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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representation Type of Quivers
We translate modules over the path algebra to representations of quivers, and the Krull-Schmidt theorem translates as well. That is, every (finite-dimensional) representation of a quiver $Q$ is a direct sum of indecomposable representations, unique up to isomorphism and labelling. Therefore it makes sense to define the representation type of a quiver.
Recall that we have fixed a field $K$ and that we consider only finite-dimensional representations of quivers over $K$, see Definition 9.1. Moreover, we assume throughout that quivers have no oriented cycles; this allows us to apply the results of Sect. $9.3$.
Definition 9.25. A quiver $Q$ is said to be of finite representation type over $K$ if there are only finitely many indecomposable representations of $Q$, up to isomorphism. Otherwise, we say that the quiver has infinite representation type over $K$.
By our Definition 9.1, a representation of $Q$ always corresponds to a finitedimensional $K Q$-module. In addition, we assume $Q$ has no oriented cycles and hence $K Q$ is finite-dimensional. Therefore the representation type of $Q$ is the same as the representation type of the path algebra $K Q$, as in Definition $8.1$.
In most situations, our arguments will not refer to a particular field $K$, so we often just speak of the representation type of a quiver, without mentioning the underlying field $K$ explicitly.
For determining the representation type of quivers there are some reductions which follow from the work done in previous sections.
Given a quiver $Q$, since we have seen in Sect. $9.2$ that we can relate indecomposable representations of its subquivers to indecomposable representations of $Q$, we might expect that there should be a connection between the representation type of subquivers with that of $Q$.
Lemma 9.26. Assume $Q^{\prime}$ is a subquiver of a quiver $Q$. If $Q^{\prime}$ has infinite representation type then $Q$ also has infinite representation type.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Dynkin Diagrams and Euclidean Diagrams
Gabriel’s theorem (which will be proved in the next chapter) states that a connected quiver has finite representation type if and only if the underlying graph $\Gamma$ is one of the Dynkin diagrams of types $A_n$ for $n \geq 1, D_n$ for $n \geq 4, E_6, E_7, E_8$, which we define in Fig. 10.1.
We have seen some small special cases of Gabriel’s theorem earlier in the book. Namely, a quiver of type $A_1$ (that is, the one-vertex quiver) has only one indecomposable representation by Example 9.28; in particular, it is of finite representation type. Moreover, also in Example $9.28$ we have shown that the quiver $1 \longrightarrow 2$ has finite representation type; note that this quiver has as underlying graph a Dynkin diagram of type $A_2$.
To deal with the case when $\Gamma$ is not a Dynkin diagram, we will only need a small list of graphs. These are the Euclidean diagrams, sometimes also called extended Dynkin diagrams. They are shown in Fig. 10.2, and are denoted by $\widetilde{A}_n$ for $n \geq 1$, $\widetilde{D}_n$ for $n \geq 4$, and $\widetilde{E}_6, \widetilde{E}_7, \widetilde{E}_8$. For example, the Kronecker quiver is a quiver with underlying graph a Euclidean diagram of type $\widetilde{A}_1$; and we have seen already in Example $9.30$ that the Kronecker quiver has infinite representation type.
We refer to graphs in Fig. $10.1$ as graphs of type $A, D$, or $E$. We say that a quiver has Dynkin type if its underlying graph is one of the graphs in Fig. 10.1. Similarly, we say that a quiver has Euclidean type if its underlying graph belongs to the list in Fig. 10.2.
In analogy to the definition of a subquiver in Definition 9.13, a subgraph $\Gamma^{\prime}=\left(\Gamma_0^{\prime}, \Gamma_1^{\prime}\right)$ of a graph $\Gamma$ is a graph which consists of a subset $\Gamma_0^{\prime} \subseteq \Gamma_0$ of the vertices of $\Gamma$ and a subset $\Gamma_1^{\prime} \subseteq \Gamma_1$ of the edges of $\Gamma$.
The following result shows that we might not need any other graphs than Dynkin and Euclidean diagrams.
Lemma 10.1. Assume $\Gamma$ is a connected graph. If $\Gamma$ is not a Dynkin diagram then $\Gamma$ has a subgraph which is a Euclidean diagram.
Proof. Assume $\Gamma$ does not have a Euclidean diagram as a subgraph, we will show that then $\Gamma$ is a Dynkin diagram.
The Euclidean diagrams of type $\widetilde{A}_n$ are just the cycles; so $\Gamma$ does not contain a cycle; in particular, it does not have a multiple edge. Since $\Gamma$ is connected by assumption, it must then be a tree.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Representation Type of Quivers
我们将路径代数上的模块转换为箭袋的表示，Krull-Schmidt 定理也进行了转换。也就是说，箭袋的每个 (有限维) 表示 $Q$ 是不可分解表示的直和，在同构和标记之前是唯一的。因此，定义箭袋的表示类型是有 意义的。
回想一下，我们固定了一个字段 $K$ 并且我们只考虑箭袋的有限维表示 $K$ ，见定义 9.1。此外，我们始终假 设箭袋没有定向循环；这使我们能够应用 Sect 的结果。9.3.
定义 9.25。一个箭袋 $Q$ 据说是有限表示类型 $K$ 如果只有有限多个不可分解的表示 $Q$ ，直至同构。否则，我 们说箭袋具有无限表示类型 $K$.
根据我们的定义 9.1，表示 $Q$ 总是对应于一个有限维 $K Q$-模块。此外，我们假设 $Q$ 没有定向循环，因此 $K Q$ 是有限维的。因此表示类型为 $Q$ 与路径代数的表示类型相同 $K Q$ ，如定义8.1.
在大多数情况下，我们的论点不会涉及特定领域 $K$ ，所以我们经常只说箭袋的表示类型，而没有提到底层 领域 $K$ 明确地。
为了确定箭袋的表示类型，前面几节所做的工作进行了一些缩减。
给了一个颠抖 $Q$ ，因为我们在 Sect. $9.2$ 我们可以将其子䪳动的不可分解表示与不可分解表示联系起来 $Q$ ， 我们可能期望子箭的表示类型与 $Q$.
引理 9.26。认为 $Q^{\prime}$ 是箭袋的子箭袋 $Q$. 如果 $Q^{\prime}$ 那么有无限的表示类型 $Q$ 也有无限的表示类型。
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Dynkin Diagrams and Euclidean Diagrams
加布里埃尔定理 (将在下一章中证明) 指出当且仅当基础图时，连接的箭袋具有有限表示类型 $\Gamma$ 是类型的 Dynkin 图之一 $A_n$ 为了 $n \geq 1, D_n$ 为了 $n \geq 4, E_6, E_7, E_8$ ，我们在图 $10.1$ 中定义。
我们在本书前面已经看到了加布里埃尔定理的一些小特例。即，箭袋类型 $A_1$ (即，单顶点箭袋) 在示例 $9.28$ 中只有一个不可分解的表示；特别是，它是有限表示类型。此外，还在示例中 $9.28$ 我们已经证明了 箭袋 $1 \longrightarrow 2$ 具有有限表示类型；请注意，此箭袋的底层图形是 Dynkin 图类型 $A_2$.
处理案件时 $\Gamma$ 不是 Dynkin 图，我们只需要一小部分图表。这些是欧几里德图，有时也称为扩展 Dynkin 图。它们如图 $10.2$ 所示，记为 $\widetilde{A}_n$ 为了 $n \geq 1, \widetilde{D}_n$ 为了 $n \geq 4$ ，和 $\widetilde{E}_6, \widetilde{E}_7, \widetilde{E}_8$. 例如，克罗内克箭袋是 一个箭袋，其底层图形是欧几里德图类型 $\widetilde{A}_1$; 我们已经在示例中看到 $9.30$ 克罗内克箭袋具有无限表示类 型。
我们参考图 1 中的图表。10.1作为类型图 $A, D$ ，或者 $E$. 如果它的基础图形是图 $10.1$ 中的图形之一，我 们就说它具有 Dynkin 类型。类似地，如果一个箭袋的底层图属于图 $10.2$ 中的列表，我们就说它具有欧 几里得类型。
类似于定义 $9.13$ 中子箭袋的定义，子图 $\Gamma^{\prime}=\left(\Gamma_0^{\prime}, \Gamma_1^{\prime}\right)$ 图表的 $\Gamma$ 是一个由子集组成的图 $\Gamma_0^{\prime} \subseteq \Gamma_0$ 的顶点 $\Gamma$ 和一个子集 $\Gamma_1^{\prime} \subseteq \Gamma_1$ 的边缘 $\Gamma$.
以下结果表明，除了 Dynkin 和 Euclidean 图之外，我们可能不需要任何其他图。
引理 10.1。认为 $\Gamma$ 是连通图。如果 $\Gamma$ 那么不是 Dynkin 图 $\Gamma$ 有一个子图，它是一个欧几里德图。
证明。认为 $\Gamma$ 没有欧几里德图作为子图，我们将证明 $\Gamma$ 是 Dynkin 图。
类型的欧几里德图 $\tilde{A}_n$ 只是周期；所以 $\Gamma$ 不包含循环；特别是，它没有多重边。自从 $\Gamma$ 由假设连接，那么 它必须是一棵树。
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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