### 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH1001

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Inverse Function

DEFINITION 1.2.7 A function $f$ from $A$ into $B$ is said to be one-to-one if whenever $x_{1} \neq x_{2}$, then $f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)$.

Alternately, a function $f$ is one-to-one if whenever $\left(x_{1}, y\right)$ and $\left(x_{2}, y\right)$ are elements of $f$ then $x_{1}=x_{2}$. From the definition it follows that $f$ is one-to-one if and only if $f^{-1}(y)$ consists of at most one element of $A$ for every $y \in B$. If $f$ is onto $B$, then $f^{-1}(y) \neq \emptyset$ for every $y \in B$. Thus if $f$ is one-to-one and onto $B$, then $f^{-1}(y)$ consists of exactly one element $x \in A$ and
$$g={(y, x) \in B \times A: f(x)=y}$$
defines a function from $B$ to $A$. This leads to the following definition.
DEFINITION 1.2.8 If $f$ is a one-to-one function from $A$ onto $B$, let
$$f^{-1}={(y, x) \in B \times A: f(x)=y} .$$
The function $f^{-1}$ from $B$ onto $A$ is called the inverse function of $f$. Furthermore, for each $y \in B$,
$$x=f^{-1}(y) \text { if and only if } f(x)=y .$$
There is a subtle point that needs to be clarified. If $f$ is any function from $A$ to $B$, then $f^{-1}(y)$ (technically $f^{-1}({y})$ ) is defined for any $y \in B$ as the set of points $x$ in $A$ such that $f(x)=y$. However, if $f$ is a one-to-one function of $A$ onto $B$, then $f^{-1}(y)$ denotes the value of the inverse function $f^{-1}$ at $y \in B$. Thus it makes sense to write $f^{-1}(y)=x$ whenever $(y, x) \in f^{-1}$. Also, if $f$ is a one-to-one function of $A$ into $B$, then $f^{-1}$ defined by
$$f^{-1}={(y, x) ; y \in \text { Range } f \text { and } f(x)=y}$$
is a function from Range $f$ onto $A$.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Mathematical Induction

Throughout the text we will on occasion need to prove a statement, identity, or inequality involving the positive integer $n$. As an example, consider the following identity. For each $n \in \mathbb{N}$,
$$r+r^{2}+\cdots r^{n}=\frac{r-r^{n+1}}{1-r}, \quad r \neq 1 .$$
Mathematical induction is a very useful tool in establishing that such an identity is valid for all positive integers $n$.

THEOREM 1.3.1 (Principle of Mathematical Induction) For each $n \in \mathbb{N}$, let $P(n)$ be a statement about the positive integer $n$. If
(a) $P(1)$ is true, and
(b) $P(k+1)$ is true whenever $P(k)$ is true,
then $P(n)$ is true for all $n \in \mathbb{N}$.
The proof of this theorem depends on the fact that the positive integers are well-ordered; namely, every nonempty subset of $\mathbb{N}$ has a smallest element. This statement is usually taken as a postulate or axiom for the positive integers: we do so in this text. Since it will be used on several other occasions, we state it both for completeness and emphasis.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Inverse Function

$$g=(y, x) \in B \times A: f(x)=y$$

$$f^{-1}=(y, x) \in B \times A: f(x)=y .$$

$$x=f^{-1}(y) \text { if and only if } f(x)=y .$$

$$f^{-1}=(y, x) ; y \in \text { Range } f \text { and } f(x)=y$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Mathematical Induction

$$r+r^{2}+\cdots r^{n}=\frac{r-r^{n+1}}{1-r}, \quad r \neq 1 .$$

(b) $P(k+1)$ 任何时候都是真的 $P(k)$ 是真的，

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。