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物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The photon propagator
In order to calculate anything with a photon, we are going to need to know its propagator $\Pi^{\mu \nu}$, defined by
$$
\left\langle 0\left|T\left{A^\mu(x) A^\nu(y)\right}\right| 0\right\rangle=i \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4} e^{i p(x-y)} \Pi^{\mu \nu}(p),
$$
evaluated in the free theory. The easiest way to calculate the propagator is to solve for the classical Green’s function and then add the time ordering with the $i \varepsilon$ prescription, as for a scalar.
Let us first try to calculate the classical Green’s function by using the equations of motion, without choosing a gauge. In the presence of a current, the equations of motion following from $\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2-A_\mu J_\mu$ are
$$
\partial_\mu F_{\mu \nu}=J_\nu,
$$
so
$$
\partial_\mu \partial_\mu A_\nu-\partial_\mu \partial_\nu A_\mu=J_\nu
$$
or in momentum space,
$$
\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right) A_\mu=J_\nu
$$
We would like to write $A_\mu=\Pi_{\mu \nu} J_\nu$, so that $\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right) \Pi_{\nu \alpha}=g_{\mu \alpha}$. That is, we want to invert the kinetic term. The problem is that
$$
\operatorname{det}\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right)=0
$$
which follows since $-p^2 g_{\mu \nu}+p_\nu p_\mu$ has a zero eigenvalue, with eigenvector $p_\mu$. Because it has a zero eigenvalue, the kinetic term cannot be invertible, just as for a finite-dimensional linear operator. The non-invertibility is a manifestation of gauge invariance: $A_\mu$ is not uniquely determined by $J_\mu$; different gauges will give different values for $A_\mu$ from the same $J_\mu$.
So what do we do? We could try to just choose a gauge, for example $\partial_\mu A_\mu=0$. This would reduce the Lagrangian to
$$
-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} \rightarrow \frac{1}{2} A_\mu \square A_\mu .
$$
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Covariant gauges
In the covariant gauges, each choice of $\xi$ gives a different Lorentz-invariant gauge. Some useful gauges are:
- Feynman-‘t Hooft gauge $\xi=1$ :
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=\frac{-i g^{\mu \nu}}{p^2+i \varepsilon}
$$
This is the gauge we will use for most calculations. - Lorenz gauge $\xi=0$ :
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=-i \frac{g^{\mu \nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2+i \varepsilon} .
$$
We saw that $\xi \rightarrow 0$ forces $\partial_\mu A_\mu=0$. Note that we could not set $\xi=0$ and then invert the kinetic term, but we can invert and then set $\xi=0$. - Unitary gauge $\xi \rightarrow \infty$. This gauge is useless for $\mathrm{QED}$, since the propagator blows up. But it is extremely useful for the gauge theory of the weak interactions.
Other non-covariant gauges are occasionally useful. Lightcone gauge, with $n_\mu A_\mu=0$ for some fixed lightlike 4-vector $n_\mu$ is occasionally handy if there is a preferred direction. For example, in situations with multiple collinear fields, such as the quarks inside a fastmoving proton, lightcone gauge is useful (see Section 32.5 and Chapter 36). Coulomb gauge, $\nabla \cdot A=0$, and radial or Fock-Schwinger gauge, $x_\mu A_\mu(x)=0$, also facilitate some calculations. For QED we will stick to covariant gauges.
The final answer for any Lorentz-invariant quantity had better be gauge invariant. In covariant gauges,
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=\frac{-i}{p^2+i \varepsilon}\left[g^{\mu \nu}-(1-\xi) \frac{p^\mu p^\nu}{p^2}\right] .
$$
This means the final answer should be independent of $\xi$. Thus, whatever we contract $\Pi_{\mu \nu}$ with should give 0 if $\Pi_{\mu \nu} \propto p_\mu p_\nu$. This is very similar to the requirement of the Ward identities, which say that the matrix elements vanish if the physical external polarization is replaced by $\epsilon_\mu \rightarrow p_\mu$. We will sketch a diagrammatic proof of gauge invariance in the next chapter, and give a full non-perturbative proof of both gauge invariance and the Ward identity in Chapter 14 on path integrals.
量子场论代考
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|The photon propagator
为了计算任何有光子的东西，我们需要知道它的传播子$\Pi^{\mu \nu}$，定义为
$$
\left\langle 0\left|T\left{A^\mu(x) A^\nu(y)\right}\right| 0\right\rangle=i \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4} e^{i p(x-y)} \Pi^{\mu \nu}(p),
$$
用自由理论计算。计算传播子最简单的方法是求解经典格林函数，然后将时间排序与$i \varepsilon$处方相加，就像标量一样。
让我们先试着用运动方程计算经典格林函数，而不选择规范。在有电流的情况下，由$\mathcal{L}=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu}^2-A_\mu J_\mu$推导出的运动方程为
$$
\partial_\mu F_{\mu \nu}=J_\nu,
$$
所以
$$
\partial_\mu \partial_\mu A_\nu-\partial_\mu \partial_\nu A_\mu=J_\nu
$$
或者在动量空间中，
$$
\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right) A_\mu=J_\nu
$$
我们想写$A_\mu=\Pi_{\mu \nu} J_\nu$，所以$\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right) \Pi_{\nu \alpha}=g_{\mu \alpha}$。也就是说，我们要反转动能项。问题是
$$
\operatorname{det}\left(-p^2 g_{\mu \nu}+p_\mu p_\nu\right)=0
$$
因为$-p^2 g_{\mu \nu}+p_\nu p_\mu$的特征值为零，特征向量为$p_\mu$。因为它有一个零特征值，动力学项不可能是可逆的，就像有限维线性算子一样。不可逆性是规范不变性的一种表现:$A_\mu$不是唯一由$J_\mu$决定的;不同的量规对相同的$J_\mu$给出不同的$A_\mu$值。
那么我们该怎么办呢?我们可以试着选择一个量规，例如$\partial_\mu A_\mu=0$。这将使拉格朗日量约为
$$
-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} \rightarrow \frac{1}{2} A_\mu \square A_\mu .
$$
物理代写|量子场论代写Quantum field theory代考|Covariant gauges
在协变量规中，每次选择$\xi$都会得到不同的洛伦兹不变量规。一些有用的仪表有:
Feynman-‘t Hooft gauge $\xi=1$:
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=\frac{-i g^{\mu \nu}}{p^2+i \varepsilon}
$$
这是我们将用于大多数计算的量规。
洛伦兹规$\xi=0$:
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=-i \frac{g^{\mu \nu}-\frac{p^\mu p^\nu}{p^2}}{p^2+i \varepsilon} .
$$
我们看到$\xi \rightarrow 0$力$\partial_\mu A_\mu=0$。注意，我们不能设置$\xi=0$，然后反转动力学项，但我们可以反转，然后设置$\xi=0$。
酉规$\xi \rightarrow \infty$。这个量规对于$\mathrm{QED}$是无用的，因为传播器爆炸了。但它对弱相互作用的规范理论非常有用。
其他非协变量规偶尔也有用。光锥规，$n_\mu A_\mu=0$对于一些固定的类似光的4向量$n_\mu$偶尔是方便的，如果有一个首选的方向。例如，在多重共线场的情况下，比如快速运动的质子内部的夸克，光锥规是有用的(参见第32.5节和第36章)。库仑规，$\nabla \cdot A=0$和径向或福克-施温格规，$x_\mu A_\mu(x)=0$，也便于一些计算。对于QED，我们将坚持协变量规。
任何洛伦兹不变量的最终答案最好是规范不变量。协变量规中，
$$
i \Pi^{\mu \nu}(p)=\frac{-i}{p^2+i \varepsilon}\left[g^{\mu \nu}-(1-\xi) \frac{p^\mu p^\nu}{p^2}\right] .
$$
这意味着最终答案应该与$\xi$无关。因此，无论我们与$\Pi_{\mu \nu}$缩并什么，如果$\Pi_{\mu \nu} \propto p_\mu p_\nu$，结果都应该是0。这与Ward恒等式的要求非常相似，Ward恒等式说，如果物理外部极化被$\epsilon_\mu \rightarrow p_\mu$取代，矩阵元素就会消失。我们将在下一章中给出规范不变性的图解证明，并在第十四章中给出规范不变性和Ward恒等式的完整的非微扰证明。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。