### 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH1001

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Extended Real-Valued Functions

A function that maps a set $X$ into the real line $\mathbb{R}$ is called a real-valued function, and a function that maps $X$ into the extended real line $[-\infty, \infty]$ is an extended real-valued function. Every real-valued function is extended real-valued, but an extended real-valued function need not be real-valued. An extended real-valued function $f$ is nonnegative if $f(x) \geq 0$ for every $x$.
Let $f: X \rightarrow[-\infty, \infty]$ be an extended real-valued function. We associate to $f$ the two extended real-valued functions $f^{+}$and $f^{-}$defined by
$$f^{+}(x)=\max {f(x), 0} \quad \text { and } \quad f^{-}(x)=\max {-f(x), 0} .$$
We call $f^{+}$the positive part and $f^{-}$the negative part of $f$. They are each nonnegative extended real-valued functions, and for every $x$ we have
$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x) \quad \text { and } \quad|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x) .$$
Given $f: X \rightarrow[-\infty, \infty]$, to avoid multiplicities of parentheses, brackets, and braces, we often write $f^{-1}(a, b)=f^{-1}((a, b)), f^{-1}[a, \infty)=f^{-1}([a, \infty))$, and so forth. We also use shorthands such as
\begin{aligned} {f \geq a} & ={x \in X: f(x) \geq a}, \ {f=a} & ={x \in X: f(x)=a}, \ {a<f<b} & ={x \in X: a<f(x)<b}, \ {f \geq g} & ={x \in X: f(x) \geq g(x)}, \end{aligned}
and so forth.
If $f: S \rightarrow[-\infty, \infty]$ is an extended real-valued function on a domain $S \subseteq \mathbb{R}$, then $f$ is monotone increasing on $S$ if for all $x, y \in S$ we have
$$x \leq y \quad \Longrightarrow \quad f(x) \leq f(y) .$$
We say that $f$ is strictly increasing on $S$ if for all $x, y \in S$,$$x<y \Longrightarrow f(x)<f(y) .$$
Monotone decreasing and strictly decreasing functions are defined similarly.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Notation for Extended Real-Valued

A function of the form $f: X \rightarrow \mathbb{C}$ is said to be complex-valued. We have the inclusions $\mathbb{R} \subseteq[-\infty, \infty]$ and $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, so every real-valued function is both an extended real-valued and a complex-valued function. However, neither $[-\infty, \infty]$ nor $\mathbb{C}$ is a subset of the other, so an extended real-valued function need not be a complex-valued function, and a complex-valued function need not be an extended real-valued function. Hence there are usually two separate cases that we need to consider:

• extended real-valued functions of the form $f: X \rightarrow[-\infty, \infty]$, and
• complex-valued functions of the form $f: X \rightarrow \mathbb{C}$.
To consider both cases together, we use the notation $\overline{\mathbf{F}}$ introduced earlier, which stands for a choice of either the extended real line $[-\infty, \infty]$ or the complex plane $\mathbb{C}$. Thus, if we write $f: X \rightarrow \overline{\mathbf{F}}$ then we mean that $f$ could either be an extended real-valued function or a complex-valued function on the domain $X$. Both possibilities include real-valued functions as a special case. As we declared earlier that, the word scalar means a finite real number (if $\overline{\mathbf{F}}=[-\infty, \infty]$ ) or a complex number (if $\overline{\mathbf{F}}=\mathbb{C}$ ). Thus, a scalar-valued function cannot take the values $\pm \infty$.

A set of real numbers $S$ is bounded above if there exists a real number $M$ such that $x \leq M$ for every $x \in S$. Any such number $M$ is called an upper bound for $S$. The definition of bounded below is similar, and we say that $S$ is bounded if it is bounded both above and below.
A number $x \in \mathbb{R}$ is the supremum, or least upper bound, of $S$ if

• $x$ is an upper bound for $S$, and
• if $y$ is any upper bound for $S$, then $x \leq y$.
We denote the supremum of $S$, if one exists, by $x=\sup (S)$. The infimum, or greatest lower bound, of $S$ is defined in an entirely analogous manner, and is denoted by $\inf (S)$

It is not obvious that every set that is bounded above has a supremum. We take the existence of suprema as the following axiom.

# 实分析代写

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Extended Real-Valued Functions

$$f^{+}(x)=\max f(x), 0 \quad \text { and } \quad f^{-}(x)=\max -f(x), 0 .$$

$$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x) \quad \text { and } \quad|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x) .$$

$f^{-1}(a, b)=f^{-1}((a, b)), f^{-1}[a, \infty)=f^{-1}([a, \infty))$ ，等等。我们还使用简写形式，例如
$$f \geq a=x \in X: f(x) \geq a, f=a \quad=x \in X: f(x)=a, a<f<b=x \in X: a<f(x)$$

$$x \leq y \quad \Longrightarrow \quad f(x) \leq f(y) .$$

$$x<y \Longrightarrow f(x)<f(y) .$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Notation for Extended Real-Valued

• 形式的扩展实值函数 $f: X \rightarrow[-\infty, \infty]$ ，和
• 形式的复值函数 $f: X \rightarrow \mathbb{C}$.
为了同时考虑这两种情况，我们使用符号 $\overline{\mathbf{F}}$ 前面介绍过，代表选择扩展实线 $[-\infty, \infty]$ 或复平面 $\mathbb{C}$. 因此，如果我们写 $f: X \rightarrow \overline{\mathbf{F}}$ 那么我们的意思是 $f$ 可以是域上的扩展实值函数或复值函数 $X$. 两种 可能性都包括作为特例的实值函数。正如我们之前声明的那样，标量这个词意味着一个有限的实数 (如果 $\overline{\mathbf{F}}=[-\infty, \infty])$ 或一个复数 (如果 $\overline{\mathbf{F}}=\mathbb{C}$ ). 因此，标量值函数不能取值 $\pm \infty$.
一组实数 $S$ 如果存在实数，则在上方有界 $M$ 这样 $x \leq M$ 每一个 $x \in S$. 任何这样的数字 $M$ 称为上界 $S$. 下 面有界的定义是相似的，我们说 $S$ 如果它在上方和下方都有界，则它是有界的。 一个号码 $x \in \mathbb{R}$ 是上界，或最小上界， $S$ 如果
• $x$ 是的上限 $S$ ， 和
• 如果 $y$ 是任何上限 $S$ ，然后 $x \leq y$.
我们表示 $S$ ，如果存在的话，通过 $x=\sup (S)$. 的下界或最大下界 $S$ 以完全类似的方式定义，并表示 为 $\inf (S)$
上面有界的每个集合都有一个上界并不明显。我们将至上存在性作为以下公理。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。