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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Reflection a Source
We assume that $j$ is a source of the quiver $Q^{\prime}$. For every representation $\mathcal{N}$ of $Q^{\prime}$ we will construct from $\mathcal{N}$ a representation of $\sigma_j Q^{\prime}$, denoted by $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$. The idea is to keep the vector space $N(r)$ as it is, for any vertex $r \neq j$, and also to keep the linear map $N(\gamma)$ as it is, for any arrow $\gamma$ which does not start at $j$. We want to find a vector space $N^{-}(j)$, and for each arrow $\beta_i: j \rightarrow i$, we want to define a linear map $N^{-}\left(\bar{\beta}_i\right)$ from $N(i)$ to $N^{-}(j)$, to be constructed using only data from $\mathcal{N}$. We first fix some notation, and then we study small examples.
Definition 11.14. Let $j$ be a source in the quiver $Q^{\prime}$. We label the distinct arrows starting at $j$ by $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$, say $\beta_i: j \rightarrow i$. Then we write $\bar{\beta}_i: i \rightarrow j$ for the arrows of $\sigma_j Q^{\prime}$ obtained by reversing the $\beta_i$.
(1) Let $t=1$, and take the quivers $Q^{\prime}$ and $\sigma_j Q^{\prime}$ as follows:
$$
1 \stackrel{\beta_1}{\longleftarrow} j \text { and } 1 \stackrel{\bar{\beta}_1}{\longrightarrow} j
$$
We start with a representation $\mathcal{N}$ of $Q^{\prime}$,
$$
N(1) \stackrel{N\left(\beta_1\right)}{\longleftarrow} N(j)
$$
and we want to define a representation of $\sigma_j Q^{\prime}$, that is,
$$
N(1) \stackrel{N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)}{\longrightarrow} N^{-}(j)
$$
and this should only use information from $\mathcal{N}$. There is not much choice, we take $N^{-}(j):=N(1) / \operatorname{im}\left(N\left(\beta_1\right)\right)$, which is a quotient space of $N(1)$, and we take $N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)$ to be the canonical surjection. This defines the representation $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$ of $\sigma_j Q^{\prime}$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Quivers of Infinite Representation Type
We will now prove that if the underlying graph of $Q$ is not a union of Dynkin diagrams then $Q$ has infinite representation type. This is one direction of Gabriel’s theorem. As we have seen in Lemma 9.27, it is enough to consider connected quivers, and we should deal with smallest connected quivers whose underlying graph is not a Dynkin diagram (see Lemma 9.26).
Proposition 11.27. Assume $Q$ is a connected quiver with no oriented cycles. If the underlying graph of $Q$ is not a Dynkin diagram, then $Q$ has infinite representation type.
The proof of Proposition 11.27 will take the entire section.
By Lemma 10.1 we know that a connected quiver $Q$ whose underlying graph is not a Dynkin diagram must have a subquiver $Q^{\prime}$ whose underlying graph is a Euclidean diagram. By Lemma 9.26, it suffices to show that the subquiver $Q^{\prime}$ has infinite representation type. We will do this case-by-case going through the Euclidean diagrams listed in Fig. 10.2.
We start with Euclidean diagrams of type $\widetilde{A}_n$, which has almost been done already.
Proposition 11.28. Assume $Q^{\prime}$ is a quiver without oriented cycles whose underlying graph is a Euclidean diagram of type $\widetilde{A}_n$. Then $Q^{\prime}$ is of infinite representation type.
Proof. Let $n=1$, then $Q^{\prime}$ is the Kronecker quiver, and we have seen in Example 9.30 that it has infinite representation type. Now assume $n>1$. We will stretch the Kronecker quiver repeatedly as described in Definition 9.20; and Exercise 9.4 shows that $Q^{\prime}$ can be obtained from the Kronecker quiver by finitely many stretches. Now Lemma 9.31 implies that $Q^{\prime}$ has infinite representation type.
We will now deal with quivers whose underlying graphs are other Euclidean diagrams as listed in Fig. 10.2. We observe that each of them is a tree. Therefore, by Corollary 11.26, in each case we only need to show that it has infinite representation type just for one orientation, which we can choose as we like.
We will use a more general tool. This is inspired by the indecomposable representation of the quiver with underlying graph a Dynkin diagram $D_4$ where the space at the branch vertex is 2-dimensional, which we have seen a few times. In Lemma 9.5 we have proved that for this representation, any endomorphism is a scalar multiple of the identity. The following shows that this actually can be used to produce many representations of a new quiver obtained by just adding one vertex and one arrow.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Reflection a Source
我们假设 $j$ 是箭袋的来源 $Q^{\prime}$. 对于每个表示 $\mathcal{N}$ 的 $Q^{\prime}$ 我们将从 $\mathcal{N}$ 代表 $\sigma_j Q^{\prime}$ ，表示为 $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$. 这个想法是保 持向量空间 $N(r)$ 实际上，对于任何顶点 $r \neq j$ ，并且还保持线性映射 $N(\gamma)$ 实际上，对于任何箭头 $\gamma$ 这不 是开始于 $j$. 我们想找到一个向量空间 $N^{-}(j)$ ，对于每个箭头 $\beta_i: j \rightarrow i$ ，我们要定义一个线性映射 $N^{-}\left(\bar{\beta}_i\right)$ 从 $N(i)$ 到 $N^{-}(j)$ ，仅使用来自的数据构建 $\mathcal{N}$. 我们首先固定一些符号，然后我们研究小例子。
定义 11.14。让 $j$ 成为箭袋中的源泉 $Q^{\prime}$. 我们标记不同的箭头开始于 $j$ 经过 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ ， 说 $\beta_i: j \rightarrow i$. 然后我们写 $\bar{\beta}_i: i \rightarrow j$ 对于箭头 $\sigma_j Q^{\prime}$ 通过反转获得 $\beta_i$.
(1) 让 $t=1$ ，并取箭袋 $Q^{\prime}$ 和 $\sigma_j Q^{\prime}$ 如下:
$$
1 \stackrel{\beta_1}{\longleftarrow} j \text { and } 1 \stackrel{\bar{\beta}_1}{\longrightarrow} j
$$
我们从一个表示开始 $\mathcal{N}$ 的 $Q^{\prime}$ ，
$$
N(1) \stackrel{N\left(\beta_1\right)}{\longleftarrow} N(j)
$$
我们想定义一个表示 $\sigma_j Q^{\prime}$ ，那是，
$$
N(1) \stackrel{N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)}{\longrightarrow} N^{-}(j)
$$
这应该只使用来自的信息 $\mathcal{N}$. 没有太多选择，我们拿 $N^{-}(j):=N(1) / \operatorname{im}\left(N\left(\beta_1\right)\right)$ ，这是一个商空间 $N(1)$ ，我们取 $N^{-}\left(\bar{\beta}_1\right)$ 成为典型的满射。这定义了表示 $\Sigma_j^{-}(\mathcal{N})$ 的 $\sigma_j Q^{\prime}$.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Quivers of Infinite Representation Type
我们现在将证明，如果 $Q$ 则不是 Dynkin 图的并集 $Q$ 具有无限表示类型。这是加布里埃尔定理的一个方 向。正如我们在引理 9.27 中看到的那样，考虑连接箭袋就足够了，我们应该处理最小的连接箭袋，其基 础图不是 Dynkin 图（参见引理 9.26) 。
提案 11.27。认为 $Q$ 是一个连接的箭袋，没有定向循环。如果底层图形 $Q$ 不是 Dynkin 图，那么 $Q$ 具有无 限表示类型。
命题 11.27 的证明将占用整个部分。
由引理 10.1 我们知道一个连通的箭袋 $Q$ 其底层图形不是 Dynkin 图必须有一个 subquiver $Q^{\prime}$ 其底层图形 是欧几里德图。由引理 9.26 足以证明子箭袋 $Q^{\prime}$ 具有无限表示类型。我们将通过图 10.2 中列出的欧几里得 图逐个分析。
我们从类型的欧几里德图开始 $\widetilde{A}_n$ ，这几乎已经完成了。
提案 11.28。认为 $Q^{\prime}$ 是一个没有定向循环的箭袋，其底层图形是欧几里得类型图 $\widetilde{A}_n$. 然后 $Q^{\prime}$ 是无限表示 类型。
证明。让 $n=1$ ，然后 $Q^{\prime}$ 是 Kronecker 箭袋，我们在示例 9.30 中看到它具有无限表示类型。现在假设 $n>1$. 我们将按照定义 9.20 中的描述反复拉伸克罗内克箭袋；练习 9.4 表明 $Q^{\prime}$ 可以通过有限多次拉伸从 克罗内克箭袋中获得。现在引理 9.31 意味着 $Q^{\prime}$ 具有无限表示类型。
我们现在将处理箭袋，其基础图形是图 10.2 中列出的其他欧几里德图。我们观察到他们每个人都是一棵 树。因此，根据推论 11.26 ，在每种情况下我们只需要证明它只对一个方向有无限的表示类型，我们可以 随意选择。
我们将使用更通用的工具。这是受到箭袋的不可分解表示的启发，其底层图形是 Dynkin 图 $D_4$ 其中分支顶 点的空间是二维的，我们已经见过几次了。在引理 9.5 中，我们已经证明对于这种表示，任何自同态都是 恒等式的标量倍数。下图表明，这实际上可用于生成新箭袋的许多表示，只需添加一个顶点和一个箭头即可。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。