Nichtlinearitäten auf, durch die eine Darstellung als lineares Optimierungsproblem unmöglich wird. Beispielsweise entsteht beim Goal Programming (Abschnitt 2.3.4) bei Wahl der Abstandsfunktion mit $q=2$ eine nichtlineare Zielfunktion, und auch das quadratische Zuordnungsproblem (Beispiel 5.4) besitzt eine nichtlineare Zielfunktion. Das letztere Beispiel unterscheidet sich von der in Kapitel 1 betrachteten linearen Optimierung sogar nicht nur durch das Auftreten von Nichtlinearitäten, sondern auch durch die Anwesenheit ganzzahliger Variablen. Für solche nichtlinearen ganzzahligen Optimierungsprobleme existieren nur in speziellen Fällen effiziente Lösungsansätze, so dass wir sie im Folgenden nicht weiter betrachten werden und auf die weiterführende Literatur verweisen ([16, 37]). Gegenstand des Kapitels 7 sind stattdessen nichtlineare kontinuierliche Optimierungsprobleme. Vertiefende Literaturstellen zu diesem Gebiet sind beispielsweise $[1,3,21,28,29,39,49,50]$.
Nichtlineare Probleme treten oft schon dann in natürlicher Weise auf, wenn durch lineare Optimierungsprobleme modellierte Anwendungen praxisnäher beschrieben werden. Beispielsweise besitzen Kostenfunktionen selten die lineare Struktur, wie sie unter anderem in den Transportproblemen aus Abschnitt $2.4$ vorausgesetzt werden. Etwa treten bei der realistischeren Annahme ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen sogenannte Bündelungseffekte auf, durch die sich der Transport größerer Mengen über wenige Transportwege gegenüber dem Transport kleinerer Mengen über viele Transportwege als kostengünstiger erweist.
Die folgenden Beispiele zeigen einige weitere Zusammenhänge auf, in denen nichtlineare kontinuierliche Optimierungsprobleme auftreten.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Lagrange-Relaxierungen
下面我们假设要解决的问题的形式是
$$
P: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } A x \leq b, D x \leq d, \quad x \in \mathbb{N} 0^n
$$
给出，其中 $D$ 以上 $p$ 线条特征和 $d \in \mathbb{R}^p$ 适用。我们进一步假设相关问题
$$
\max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \in \mathbb{N}0^n $$ 很容易解决。两个问题之间这种关系的一个例子是旅行商问题和没有短周期约束的相关问题。整数问题 $$ P L R(u): \quad \max c^{\top} x \mid u^{\top}(d \quad D x) \text { o.t. } \quad A x \subseteq b, \quad x \subset \mathbb{N} 0^n $$ 和 $u \geq 0$ 称为拉格朗日松地 $P$ 参考 $u=\left(u_1, \ldots, u_p\right)^{\top}$. 各个组件 $u_1, \ldots, u_p$ 从 $u$ 被称为拉格朗日乘数 (参见第 $7.3$ 节) 。问题 $P L R(u)$ 明显代表放松 $P$ 表示. 对于最优目标函数值 $z{L R}(u)$ 从 $P_{L R}(u)$ 然后应用 $z_{L R}(u) \geq z_P$ 对所有人 $u \geq 0$, 啊 $z_{L R}(u)$ 是目标函数最优值的上限 $z_P$ 从 $P$.
找到最好的，即最小的上界 $P$ 找到所谓的拉格朗日对偶
$$
L D: \quad \min z_{L R}(u) \quad \text { s.t. } \quad u \geq 0
$$
得到解决。对于最优目标函数值 $w_{L D}$ 从 $L D$ 因此适用 $w_{L D} \geq c^{\top} x$ 对于所有在 $P$ 允许点数 $x$.
下一个详细示例展示了在旅行商问题上使用拉格朗日松他。然而，应该注意的是，初始问题是一个最小化 问题，因此应该使用拉格朗日对偶来确定最大可能的下界。
例子6.11 (旅行商问题的拉格朗日松弛)。
首先，我们考虑无向图上对称旅行商问题的替代公式 $G=[V, E, d]$. 在此，每次往返也是一棵树 $G(\mathrm{~s}$. Abb.6.6a)), 但并不是每个 1-tree 都是相反的 $G$ 同时进行允许的往返行程 (见图 1)。6.6b)).
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Einführung und Beispiele
虽然在线性优化问题中，目标函数和所有约束都由线性函数建模，但在许多实际应用中会出现非线性，使得无法表示为线性优化问题。例如，在目标规划（第 2.3.4 节）中，距离函数的选择也会导致q=2具有非线性目标函数，二次分配问题（例 5.4）也具有非线性目标函数。后一个示例与第 1 章中考虑的线性优化的不同之处不仅在于非线性的出现，还在于整数变量的存在。对于此类非线性整数优化问题，有效的求解方法只存在于特殊情况下，因此我们在下文中不再考虑它们并参考进一步的文献（[16, 37]）。相反，第 7 章处理非线性连续优化问题。例如，对该领域的深入参考[1,3,21,28,29,39,49,50].
当用线性优化问题建模的应用程序被更实际地描述时，非线性问题通常会自然发生。例如，成本函数很少具有线性结构，例如在第2.4假设。例如，随着收入法成本函数的更现实假设，所谓的捆绑效应发生，这使得通过几条运输路线运输大量货物比通过多条运输路线运输少量货物更具成本效益。
以下示例显示了发生非线性连续优化问题的其他一些上下文。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。