数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Unique Presentations of meromorphic functions on P1

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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型,它在复平面上覆盖着几个,一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Unique Presentations of meromorphic functions on P1

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Unique Presentations of meromorphic functions on $\mathbb{P}^1$

We shall describe more closely the holomorphic maps from $\mathbb{P}^1$ to itself. By the results (3.14) of the previous lecture, these are the same as the meromorphic functions on $\mathbb{P}^1$, plus the constant $\operatorname{map} \infty$.

Recall that a rational function $R(z)$ is one expressible as a ratio of two polynomials, $p(z) / q(z)$ ( $q$ not identically zero). Clearly, it is meromorphic. We may assume $p$ and $q$ to have no common factors, in which case we call $\max (\operatorname{deg} p, \operatorname{deg} q)$ the degree of $R(z)$.
4.8 Theorem: Every meromorphic function on $\mathbb{P}^1$ is rational.
We shall prove two stronger statements.
4.9 Theorem (Unique Presentation by principal parts): A meromorphic function on $\mathbb{P}^1$ is uniquely expressible as
$$
p(z)+\sum_{i, j} \frac{c_{i j}}{\left(z-p_i\right)^j}
$$
where $p(z)$ is a polynomial, the $c_{i j}$ are constants and the sum is finite.
4.10 Remark: The $p_i$ are the finite poles of the function.
Proof: Recall that, near a pole $p$, a meromorphic function has a convergent Laurent expansion:
$$
a_n(z-p)^{-n}+a_{-n+1}(z-p)^{-n+1}+\cdots+a_{-1}(z-p)^{-1}+\sum_{k \geq 0} a_k(z-p)^k
$$
and the negative powers form the principal part of the series.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Global consequences of the theorem on the local form

5.1 Theorem: Let $f: R \rightarrow S$ be a non-constant holomorphic map, with $R$ connected and compact. Then $f$ surjects onto a compact connected component of $S$.
5.2 Corollaries:
(i) A non-constant holomorphic map between compact connected Riemann surfaces is surjective.
(ii) A global holomorphic function on a compact Riemann surface is constant.
(iii) (Fundamental Theorem of Algebra) A non-constant complex polynomial has a least one root.

Proof of the theorem: $f$ is open and continuous and $R$ is compact, so $f(R)$ is open in $S$ and compact, hence closed. As $R$ is also connected, $f(R)$ is connected, so it is a connected component of $S .(S=f(R) \cup(S \backslash f(R))$ with $f(R)$ and $S \backslash f(R)$ both open.)
Proof of the corollaries:
(i) Clear from the theorem and connectedness of $S$.

(ii) A holomorphic function determines a map to $\mathbb{C}$, hence a holomorphic map to $\mathbb{P}^1$. By the previous corollary, the image of any non-constant map would be contain $\infty$; so the map must be constant.
(iii) A polynomial determines a holomorphic map $\mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1$. If not constant, the image of this map must contain 0 , so the polynomial must have a root.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Unique Presentations of meromorphic functions on P1

黎曼曲面代考

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Unique Presentations of meromorphic functions on $\mathbb{P}^1$

我们将更详细地描述从$\mathbb{P}^1$到自身的全纯映射。根据上节课的结果(3.14),这些与$\mathbb{P}^1$上的亚纯函数加上常数$\operatorname{map} \infty$相同。

回想一下,有理函数$R(z)$是两个多项式的比值$p(z) / q(z)$ ($q$不等于零)。显然,它是亚纯的。我们可以假设$p$和$q$没有公因数,在这种情况下,我们称$\max (\operatorname{deg} p, \operatorname{deg} q)$为$R(z)$的度。
4.8定理:$\mathbb{P}^1$上的每一个亚纯函数都是有理的。
我们将证明两个更有力的说法。
4.9定理(主部唯一表示):$\mathbb{P}^1$上的亚纯函数可唯一表示为
$$
p(z)+\sum_{i, j} \frac{c_{i j}}{\left(z-p_i\right)^j}
$$
其中$p(z)$是多项式,$c_{i j}$是常数,和是有限的。
4.10注:$p_i$是函数的有限极点。
证明:回想一下,在极点$p$附近,亚纯函数有收敛的Laurent展开:
$$
a_n(z-p)^{-n}+a_{-n+1}(z-p)^{-n+1}+\cdots+a_{-1}(z-p)^{-1}+\sum_{k \geq 0} a_k(z-p)^k
$$
负幂构成了级数的主部。

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Global consequences of the theorem on the local form

5.1定理:设$f: R \rightarrow S$为非常全纯映射,$R$连通且紧致。然后$f$投射到$S$的紧密连接组件上。
5.2推论:
(1)紧连通黎曼曲面间的非常全纯映射是满射的。
(ii)紧致Riemann曲面上的全局全纯函数是常数。
(3)(代数基本定理)一个非常复数多项式至少有一个根。

定理证明:$f$是开连续的,$R$是紧致的,所以$f(R)$在$S$是开紧致的,所以是闭的。因为$R$也被连接,所以$f(R)$也被连接,所以它是$S .(S=f(R) \cup(S \backslash f(R))$的一个连接组件,$f(R)$和$S \backslash f(R)$都是打开的。)
推论的证明:
(i)由$S$的定理和连通性可知。

(ii)一个全纯函数决定了一个到$\mathbb{C}$的映射,因此一个到$\mathbb{P}^1$的全纯映射。根据前面的推论,任何非常数映射的图像都包含$\infty$;所以映射必须是常数。
(iii)多项式确定一个全纯映射$\mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^1$。如果不是常数,这个映射的像必须包含0,所以多项式必须有一个根。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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回归分析代写

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