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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Concrete Riemann Surfaces
Historically, Riemann surfaces arose as graphs of analytic functions, with multiple values, defined over domains in $\mathbb{C}$. Inspired by this, we now give a precise definition of a concrete Riemann surface; but we need a preliminary notion.
2.2 Definition: A complex function $F(z, w)$ defined in an open set in $\mathbb{C}^2$ is called holomorphic if, near each point $\left(z_0, w_0\right)$ in its domain, $F$ has a convergent power series expansion
$$
F(z, w)=\sum_{m, n \geq 0} F_{m n}\left(z-z_0\right)^m\left(w-w_0\right)^n .
$$
The basic properties of 2-variable power series are assigned to Problem 1.4; in particular, $F$ is differentiable in its region of convergence, and we can differentiate term by term.
2.3 Definition: A subset $S \subseteq \mathbb{C}^2$ is called a (concrete, possibly singular) Riemann surface if, for each point $s \in S$, there is a neighbourhood $U$ of $s$ and a holomorphic function $F$ on $U$ such that $S \cap U$ is the zero-set of $F$ in $U$; moreover, we require that $\partial^n F / \partial w^n(s) \neq 0$ for some $n$.
In particular, the continuity of $F$ implies that $S$ is locally closed. The condition $\partial^n F / \partial w^n(s) \neq 0$ rules out vertical lines through $s$, which cannot reasonably be viewed as ‘graphs’. (Indeed, we can see from the power series expansion that $S \cap U$ will contain a vertical line precisely when $F_{0 n}=0$ for all $\left.n.\right)$
2.4 Definition: The Riemann surface is called non-singular at $s \in S$ if a function $F$ can be found with the gradient vector $(\partial F / \partial z, \partial F / \partial w)$ non-zero at $s$.
2.5 Theorem (Local structure of non-singular Riemann surfaces):
(i) Assume $\partial F / \partial w(s) \neq 0$. Then, in some neighbourhood of $s, S$ is the graph of a holomorphic function $w=w(z)$.
(ii) Assume $\partial F / \partial z(s) \neq 0$. Then, in some neighbourhood of $s, S$ is the graph of a holomorphic function $z=z(w)$.
(iii) Assume both. Then, the two holomorphic functions above are inverse to each other.
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abstract Riemann surfaces
For most of the course, we shall consider Riemann surfaces from an abstract point of view. This suffices to establish their general properties, and dispenses with unnecessary embedding information. (Moreover, smoothness is built in, whereas in the embedded case it must be checked). However, the abstract definition is somewhat complicated and less intuitive. One way to motivate their introduction is by the following observation.
2.7 Proposition: Every Riemann surface in $\mathbb{C}^2$ is non-compact. (Proof in the next lecture).
This is clear for a Riemann surface defined as the zero-set of an algebraic equation $P(z, w(z))=0$; it projects surjectively to the complex z-plane, Because the image of a compact set under a continuous map is compact, it follows that the solution-set is not compact.
So, there is an obstacle to constructing compact Riemann surfaces, such as the torus without punctures, as graphs of multi-valued functions within $\mathbb{C}^2$. On the other hand, it’s easy to produce compact topological surfaces with enough analytic structure to be worthy of Riemann’s name. Here are two examples:
(2.8) The Riemann sphere $\mathbb{C} \cup{\infty}=\mathbb{P}^1$ (Fig. 2.2).
The topological description of how $\mathbb{C} \cup{\infty}$ becomes a sphere is best illustrated by the stereographic projection, in which points going off to $\infty$ in the plane converge to the north pole in the sphere. (The south pole maps to 0.)
We can understand $\mathbb{P}^1$ as a Riemann surface is by regarding $z^{-1}=w$ as a local coordinate near $\infty$. We say that a function $f$ defined in the neighbourhood of $\infty$ on $\mathbb{P}^1$ is holomorphic if the following function is holomorphic, in a neighbourhood of $w=0$ :
$$
w \mapsto \begin{cases}f\left(w^{-1}\right), & \text { if } w \neq 0 \ f(\infty), & \text { if } w=0\end{cases}
$$
There is another descrition of $\mathbb{P}^1$ as a Riemann surface. Consider two copies of $\mathbb{C}$, with coordinates $z$ and $w$. The map $w=z^{-1}$ identifies $\mathbb{C} \backslash{0}$ in the $z$-plane with $\mathbb{C} \backslash{0}$ in the $w$-plane, in analytic and invertible fashion. (We say that the map $z \mapsto w=z^{-1}$ from $\mathbb{C}^$ to $\mathbb{C}^$ is bianalytic, or biholomorphic.) Define a new topological space by gluing the two copies of $\mathbb{C}$ along this identification. Clearly, we get a topological sphere, but now there is an obvious notion of holomorphic function on it: we have $\mathbb{P}^1=\mathbb{C}{(z)} \cup \mathbb{C}{(w)}$, and we declare a function $f$ on $\mathbb{P}^1$ to be homomorphic precisely if its restrictions to the open sets $\mathbb{C}=\mathbb{P}^1 \backslash{\infty}$ and $\mathbb{C}=\mathbb{P}^1 \backslash{0}$ are holomorphic.
黎曼曲面代考
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Concrete Riemann Surfaces
历史上，黎曼曲面是解析函数的图形，具有多个值，定义在$\mathbb{C}$的域上。受此启发，我们现在给出了具体黎曼曲面的精确定义;但我们需要一个初步的概念。
2.2定义:定义在$\mathbb{C}^2$中的开集中的复函数$F(z, w)$，如果在其定义域内的每个点$\left(z_0, w_0\right)$附近，$F$有收敛幂级数展开，则称为全纯的
$$
F(z, w)=\sum_{m, n \geq 0} F_{m n}\left(z-z_0\right)^m\left(w-w_0\right)^n .
$$
将2变量幂级数的基本性质赋给问题1.4;特别地，$F$在它的收敛区域内是可微的，我们可以逐项微分。
2.3定义:如果对于每个点$s \in S$，存在$s$的邻域$U$和$U$上的全纯函数$F$，使得$S \cap U$是$U$中的$F$的零集，则子集$S \subseteq \mathbb{C}^2$被称为(具体的，可能是奇异的)Riemann曲面;此外，对于一些$n$，我们需要$\partial^n F / \partial w^n(s) \neq 0$。
特别是，$F$的连续性意味着$S$是局部闭合的。条件$\partial^n F / \partial w^n(s) \neq 0$排除了通过$s$的垂直线，这不能被合理地视为“图形”。(实际上，我们可以从幂级数展开式中看到，当$F_{0 n}=0$对应所有$\left.n.\right)$时，$S \cap U$将包含一条垂直线
2.4定义:如果函数$F$在$s$处梯度向量$(\partial F / \partial z, \partial F / \partial w)$不为零，则称为在$s \in S$处的黎曼曲面非奇异。
2.5定理(非奇异黎曼曲面的局部结构):
假设$\partial F / \partial w(s) \neq 0$。然后，在$s, S$的某邻域中有一个全纯函数$w=w(z)$的图。
假设$\partial F / \partial z(s) \neq 0$。然后，在$s, S$的某邻域中有一个全纯函数$z=z(w)$的图。
(三)两者都假定。那么，上述两个全纯函数互为逆。
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Abstract Riemann surfaces
在本课程的大部分时间里，我们将从抽象的角度来考虑黎曼曲面。这足以建立它们的一般属性，并且省去了不必要的嵌入信息。(此外，平滑性是内建的，而在嵌入式情况下必须检查)。然而，抽象的定义有些复杂，不太直观。一种激励他们介绍的方法是通过以下观察。
2.7命题:$\mathbb{C}^2$中的每一个黎曼曲面都是非紧的。(下节课再证明)
这对于定义为代数方程零集的黎曼曲面来说是很明显的$P(z, w(z))=0$;由于紧集在连续映射下的像是紧的，因此该解集是不紧的。
因此，在构建紧凑的黎曼曲面(例如没有穿孔的环面)作为$\mathbb{C}^2$内的多值函数图时存在一个障碍。另一方面，很容易产生具有足够解析结构的紧致拓扑曲面，以配得上黎曼的名字。这里有两个例子:
(2.8)黎曼球$\mathbb{C} \cup{\infty}=\mathbb{P}^1$(图2.2)。
关于$\mathbb{C} \cup{\infty}$如何变成一个球体的拓扑描述最好用立体投影来说明，在平面上指向$\infty$的点汇聚到球体的北极。(南极映射为0。)
我们可以将$\mathbb{P}^1$理解为黎曼曲面，将$z^{-1}=w$视为$\infty$附近的局部坐标。我们说定义在$\mathbb{P}^1$上的$\infty$邻域上的函数$f$是全纯的，如果下列函数在$w=0$的邻域上是全纯的:
$$
w \mapsto \begin{cases}f\left(w^{-1}\right), & \text { if } w \neq 0 \ f(\infty), & \text { if } w=0\end{cases}
$$
还有另一种描述$\mathbb{P}^1$为黎曼曲面。考虑$\mathbb{C}$的两个副本，坐标分别为$z$和$w$。映射$w=z^{-1}$以解析和可逆的方式标识$z$ -平面中的$\mathbb{C} \backslash{0}$和$w$ -平面中的$\mathbb{C} \backslash{0}$。(我们说从$\mathbb{C}^$到$\mathbb{C}^$的映射$z \mapsto w=z^{-1}$是双解析的，或生物全纯的。)通过将$\mathbb{C}$的两个副本粘合在这个标识上来定义一个新的拓扑空间。显然，我们得到了一个拓扑球，但现在有了一个明显的全纯函数的概念:我们有$\mathbb{P}^1=\mathbb{C}{(z)} \cup \mathbb{C}{(w)}$，并且我们声明一个函数$f$在$\mathbb{P}^1$上是同态的，如果它对开放集$\mathbb{C}=\mathbb{P}^1 \backslash{\infty}$和$\mathbb{C}=\mathbb{P}^1 \backslash{0}$的限制是全纯的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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